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2025届高考数学一轮复习专题训练 平面向量及其应用
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量，若,则下列关系一定成立的是( )
A. B. C. D.
2．已知向量，且向量a与b的夹角为，则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.4
3．如图，在扇形中，半径，弧长为，点P是弧上的动点，点M，N分别是半径，上的动点，则周长的最小值是( )
A. B.4 C. D.
4．已知向量a，b满足，且，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
5．已知向量，，若，则( )
A. B.2 C.5 D.
6．已知平面向量,满足,,,与的夹角为( )
A. B. C. D.
7．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则( )
A. B. C. D.
8．在中，点D在边上，.记，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是( )
A.若，则
B.若，则为直角三角形
C.若，则为等腰三角形
D.若，则为直角三角形
10．已知几何体为长方体，则( )
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上投影向量为
11．如图,在中,,,点D,G分别边,上,点E,F均在边上,设,矩形的面积为S,且S关于x的函数为,则( )
A.内切圆的半径为 B.
C.先增后减 D.的最大值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在中,,,,则________________.
13．已知向量,,满足,,,则________.
14．如图，四边形是边长为1的正方形，延长至E，使得.动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在锐角中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若,且,求的周长.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A.
（2）若的面积为，，求BC边上的高.
17．在钝角三角形ABC中，内角，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
（1）求角B的大小.
（2）若点D在边BC上，且，求的值.
18．在中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,.
（1）求的值;
（2）若,,点P在内部,且,,求的面积.
19．在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,.
(1)若,求的值;
(2)求的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：，
，
由
可得,
整理得.
2．答案：C
解析：方法一:，
所以当时，取得最小值4，所以的最小值为2.故选C.
方法二:设，，则，当时，取得最小值，此时.故选C.
3．答案：D
解析：如图，连接，作点P关于直线的对称点，关于直线的对称点，
连接交于点M，交OB于点N，连接，，
则，，，
此时的周长取得最小值，其最小值为线段的长度，
因为扇形的弧长为，半径，所以，
根据对称的性质，可得，在中，由余弦定理，
得
，所以，
即周长的最小值是.故选D.
4．答案：C
解析：由，得，则.
又（其中为a与b的夹角，），
所以.
又，所以，所以.故选C.
5．答案：C
解析：由向量，，得.因为，所以，解得，所以，所以.故选C.
6．答案：C
解析：设与的夹角为,
由两边平方得,
即,
由于,所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：由题可知，
，
,
所以有，
所以，
得.
故选：C
8．答案：D
解析：因为点D在边上,,
所以,即,
所以.
故选D.
9．答案：ABD
解析：对于A，，A正确；
对于B，由，可知，
即.又，所以，为直角三角形，B正确；
对于C，由正弦定理可得，即，
而，则有或，即或，
即为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，，由，可得，
即，而，则，，为直角三角形，D正确.故选ABD.
10．答案：AC
解析：如图：
在长方体中，
因为平面，
所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；
因为在中，，
所以与不垂直，
所以在方向上的投影向量不是，即B错误；
因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确；
虽然，但与不垂直，
所以在方向上的投影向量不是，即D错误
故选：AC
11．答案：ACD
解析：对于A,取的中点N,连接,
则,且,所以的面积为,
假设内切圆的半径为r,则,
所以,解得,故A正确;
对于B、C、D,过C作,垂足为H,设与交于点M,
由等面积法可得,则.
由,得,
则,
所以,
则,则在上单调递增,在上单调递减,
所以的最大值为,故B错误,C,D均正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由正弦定理,得,
解得,
又,所以,即.
故答案为：
13．答案：
解析：由向量,,满足,,且,
则,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，所以，
当时，有，即，，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由及正弦定理得
因为,故.
又为锐角三角形,所以.
(2)由余弦定理,
,得
解得：或
的周长为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知条件及正弦定理，得.
又，，
则，
，则.
又，，
则，解得.
（2）由的面积为，得，
，则.
由余弦定理，得，
.
又，，解得.
，.
设BC边上的高为h，
则，
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理，得.
因为，
所以.
因为，所以，则.
因为为钝角三角形，且，
所以为锐角.
若B为锐角，则，
所以，则，不符合题意；
若B为钝角，则，
所以，则.
由及正弦定理，得，
所以.
因为B为钝角，所以.
（2）由（1）知，，
所以.
因为为锐角，所以，则.
在中，由正弦定理，得，
即.
在中，由正弦定理，得，
即.
因为，且，
所以，
所以
，
所以，
所以.
18．答案：（1）0
（2）.
解析：（1）在中,,由正弦定理可得:,
,,,
,.
所以:
（2）如图:,所以在线段的中垂线上,作,,垂足分别为F,E.
则,设,
则中,;
在中,;
在中,,所以:,
解得:或（舍去,因为此时P点在外部）.
所以.
19．答案：(1)1
(2)
解析：(1)由得,
即,
即
即,因为,
所以,即,
由得,故.
(2)由结合余弦定理得,
则,
于是,
即.
解得,
故当时,有最大值.
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