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2025届高考数学一轮复习专题训练 直线和圆的方程
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，经过作直线l，若直线l与线段恒有公共点，则直线l倾斜角的范围( )
A. B.
C. D.
2．我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示已知圆O的半径为2丈，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若，则对角线AC长度为( )
A.丈 B.丈
C.丈 D.丈
3．已知点和在直线的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5．已知直线，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6．与直线垂直，且在x轴上的截距为-2的直线方程为( ).
A. B.
C. D.
7．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于( )
A. B. C. D.
8．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线的右焦点为F,直线是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )
A.C的虚轴长为 B.C的离心率为
C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于
10．已知直线和圆相交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.的最小值为
C.的最小值为
D.圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,则
11．已知直线与交于点，则( )
A.
B.
C.点P到直线的距离为
D.点P到直线的距离为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线的两条渐近线均与圆C：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为_____.
13．函数的最小值为____________．
14．若直线和直线平行，则m的值为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．定义：P是圆C外一点，过点P所作的圆C的两条切线，（M，N为切点）相互垂直，记圆D经过点P，M，N，C，则称P为圆C的“伴随点”，圆D为“伴随圆”.已知O为坐标原点，圆，P为圆O的“伴随点”，圆G为“伴随圆”.
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知点P的横坐标为6，且位于第一象限.
（i）求圆G的方程；
（ii）已知M，N为过点P所作的圆O的两条切线的切点，直线与x，y轴分别交于点E，F，过点且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A，B，若，求l的方程.
16．平面几何中有一定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（三角形外接圆的圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.
（1）若，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；
（2）若A，D，E三点共线，有一内切椭圆，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.
17．已知圆C经过点、,并且直线平分圆C.
（1）求圆C的方程;
（2）过点,且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N,且,求k的值.
18．已知的三个顶点分别为,,.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
19．已知直线经过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点.
（1）求C的方程；
（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：
设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线l经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，
所以或，
故直线l的倾斜角的取值范围是．
故选：C
2．答案：A
解析：记OC与MN相交于E，
过O作AB的垂线，与AB相交于F点，如图所示，
丈，丈，
则丈，
在中，，
则，
中，丈，
中，丈，
，则丈，
所以丈
故选：A.
3．答案：D
解析：因为点和在直线的两侧，
则，即，解得且.
易知，直线l的斜率为a，设直线l的倾斜角为，则.
当时，则；当时，则.
综上所述，直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
4．答案：D
解析：由于直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率为-1，所以直线的倾斜角为.
故选：D.
5．答案：D
解析：直线
即为，
所以直线过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为，
故选：D
6．答案：A
解析：由题得所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
整理为.
故选：A
7．答案：D
解析：设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，
即，所以，故D正确
故选：D
8．答案：B
解析：由题意知,圆与圆的方程相减
可得,即,
此即为公共弦AB所在直线的方程.
故选B
9．答案：AD
解析：双曲线的渐近线方程为,依题意,,解得,
对于A,C的虚轴长,A正确;
对于B,C的离心率,B错误;
对于C,点到直线的距离,即的最小值为,C错误;
对于D,直线的斜率为,而点F不在l上,点P在l上,则直线PF的斜率不等于,D正确.
故选:AD
10．答案：AC
解析：A选项,根据题意变形为,
故直线过定点,A正确;
B选项,由题意可知,当时,圆心到直线l的距离最大,此时最小,
其中,
此时,B错误;
C选项,的圆心为,半径,
,
因为的最小值为-1,所以的最小值为-9,C正确;
D选项,,因为圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,
所以圆心到直线的距离,
即,解得,D错误;
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：由题意，得：，
解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，
故C错误，D正确
故选：ABD.
12．答案：
解析：设双曲线的一条渐近线方程为
因为双曲线的渐近线与圆相切
所以圆心到渐近线距离为a
，结合得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：.
13．答案：
解析：,
根据两点距离公式的几何意义得,函数表示到点,距离之和,
如图所示,作出点A关于x轴的对称点,
连接,交x轴于点,连接,,,,,,
可得,,
又由,
当且仅当点P与重合时,等号成立,
所以,即函数的最小值为,
故答案：.
14．答案：1
解析：由于两直线平行，所以，解得或，
当时，两直线方程为、，符合题意.
当时，两直线方程为、，
即、，两直线重合，不符合题意.
所以m的值为1.
故答案为：1
15．答案：(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）因为P为圆O的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为.
（2）由题可知.
（i）因为四边形为正方形，所以圆心G的坐标为，
半径为，
故圆G的方程为.
（ii）因为直线为圆G与圆O的公共弦所在直线，
所以直线的方程为.
令，可得，令，可得，
所以.
由题意，可知直线l的方程为，
代入方程，整理得.
设，，则，，
所以
.
由题意可得，解得或.
经检验，当时，不满足；
当时，满足.
故l的方程为.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为，D和E关于原点O对称，所以.
设BC与x轴的交点为，如图所示.
由题意可得，
即，解得.
设，因为，所以，
则，解得.
所以.
（2）证明：因为D和E关于原点O对称，且A，D，E三点共线，
所以A，D，E，O四点共线，即点A，D，E，O都在x轴上.
因为，所以轴.
因为的外心为E，所以，所以点B与点C关于x轴对称.
设BC与x轴的交点为，，，，（，且）.
由题意可得，即，化简得.
直线CD的斜率为，直线AB的斜率为，
所以，化简得.①
直线AB的方程为.
由有一内切椭圆，可得F为BC与椭圆的切点，所以.
联立整理得.
，
即.
因为，所以，
即，即.
结合①可得.
设椭圆T的焦距为2c，则，
所以D，E为椭圆T的两个焦点.
17．答案：（1）
（2）1
解析：（1）线段AB的中点,,故线段AB的中垂线方程为,
即,因为圆C经过A、B两点,故圆心在线段AB的中垂线上.
又因为直线平分圆C,所以直线m经过圆心.
由即与的交点即圆心,
所以圆心的坐标为,而圆的半径,.
（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离,
,两边平方整理得：,解之得：.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得,
将①代入②得：,
设、,则由根与系数的关系可得：,,
而,所以,故有,整理,解得.
此时有,所以k值为1.
18．答案：(1);
(2)5.
解析：(1)直线的斜率为,因此边上的高所在直线的斜率为2,
所以边上的高所在直线的方程为：.
(2)直线的方程为,即,
于是点B到直线的距离为：,而,
所以的面积.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，所以C的方程为.
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，
设，，的中点为，
由消去y得，则，有，，即，
因此线段的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为E，则，
又过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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