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2025届高考数学一轮复习专题训练 圆锥曲线的方程
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知椭圆经过点,当k变动时,C截得直线的最大弦长为,则C的方程为( )
A. B. C. D.
2．已知定点,F是双曲线的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3．设抛物线的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且,则直线MN的斜率为( )
A. B. C. D.
4．已知椭圆的离心率为,若经过椭圆C的上顶点和右顶点的直线l经过点,则椭圆C的短轴长为( )
A. B.2 C. D.4
5．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B.1 C.2 D.4
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率e可以为( )
A. B. C. D.
10．若圆锥曲线,且的一个焦点与抛物线的焦点重合,则( )
A.
B.的离心率
C.为双曲线,且渐近线方程为
D.与的交点在直线上
11．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．抛物线的焦点到准线的距离为___________.
13．双曲线的左焦点为F，右顶点为B，点F到渐近线的距离是点B到渐近线距离的2倍，则C的离心率为_______.
14．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设椭圆的上顶点为B,左焦点为F.且B,F在直线上.
(1)求E的标准方程;
(2)若直线l与E交于P,Q两点,且点为中点,求直线l的方程.
16．已知双曲线（，）的右顶点，斜率为1的直线交C于M，N两点，且线段MN的中点为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
17．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程.
18．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上
(1)求椭圆C的方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆C于A、B两点，若的面积是，求直线的方程
19．已知双曲线E的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线E的方程；
（2）直线交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线，分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆P上，
①求D的横坐标；
②求圆P面积的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得,,
所以,,
所以椭圆方程为.
故选:A
2．答案：C
解析：根据双曲线第一定义及P是双曲线右支上的动点
可得,
所以,
所以,
结合图形可得,
当且仅当P,A,三点共线时取得等号,即图形中点P在处取得最小值,
所以,
所以的最小值为,
故选:C.
3．答案：A
解析：根据题意可得抛物线的焦点,准线方程为,
则有,设MN直线方程为,
联立,可得,
则,得,故,
设,,,,,
M到准线距离为,N到准线距离为,
又,有,即,得,
,又,解得,
,又,解得.
故选:A
4．答案：C
解析：因为,所以.
由题意知直线l的方程为,即,
所以.因为直线l经过点,
所以,
解得.所以.所以,
所以椭圆C的短轴长为.
故选:C.
5．答案：C
解析：因为抛物线的焦点到准线的距离为p，
所以由抛物线可得，
则焦点到其准线的距离为2.
故选：C
6．答案：A
解析：设交于N，以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，
平行于圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，
因为圆锥的高，M是的中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，
又底面圆半径,
所以，
所以，
设双曲线方程为，
代入，，代入解得，
则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为.
故选：A
7．答案：B
解析：设关于平分线的对称点为M,则P,,M三点共线,
设,则,又,
所以为等边三角形,
所以,
又,
所以,,
在中,由余弦定理可得：,
即,
所以,
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：连接OA,OB,OP，依题意，O、P、A、B四点共圆,
在直角三角形OAP中,
，即
,即,
，又
椭圆C的离心率的取值范围是,
故选:C
9．答案：AC
解析：当焦点在x轴上，所以，故离心率.
当焦点在y轴上，所以，故离心率.
故选：AC
10．答案：BD
解析：A选项,抛物线的焦点为,则焦点为,则圆锥曲线为双曲线,且,则.故A错误;
B选项,由A解题思路可知,,,,故B正确;
C选项,由A解题思路可知渐近线方程为：,故C错误;
D选项,联立,方程有,
由可知,则,即与的交点在直线上,故D正确.
故选：BD.
11．答案：AD
解析：点在抛物线外,过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴;
可得：直线是过且与抛物线相切的直线,
直线是过且平行于抛物线的对称轴的直线,
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
12．答案：2
解析：由抛物线方程知,,,
所以焦点到准线的距离为2.
13．答案：2
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为,
即,
则点到渐近线的距离,
点到渐近线的距离,
则由题意得,即,
所以双曲线的离心率.
14．答案：1
解析：由焦点在x轴上的椭圆的离心率为
可得,
解得,因为,
所以.
故答案为:1.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意,直线与x轴交点为,与y轴的交点为,
所以,,,
因此E的标准方程为.
(2)当直线l的斜率不存在时,,
联立,解得或,
故,,不满足,即A不是的中点,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线,,.
联立可得,
即.
所以.
由于为的中点,所以,即,解得.
综上,直线l的方程为,即.
16．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）设，，则，，
，N两点在双曲线C上，
由得，
即，，
，即，.
又，，双曲线C的标准方程为.
（2）证明：由已知可得，直线MN的方程为，即，
联立，，则，，
，
，为直角三角形.
（3）由题意可知，直线AB的倾斜角不为0，
故设直线AB的方程为，，，，
，，
点P在双曲线C上，，
，
③.
又，，
，④.
联立，
则，
则⑤，⑥.
，B分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得，
，即.
.
令，，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，，.
故面积的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，
易知，则
，
显然时，
由题意得解得，，，
所以椭圆C的方程为；
（2）设，，
因为，所以，
所以①，
设直线l的方程为，联立得，整理得，
由韦达定理得，
把①式代入上式得，得，
解得，
所以直线l的方程为：或.
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，所以椭圆必不过，
则，，三点在椭圆C上
把，代入椭圆C，
得：
解得，，
所以椭圆C的方程为.
(2)由(1)知，
当直线斜率为0时，不符合题意，
当直线斜率不为0时，
可设直线的方程为：，，，
联立，
消x得：，
，
则
又，
即，
即，
化简得
解得，
所以直线的方程为：或.
19．答案：（1）
（2）①；②且
解析：（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，
可设双曲线的方程为（，），
从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，
所以，，
所以双曲线的方程为：.
（2）如图，
①，设直线的方程为：，
将代入方程：，得，
当且时，
设，，则，.
设直线的倾斜角为，不妨设，则，
由于O，A，G，H四点共圆知：，
所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，
令，则，从而，
所以，又，
得：，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点D的坐标为.
②直线的方程为，由①知：，
所以.
直线方程；，所以，
若G，H在x轴上方时，G在H的上方，即时，；
若G，H在x轴下方时，即时，，
所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆P的半径为R，面积为S，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
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