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排列、组合与二项式定理 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．将4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有( )
A. B. C. D.18
2．若，则( )
A.展开式中所有的二项式系数之和为
B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C.
D.
3．已知二项式的展开式共有8项，则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共有3项
4．给出下面几个问题，其中是组合问题的是( )
A.某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛
B.从1，2，3，4中选出2个数作为平面向量a的坐标
C.从1，2，3，4中选出2个数分别作为焦点在x轴上的双曲线的实轴长和虚轴长
D.从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段
5．使不等式成立的n的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
7．下列问题属于排列问题的有( )
A.10本不同的书分给10位同学，每人一本
B.10位同学去做春季运动会的志愿者
C.10位同学参加不同项目的运动会比赛
D.10个没有任何三点共线的点构成的线段
8．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有6种
9．数学中蕴含着无穷无尽的美,尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现,它是从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然两位回文数有9个：11,22,33,…,99;三位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是( )
A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个
C.位回文数有个 D.位回文数有个
10．2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A.若A与B相邻，则有48种不同站法
B.若C与D不相邻，则有24种不同站法
C.若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法
D.若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则( )
A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法
D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《答案九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（图①）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；图②是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内.如图②，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m（，）个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为( )
A. B. C. D.
13．2022年在全世界范围内,气温升高是十分显著的,世界气象组织预测2022年到2026年间,有93%的概率平均气温会超过2016年,达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中5名男生5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
14．下列问题中不属于排列问题的是( )
A.从10个人中选出2人去劳动
B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛
C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5 6 7 8中任取2个不同的数做中的底数与真数
15．5名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
16．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有( )
A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B.如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
17．第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有( )
A.若5人每人可任选一项工作，则有种不同的方案
B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案
D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案
18．下列四个关系式中，一定成立的是( )
A. B.
C. D.若，且，则
19．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《答案九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )
A.
B.第2022行的第1011个数最大
C.第n行的所有数字之和为
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
20．已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案
1．答案：BC
解析：根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3的盒子中，且没有空盒，则3个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：（1）分两步进行解题思路：①先将4个不同的小球分成3组，有种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法，故没有空盒的放法有种.（2）分两步进行解题思路：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种方法；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法，故没有空盒的放法有种.选BC.
2．答案：ABC
解析：由已知，得展开式中所有项的二项式系数之和为，故A正确.展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确.在二项式的展开式中，令，可得，故C正确.令，可得，所以，故D错误.选ABC.
3．答案：AB
解析：因为二项式的展开式共有8项，所以.对于选项A，所有项的二项式系数和为，故A正确.对于选项B，令，则，所以所有项的系数和为1，故B正确.对于选项C，由题意，得二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确.对于选项D，二项展开式的通项，当时，二项展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确.选AB.
4．答案：AD
解析：A，D中的问题与顺序无关，因而是组合问题.B，C中当选出的2个数的顺序发生变化时，结果也发生变化，因而是排列问题.故选AD.
5．答案：ABC
解析：在中，，，在中，，，则，.因为，所以，即，解得.因此有，，所以n的取值可以是3，4，5.故选ABC.
6．答案：ACD
解析：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品、1件不合格品，则合格品的抽法有种，不合格品的抽法有种，所以恰好有1件是不合格品的抽法有种，故A正确，B错误.若抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，则有2种情况：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种抽法；②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种抽法.所以抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故C正确.在100件产品中任抽3件，有种抽法，其中全部为合格品的抽法有种，所以抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.选ACD.
7．答案：AC
解析：因为排列与顺序有关，因此A，C属于排列问题，B，D不属于排列问题.故选AC.
8．答案：ABC
解析：甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有（种），故A正确.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（种），故B正确.甲、乙不相邻的排法有（种），故C正确.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有（种），故D不正确.选ABC.
9．答案：BD
解析：据题意,对于四位回文数,有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999,共90个,则A错误,B正确;
对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第n和第位也有10种,则共有种选法,故C错;
对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第个数字,即最中间的数字有10种选法,
则共有种选法,即位回文数有个,所以D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：若A与B相邻，则有种不同站法，A正确；若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误；若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确；若A不在最左边，D不在最中间，则有种不同站法，D正确，故选ACD.
11．答案：ACD
解析：对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；
对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，小球从第6行第m（，）个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，其概率为，，，于是得，，，，所以选项A，D不可能，选项B，C可能.
13．答案：AD
解析：选取的4名学生都是女生的不同选法共有种,故A正确;
恰有2名女生的不同选法共有种,故B错误;
至少有1名女生的不同选法共有种,故C错误;
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种,故D正确.
故选：AD．
14．答案：ABC
解析：A.从10个人中选出2人去劳动,与顺序无关,故错误;
B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛,与顺序无关,故错误;
C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队,与顺序无关,故错误;
D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做中的底数与真数,底数与真数位置不同,即与顺序有关,故正确.
15．答案：BC
解析：学生甲不站两端,则可选择中间三个位置,即有种站法,
剩余四名学生有四个位置可选,共种站法,
故共有种不同站法;
或先从其余四名学生中选出两人站在两端,有种站法,
剩余三名学生有三个位置可选,共种站法,
故共有种不同站法;
故选：BC.
16．答案：CD
解析：对于A，只从男生中选择4人，有种，故A错误，
对于B，如果4人中男生女生各有2人，则共有种，故B错误，
对于C，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8人中任选2人，共有种选法，故C正确，
对于D，从10人中任选4人，共有种选法，排除甲乙两人任选4人，有种选法，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故D正确，故选：CD.
17．答案：BCD
解析：对于A，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有种选法，因此A错误；
对于B，分两步解题思路，先将5人分为4组，再将分好的4组安排四项不同的工作，有（种）分配方法，因此B正确；
对于C，分两步解题思路，在5人中任选2人，安排礼仪工作，有（种）选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有（种）方法，则由分步乘法计数原理可得共有（种）不同的方案，因此C正确；
对于D，分两步解题思路，在5人中任选2人，安排在第一排有（种）排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，剩下两人有2种排法，则有（种）不同的方案，因此D正确.故选BCD.
18．答案：AC
解析：由组合数性质知一定成立，A正确；，B错误；
，C正确；
由组合数性质知且，当时，单调递增，当时，单调递减，因此D错误.故选AC.
19．答案：ACD
解析：，，故A正确；
由题图可知，第n行有个数，则第2022行有2023个数，其中第1012个数最大，故B错误；
第n行是二项式展开式的二项式系数，则所有数字之和为，故C正确；
第34行从左到右第14个数是，第34行从左到右第15个数是，所以，故D正确.故选ACD.
20．答案：BC
解析：令，则①，故A错误；
令，则，故B正确；
令，则②，
可得，故C正确；
展开式中含x的项为，故，故D错误.故选BC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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