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双曲线及其方程 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，,线段分别交双曲线于两点,, .设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有( )
A.若平行渐近线,则 B.若,则
C.若,则 D.
2．双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
3．已知分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则下列结论正确的是( )
A.若,则双曲线离心率的取值范围为
B.若,则双曲线离心率的取值范围为
C.若,则双曲线离心率的取值范围为
D.若,则双曲线离心率的取值范围为
4．双曲线(，)左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是( )
A. B. C.2 D.
5．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题，其中正确命题的有（ ）
A.双曲线是黄金双曲线
B.双曲线是黄金双曲线
C.在双曲线中，为左焦点，为右顶点，，若，则该双曲线是黄金双曲线
D.在双曲线中，过焦点作实轴的垂线交双曲线于两点，为坐标原点，若，则该双曲线是黄金双曲线
6．已知直角中有一个内角为，如果双曲线E以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ）
A. B.2 C. D.
7．已知双曲线的右焦点为，点A的坐标为，P为双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可以为( )
A. B.2 C. D.3
8．下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
A. B. C. D.
9．若双曲线C的一个焦点，P是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是( )
A.双曲线C的方程为 B.双曲线C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.PF的最小值为2
10．已知双曲线C的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则下列说法正确的是( )
A. B.双曲线的离心率 C.双曲线的渐近线方程为 D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
11．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是( )
A.M的离心率为 B.M的标准方程为 C.M的渐近线方程为 D.直线经过M的一个焦点
12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为 C.点到双曲线的一条渐近线的距离为1 D.的面积为1
13．某双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
14．过双曲线的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率可以是( )
A． B． C． D．2
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则下列结论正确的是( )
A.若，则双曲线离心率的取值范围为 B.若，则双曲线离心率的取值范围为 C.若，则双曲线离心率的取值范围为 D.若，则双曲线离心率的取值范围为
16．已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，则有( )
A.渐近线方程为 B.渐近线方程为
C. D.
17．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，如图.给出以下几个说法，其中正确的是( )
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
18．设双曲线的两条渐近线的夹角为α,且,则C的方程可能为( )
A. B. C. D.
19．与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：ACD
解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形,点P坐标为,直线斜率.不妨设点P在第一象限,如图.
选项A,若平行渐近线,则,得,故A正确.
选项B,若,则.连接(图略),由,解得,得,故B错误.
选项C,若,则.连接(图略),由,解得,得,故C正确.
选项D,,,点M的坐标为,代入双曲线方程得,,则,故D正确.故选ACD.
2．答案：AC
解析：不妨假设双曲线的标准方程为，，.当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过的直线与圆D切于点P，连接OP，
由题意知，又，所以.过点作，交于点Q.由中位线的性质，可得，.因为，所以，故，，所以.由双曲线的定义可知，所以，所以.两边平方得，即，整理得，所以，故，即.当两个交点M，N都在双曲线的左支上时，如图2所示，
同理可得，.因为，所以，可得，，所以，所以，又，所以，即，.故选AC.
3．答案：BC
解析：本题考查双曲线离心率的取值范围.由题意,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且.若,可得.根据双曲线的定义可得,则,解得,故A错误,B正确.若,可得.根据双曲线的定义可得,则,解得,故C正确,D错误.故选BC.
4．答案：CD
解析：设双曲线的左焦点为M，，则，
根据双曲线的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以，
因为，所以，
则，即,
因为，则，所以，
则，所以.
5．答案：BC
解析：A.，，所以，不是“黄金双曲线”；B.，，则，即，是“黄金双曲线”；C.，即，则，是“黄金双曲线”；D.可得点，因为点M在双曲线上，代入双曲线方程有，所以，不是“黄金双曲线”.
6．答案：ACD
解析：
7．答案：ABC
解析：由右焦点为，点A的坐标为，得.由的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，得的最小值不小于9.设为双曲线的左焦点，可得，，当A，P，三点共线时，取得最小值，所以，即.因为，所以双曲线C的离心率，所以.故选ABC.
8．答案：AC
解析：对于A，双曲线的渐近线方程为，故A正确；对于B，双曲线的渐近线方程是，故B错误；对于C，双曲线的渐近线方程是，故C正确；对于D，双曲线的渐近线方程是，故D错误.故选AC.
9．答案：AD
解析：由双曲线C的一个焦点，且渐近线方程为，可得，焦点在x轴上，所以.由，得，，所以双曲线C的方程为，故A正确；双曲线C的离心率为，故B错误；焦点到渐近线的距离为，故C错误；PF的最小值为，故D正确.故选AD.
10．答案：ABC
解析：如图，设，则，所以，，，所以，所以，故A正确；
因为，，所以在中，，在中，，即，所以，所以，故B正确；
由得，则，
所以渐近线方程为，故C正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，则，与B矛盾，不成立，故D错误.故选ABC.
11．答案：ACD
解析：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，，所以两条渐近线的倾斜角分别为，，所以，所以，，所以离心率，易知A、C、D正确，B错误.
12．答案：ACD
解析：由已知得，，因此渐近线方程为，以为直径的圆的方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，由得，所以的面积为，故A、C、D正确，B错误.
13．答案：AD
解析：由题意双曲线两条渐近线的夹角为，得或，
∴或，
∴或．
故选：AD．
14．答案：BC
解析：右焦点，设一渐近线的方程为，
则另一渐近线的方程为，
由与垂直可得的方程为，
联立方程，可得A的横坐标为；
联立方程，可得B的横坐标为，
因为，所以，
可得，
因为，所以，即，
BC满足题意，AD不合题意，
故选BC．
15．答案：BC
解析：若，则，，，得；若，，，，得.故选BC.
16．答案：BC
解析：
17．答案：ABCD
解析：
18．答案：AC
解析：∵,∴渐近线的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,且,∴,,,∴,故选AC.
19．答案：AC
解析：易知双曲线的渐近线方程为.对于选项A,双曲线的渐近线方程为,符合题意;对于选项B,双曲线的渐近线方程为,不符合题意;对于选项C,双曲线的渐近线方程为,符合题意;对于选项D,双曲线的渐近线方程是,不符合题意.故选AC.
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