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重庆市第十一中教育集团2026级八年级上12月数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．有下列各数：，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．5,6,7
3．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．5
6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B． C． D．
7．一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是( )
A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③ D．①③④
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11.的算术平方根是 ．
12.二次根式有意义，则x的取值范围是_____________.
13.数据2，x，4，2，3，5的平均数为3，则x= ．
14.已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简： =___________.
15.如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则=_________.
16.如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是_______________.
17．如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边的延长线上的处，经过的中点，其中，，则_____________.
18．对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义： ；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19.计算：
（1） （2）
20.解下列方程组：
（1） （2）
21．2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
八年级 71 a 70 30%
九年级 71 80 b

(1)请填空：______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．
22.如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
23.在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题：
(1)请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围．
24．麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元．
（1）求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份；
（2）经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少0.4a，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加0.5a，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣6，0）、B（0，8），C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D，连接BD．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若，求点D的坐标；
（3）点P是平面内一点，若∠PAB＝45°，请直接写出直线PA的函数解析式．
26.在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，∠AEC＝120°．
（1）如图1，若AD⊥BC，CE＝6，AE＝3DE，求△ADC的面积；
（2）如图2，连接BE，若∠CBE＝60°，AE＝CE，点G为AB的中点，连接GE，求证：BC＝BE+2GE；
（3）如图3，若△ABC是等边三角形，BC＝9，D为直线BC上一点，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AK，连接DK，M为线段BC上一点，BC＝3BM，P为直线AB上一点，分别连接PM，PK，请直接写出PK+MP的最小值．
参考答案：
选择题
CCCCD ADBCA
填空题
2 12. 13.2 14.3b
15.30° 16. 17．3 18. 595 198
解答题
19.(1) (2)
20.(1) (2)
21．（1）70，80，55．
（2）解：九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级．
（3）解： (人)，
答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀．
22．解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
23．（1）解：如图，当时，点在上，
在中利用勾股定理，得，
∵，
∴，
如图，当时，点在上，
过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，；
（2）解：
由图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值；
（3）024.(1) 解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，
∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份，
答：第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份
(2) 解:由题意得,(20-0.4a-10)(97-12)+(24+0.5a-12)(39+31)=1438+254,
∴850-34a+840+35a=1692
解得
25．（1）由题意得：y＝kx+8，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣6k+8，则k，
则直线AB的表达式为：yx+8；
（2）若，即S△ACOS△AOB，则COOB＝2，
设点D（x，y），
由AD＝AO＝6，CD＝CO＝2，
即AD2＝AO2＝36，CD2＝CO2＝4，
即（x+6）2+y2＝36，x2+（y﹣2）2＝4，
即x2+12x+36+y2＝36，x2+y2﹣4y+4＝4，
上述两式相减并整理得：y＝﹣3x，
则x2+（﹣3x﹣2）2＝4，
解得：x＝﹣1.2，
则y＝3.6，
即点D（﹣1.2，3.6）；
（3）当点P在AB的下方时，
设点G（m，m+8），点H（0，n），
设直线AP交y轴于点H，过点H作HG⊥AB于点G，
∵∠PAB＝45°，则△AGH为等腰直角三角形，则GH＝GA，
∵∠NGH+∠MGA＝90°，∠MGA+∠MAG＝90°，
∴∠NGH＝∠MAG，
∵∠AMG＝∠GNH＝90°，
∴△AMG≌△GNH（AAS），
则AM＝GN，MG＝HN，
即m+6m+8﹣n且m+8＝﹣m，
解得：m，n，
即点H（0，），
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为：yx；
当点P（P′）在AB上方时，
则直线AP′⊥AP，
则直线AP′表达式中的k值为﹣7，
则直线AP的表达式为：y＝﹣7x﹣42，
综上，直线AP的表达式为：yx或y＝﹣7x﹣42．
26．（1）解： ，
，
又，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：
是等边三角形，，
，，
由旋转性质可得，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在等边中，，，
，
的最小值是．
答案第1页，共2页

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