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采荷中学2024-2025学年上学期12月月考九年级
数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 以下说法正确的是（ ）
A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为
C. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
D. 张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是
2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知半径为3，当时，点P与的位置关系为（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 不能确定
4. 如图，已知，若，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
5. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 如图，在中，，，作如下作图：
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点；
③作射线交于点；
根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④．
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
7. 如图，圆内接四边形中，，连接，．则度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（　　）
x 0 1
y 0 4 6 6
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线与x轴一个交点坐标为
C. 抛物线的对称轴为直线
D. 函数的最大值为
9. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且与关于直线对称．点G在边上，分别与交于P，Q两点．若，，则（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11. 已知，则______．
12. 比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为4厘米，则两地间的实际距离是______千米．
13. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为______．
14. 如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为__________．
15. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为______．
16. 如图，线段是的直径，弦于点H，点M是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连接交于点F，则______，______
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程）
17. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成问题：
（1）画出绕点O逆时针旋转后的；
（2）在（1）的旋转过程中，点B运动的路径长是多少？
18. 某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率．
19. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式．并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
21. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
22. 已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．
（2）点在该二次函数图象上，其中．
①当时，求的取值范围．
②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
23. 制作简易水流装置
设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
24. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连接．
（1）求证：．
（2）当为等腰三角形时，求的长．
（3）当，求的值．
采荷中学2024-2025学年上学期12月月考九年级
数学试卷 简要答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】40
【13题答案】
【答案】16个
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】 ①. 5 ②. 16
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程）
【17题答案】
【答案】（1）略 （2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）略 （2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）当时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米
【21题答案】
【答案】(1)略； (2)14
【22题答案】
【答案】（1）
（2）①；②不变，定值为4
【23题答案】
【答案】任务一：；任务二：不能，略；任务三：
【24题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）长为或或；
（3）

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