资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市近4年九年级（上）期末真题压轴精选题分类训练
二次函数
一．选择题
1．设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　）
A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2
C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1
2．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：其中结论正确的个数是（　　）
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当y＜0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．二位同学在研究函数y＝a（x+3）（x）（a为实数，且a≠0）时，甲发现当0＜a＜1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x）+5＝0必有两个不相等的实数根．则（　　）
A．甲、乙的结论都错误
B．甲的结论正确，乙的结论错误
C．甲、乙的结论都正确
D．甲的结论错误，乙的结论正确
5．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）．
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．
②如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0．
则（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
6．二次函数y＝ax2+4x+1（a为实数，且a＜0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，则m的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．已知点（x1，y1），（x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数：①y＝x2﹣4x+2（x＞1）；②y＝﹣2x2﹣4x+5（x＞0）；③y＝1﹣2x，则一定能使成立的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
9．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
二．填空题
11．已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为 　 　．
12．已知四个点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣3，1），C（﹣1，1），D（﹣2，2），若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为　 　．
13．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．
已知二次函数y＝x2+2x+m．
（1）若3是此函数的不动点，则m的值为　 　．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且a＜1＜b，则m的取值范围为　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+2m2﹣m﹣2（m为常数），若对于一切实数m和x均有y≥k，则k的最大值为　 　．
15．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．
x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 …
y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n …
则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　，方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　．
16．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法：①当m＝0时，x1＝2，x2＝3；②当m＞0时，2＜x1＜x2＜3；③m；④二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的有 　 　．
17．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则　 　．
18．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：
①AB的长可以为15m；
②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450m2；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．
其中，正确结论的是 　 　．（只需填序号）
19．已知二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是　 　；若a+b的值为非零整数，则b的值为　 　．
20．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　 　．
三．解答题
21．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2．
23．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
24．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
25．已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．
28．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，且a≠0）的图象过点（3，﹣1）．
（1）试判断点（2，2﹣2a）是否也在该函数的图象上，并说明理由．
（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．
（3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当x1＜x2时，始终都有y1＞y2，求a的取值范围．
29．在直角坐标系中，设函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴．
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）已知当x＝0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q＜p+r，求证：m＜0．
30．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
31．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
32．二次函数y1＝ax2+bx与y2＝2ax2+2bx（a，b是实数，a≠0）．
（1）当a＝1，b＝2时，完成以下表格：
函数表达式 y1＝x2+2x y2＝2x2+4x
对称轴 直线x＝﹣1 直线x＝　 　
顶点坐标 （﹣1，　 　） （﹣1，﹣2）
与坐标轴交点 （0，0），（ 　 　，0） （0，0），（﹣2，0）
再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的 　 　（填序号）相同．
①形状
②对称轴
③顶点坐标
④与坐标轴的交点
（2）若函数y1＝ax2+bx的图象经过（2，0），（6，2）．点（﹣4，t）是y2＝2ax2+2bx图象上的一点．可以利用这两个函数图象之间的关系，快速求出t的值，请你也求一求．
（3）若函数y1＝ax2+bx的图象向上平移6个单位，与x轴仅有一个交点．点（4，m），（﹣2，m）均在y2＝2ax2+2bx的图象上，求a的值．
33．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），图象经过点（﹣1，m），（1，n），（3，p）．
（1）当m＝﹣2时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大；
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
34．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2．
（1）求函数图象的顶点；
（2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值；
（3）若y1≥y2，求y1的最小值．
35．已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
36．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（n，b）在该二次函数图象上，求（b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
37．二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴；
（2）若函数y1的图象经过点（2，m），且x1+x2＝2时，求m的最大值；
（3）若一次函数y2＝kx+b（k，b是常数，k≠0），它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1﹣x2＝2．当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值．
38．已知，二次函数y＝x2+2mx+n（m，n为常数且m≠0）．
（1）若n＝0，请判断该函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若点A（n+5，n）在该函数图象上，试探索m，n满足的条件；
（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图象上，且p＜q＜r，求m的取值范围．
39．已知二次函数y＝ax2+bx+3．
（1）若此函数图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式．
（2）若b＝2a，点P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）是该函数图象上的3个点，试比较y1，y2，y3的大小．
（3）若b＝a+3，当x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大，求a的取值范围．
40．综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得：
x的值 x1 x2 x3 x4 x5 x6
y＝x2+x﹣1的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 ﹣0.25
操作判断：（1）求x1的值；
实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？
问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0）
x的值 x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d
y＝ax2+bx+c的值 y1 y2 y3 y4 y5 y6
将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．
41．已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．
（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．
42．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
（1）当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是　 　；
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
（4）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是　 　．
（5）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
（6）以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．
43．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
抛物线y1（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值．
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．【分析】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
【解答】解：∵直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），
A．若1＜a1＜a2，如图所示，
则c1＞c2
B．若a1＜1＜a2，如图所示，
则c1＞c2
则c1＜c2，
故B选项不合题意，
C．若a1＜a2＜1，如图所示，
∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
2．【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
3．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：①由抛物线图象与x轴有两个不同的交点可得，判别式b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故①正确；
②因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且与x轴交于一点（﹣1，0），则另一点为（3，0），故方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
③由对称轴 ，可得b＝﹣2a，即抛物线y＝ax2﹣2ax+c，由抛物线经过（﹣1，0）代入，则a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；
④当y＜0时，抛物线的图象应该在x轴的下方，则x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，故④错误；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确，
故正确的有3个．
故选：B．
4．【分析】由函数解析式确定函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，再由函数的对称性确定函数顶点的横坐标为，根据甲的说法求0＜a＜1时的范围，即可确定甲的说法错误；将方程a（x+3）（x）+5＝0化为一元二次方程ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，求判别式Δ＝9（a）20，即可确定方程的根的情况．
【解答】解：由函数y＝a（x+3）（x）可知，函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，
∴函数顶点的横坐标为，
∵0＜a＜1，
∴，
∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；
∵a（x+3）（x）+5＝0可以化为ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，
Δ＝（3a﹣2）2+4a＝9a2﹣8a+4＝9（a）20，
∴a（x+3）（x）+5＝0必有两个不相等的实数根，
故乙的结论正确；
故选：D．
5．【分析】①把二次函数关系式y＝ax2+（a﹣1）x﹣1化为y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），可以判断两个定点；
②分两种情况讨论，顶点关于a的不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：①∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），当x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，∴无论a取何值，该函数图象必过两定点（﹣1，0），（0，﹣1），故①正确；
②函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）的对称轴为直线x，
当a＞0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，
则0，解得a≤1，
∴0＜a≤1，
当a＜0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，
则1，解得a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0，故②正确；
故选：A．
6．【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得a≤﹣4，根据函数图象可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥﹣2的x的值越小，故令a＝﹣4即可求得m的最大值．
【解答】解：∵函数，且a＜0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，
则有，解得a≤﹣4，
对于该函数图象的对称轴，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥﹣2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a＝﹣4时，令y＝﹣4x2+4x+1＝﹣2，
解得，，
∴满足y≥﹣2的x的最大值为，
即m的最大值为．
故选：D．
7．【分析】根据函数的性质即可判断．
【解答】解：由①y＝x2﹣4x+2（x＞1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＞1时，无法确定y1，y2的大小，则无法确定使一定成立；
由②y＝﹣2x2﹣4x+5（x＞0）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴若x1＞x2，则y1＜y2，
∴一定能使成立；
由③y＝1﹣2x可知函数y随x的增大而减小，
∴若x1＞x2，则y1＜y2，
∴一定能使成立；
故选：C．
8．【分析】先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由a＞0可判断y1＞y4＞y2＞y3，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x2，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵2﹣（﹣2）＞5﹣2＞2﹣0＞3﹣2，
∴y1＞y4＞y2＞y3，
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y2＞0，y3y4＜0，选项A错误．
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y4＞0，y2y3＜0，选项B错误．
若y2y4＜0，则y1＞y4＞0＞y2＞y3，
∴y1y3＜0，选项C正确．
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y3y4＜0，y1y2＞0，选项D错误．
故选：C．
9．【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m+1，然后根据两点到对称轴的距离判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线xm+1，
∵该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），且m+1﹣m＜m+4﹣（m+1），
∴q＞5，
故选：D．
10．【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
二．填空题
11．【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由n＜0＜m即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2t，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，n＜0＜m，
∴3＜2t＜5，
∴t．
故答案为：t．
12．【分析】把C（﹣1，1）代入y＝ax2求得a＝1，然后根据图象即可求得．
【解答】解：把C（﹣1，1）代入y＝ax2得a＝1，
把B（﹣3，1）代入y＝ax2得a，
把A（﹣4，2）代入y＝ax2得a，
如图，若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为a＞1或0＜a或a＜0，
故答案为a＞1或0＜a或a＜0．
13．【分析】（1）由函数的不动点概念得出3＝32+2×3+m，解得即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+2x+m＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0，令y＝x2+x+m，则x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
【解答】解：（1）由题意得3＝32+2×3+m，
解得m＝﹣12，
故答案为﹣12；
（2）由题意知二次函数y＝x2+2x+m有两个相异的不动点a，b是方程x2+2x+m＝x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+x+m＝0，
由x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，
令y＝x2+x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜﹣2，
故答案m＜﹣2．
14．【分析】求出函数的最小值的取值范围即m2+m﹣3＝（m）2，由已知可知对于一切实数m和x均有y≥k，即k≤w．
【解答】解：y＝x2﹣2（m﹣1）x+2m2﹣m﹣2＝（x﹣m+1）2+m2+m﹣3，
当x＝m﹣1时，y有最小值m2+m﹣3，
令w＝m2+m﹣3＝（m）2，
∵对于一切实数m和x均有y≥k，即k≤w，
∵w，
∴k，
故答案为．
15．【分析】抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）可知对称轴为直线x＝﹣2，然后利用二次函数的性质可判断不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1．
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79），
∴抛物线的对称轴为直线x2，
∴点（2，0）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣6，0），点（﹣3，m）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，m），
∵抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1，
故答案为：﹣6＜x＜2，x＝﹣3或x＝﹣1．
16．【分析】解一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：①当m＝0时，一元二次方程为（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3，故①正确；
②当m＞0时，
∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
若2＜x1＜x2＜3，则|x2﹣x1|＜1，
∵，且m＞0，
∴|x2﹣x1|＜1错误，即2＜x1＜x2＜3错误，故②错误；
∴当m＞0时，x＜2或x＞3，故②错误；
③（x﹣2）（x﹣3）＝m转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＞0，即1+4m＞0，
∴，故③正确；
④∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
∴，即y＝x2﹣5x+6﹣2m，
∴由二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标不是（2，0）和（3，0），故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
17．【分析】根据抛物线的对称性求得二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0），则y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，由该函数图象的顶点坐标为（n，p）可知n，p＝﹣9an2，代入求得即可．
【解答】解：∵函数图象的顶点坐标为（n，p），
∴对称轴为直线x＝n，
∵二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．
∴二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0）．
∴y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，
∴p＝﹣9an2，
∴9an，
∴n，
∴9，
故答案为：9．
18．【分析】依据题意，设AD边长为x m，则AB边长为长为m，当AB＝15时，15，解得x＝30，故可判断①；当菜园ABCD面积为200m2，由题意得x 200，从而x＝30±10，又x≤28，故可判断②；又设矩形菜园的面积为y m2，从而y＝x （x﹣30）2+450，结合0，x≤28，从而当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2，故可判断③；依据题意，直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，进而设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．求得a≈6.2，最后得农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560，故可判断④．
【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为长为m，
当AB＝15时，15，
解得x＝30，
∵AD的长不能超过28m，
∴x≤28，
故①不正确．
∵菜园ABCD面积为200m2，
∴x 200．
∴x＝30±10．
又x≤28，
∴x＝30﹣10．
∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为y m2，
根据题意得：y＝x （x﹣30）2+450，
∵0，x≤28，
∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2．
故③不正确．
∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，
∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．
∴a≈6.2．
∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560．
∴农场的面积不超过560m2．
故④错误．
故答案为：②．
19．【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a+b的值为非零整数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＜0，0，a﹣b+2＝0，
故b＞0，且b＝a+2，a+b＝a+a+2＝2a+2，
∴a+2＞0，
∴﹣2＜a＜0，
∴﹣2＜2a+2＜2，
∵a+b的值为非零整数，
∴a+b的值为﹣1，1，
∴2a+2＝﹣1或2a+2＝1，
∴a或a，
∵b＝a+2，
∴b或b．
故答案为﹣2＜a＜0；或．
20．【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S＝a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可．
【解答】解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1，
∴S＝a+b+c＝2b，
由题设知，对称轴x，
∴2b＞0．
又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2．
∴0＜S＜2．
故本题答案为：0＜S＜2．
三．解答题
21．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m，根据二次函数的性质即可得出m2，解得即可；
（3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得．
【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），
把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；
（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），
∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴n＝m﹣1，
∴对称轴为直线x＝m，
∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m2，
∴m；
（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），
∴a＝mn，b＝（3﹣m） （3﹣n），
∴ab＝mn （3﹣m） （3﹣n）
＝m（3﹣m） n（3﹣n）
＝[﹣（m）2][﹣（n）2]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜﹣（m）22，
0≤﹣（n）22，
∴0≤ab＜4．
22．【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝﹣1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a）2，根据二次函数的性质即可得到a2+b2．
【解答】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2+bx+2，
∵当x＝﹣1时，y＝4，
∴4＝1﹣b+2，
∴b＝﹣1，
∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a）2，
∴a2+b2．
23．【分析】（1）把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把（1，m），（2，3m）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组得到抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，然后计算x时，y，从而可判断抛物线经过点（，）；
（3）如图，由于x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，抛物线经过点（3，0），则可判断抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，然后利用点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，从而得到y1＞y2．
【解答】（1）解：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）证明：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，
∵当x时，y（2m﹣3）+2﹣m，
∴抛物线经过点（，）；
（3）y1＞y2．
理由如下：
如图，
∵m＞0，n＜0，
∴x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，
∵抛物线经过点（3，0），
∴抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
24．【分析】（1）当b＝1时，分别把x＝﹣2，x＝1代入解析式，计算出y1，y2，比较即可；
（2）先求出y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，再根据y1＜y2，解不等式即可；
（3）先求出二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线x，m得由1＜b＜2，计算可得答案．
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴m得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
25．【分析】（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到k的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于k的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2kx+1﹣k＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴抛物线的顶点坐标为（k，1﹣k+k2）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴当x≥k时，y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴k≤1．
（3）①当k＜0时，x＝0时，函数值最大，
∴1﹣k＝3，解得k＝﹣2；
②当0≤k≤1时，则1﹣k+k2＝3，
解得k＝2或﹣1（舍去），
③当k＞1时，x＝1时，函数值最大，
∴﹣1+2k+1﹣k＝3，解得k＝3
综上，当0≤x≤1时，该函数有最大值3，则k＝﹣2或k＝3．
26．【分析】（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得2a+b＝2；
（2）当a＞0，对称轴x10，当a＜0时，对称轴x＝12，即可求a的范围；
（3）①m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，则有11；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3等式成立，则可证明N点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是M、N，则有根与系数的关系可得p+（﹣2﹣p），即可求a．
【解答】解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，
将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，
∴2a+b＝2；
（2）当a＞0时，
∵A（0，﹣4）和B（2，0），
∴对称轴x10，
∴0＜a≤1；
当a＜0时，
对称轴x＝12，
∴﹣1≤a＜0；
综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；
（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝11，
∴a；
②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，
∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，
∴N点在y＝﹣2x﹣3上，
联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，
∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∵p+（﹣2﹣p），
∴a＝1，
经检验，a＝1是方程的根，
∴a＝1．
27．【分析】（1）直接将AB两点代入解析式可求c，以及a，b之间的关系式．
（2）根据抛物线的性质可知，当a＞0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x和A、B两点位置列出不等式即可求解；
（3）①根据抛物线的对称性得出，解得a；
②根据M、N的坐标，易证得两点都在直线y＝﹣2x﹣3上，即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+（﹣2﹣p），解得a＝1．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣4）和B（2，0）．
∴，
∴c＝﹣4，2a+b＝2．
（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，
对称轴为x，
∵抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；
①当a＞0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，
即：0，
解得：a≤1
∴0＜a≤1
②当a＜0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，
即2，
解得：a≥﹣1；
∴﹣1≤a＜0，
综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a≤1；
（3）①若m＝n，则点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于直线x对称，
∴，
∴a；
②∵m＝﹣2p﹣3，
∴M（p，m）在直线y＝﹣2x﹣3上，
∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，
∴N（﹣2﹣p，n）在直线y＝﹣2x﹣3上，
即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，
∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的两个根，
整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∴p+（﹣2﹣p），
∴a＝1．
28．【分析】（1）将点（3，﹣1）代入解析式，求出a、b的关系，再将点（2，2﹣2a）代入y＝ax2+bx﹣4判断即可；
（2）二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△＝（1﹣3a）2+16a＝0，求出a的值；
（3）抛物线对称轴x，当a＞0，时，a；当a＜0时，当x1＜x2时，始终都有y1＞y2不可能成立，故舍去．
【解答】解：（1）将点（3，﹣1）代入解析式，得3a+b＝1，
∴y＝ax2+（1﹣3a）x﹣4，
将点（2，2﹣2a）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a+2（1﹣3a）﹣4＝﹣2﹣2a≠2﹣2a，
∴点（2，2﹣2a）不在抛物线图象上；
（2）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（1﹣3a）2+16a＝0，
∴a＝﹣1或a，
∴y＝﹣x2+4x﹣4或yx2x﹣4；
（3）抛物线对称轴x，
当a＞0，时，a；
当a＜0时，当x1＜x2时，始终都有y1＞y2不可能成立，故舍去，
∴当a满足所求；
29．【分析】（1）根据对称轴的定义解答即可；
（2）令y＝0，则有，由m，n异号，可知一元二次方程有两个实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）把x＝0，3，4代入y＝m（x+1）2+4n表示出p，q，r，再利用2q﹣（p+r）＜0，解题即可．
【解答】（1）解：∵函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数），
∴函数图象的对称轴为x＝﹣1；
（2）证明：令y＝0，则0＝m（x+1）2+4n，
即，
∵m，n异号，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知p＝m+4n，q＝16m+4n，r＝25m+4n，
∵2q﹣（p+r）＝2（16m+4n）﹣（m+4n+25m+4n）＝6m＜0，
∴m＜0．
30．【分析】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知1，代入b＝1﹣a，解得a，即可得到a的取值范围是0＜a；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a）2，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知1，
∵b＝1﹣a，
∴1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a，
∴a的取值范围是0＜a；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a）2，
∴当a时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴a2+b2＜1．
31．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）①由抛物线的对称性可得A，B两点关于对称轴对称，进而求解．②根据x＞﹣1时y随x增大而增大分类讨论x1＞x2与x1＜x2两种情况求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）①由抛物线的对称性可得当y1＝y2时，A，B两点关于对称轴对称，
∴1，
解得n＝﹣1．
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大，
∴当x1＞x2时，y1＞y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
当x1＜x2时，y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
32．【分析】（1）利用配方法得到两抛物线的对称轴和顶点坐标，再解方程x2+2x＝0得抛物线y1＝x2+2x与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质找出两函数图象的相同点；
（2）抛物线y1＝ax2+bx可用交点式表示为y＝ax（x﹣2），再把（6，2）代入得a，由于两抛物线有相同的对称轴，则抛物线y2＝2ax2+2bx的解析式为y2x（x﹣2），然后计算自变量为﹣4对应的函数值得到t的值；
（3）利用二次函数图象的几何变换，函数y1＝ax2+bx的图象向上平移6个单位后抛物线解析式为y＝ax2+bx+6，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4a×6＝0，再确定抛物线y2＝2ax2+2bx的对称轴为直线x＝1，所以1，则b＝﹣2a，消去b得到（﹣2a）2﹣24a＝0，然后解方程得到a的值．
【解答】解：（1）y1＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），
令y＝0，则x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
∴y1＝x2+2x与x轴的交点为（0，0），（﹣2，0）；
y2＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2，
∴对称轴直线为x＝﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1，﹣2；②④；
（2）抛物线y1＝ax2+bx可表示为y＝ax（x﹣2），
把（6，2）代入得2＝a×6×（6﹣2），
解得a，
∴抛物线y2＝2ax2+2bx的解析式为y2x（x﹣2），
当x＝﹣4时，t（﹣4）×（﹣4﹣2）＝4；
（3）函数y1＝ax2+bx的图象向上平移6个单位后抛物线解析式为y＝ax2+bx+6，
∵平移后的抛物线与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4a×6＝0，
∵点（4，m），（﹣2，m）均在y2＝2ax2+2bx的图象，
∴抛物线y2＝2ax2+2bx的对称轴为直线x＝1，
即1，
解得b＝﹣2a，
∴（﹣2a）2﹣24a＝0，
解得a1＝0（舍去），a2＝6，
即a的值为6．
33．【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题．
②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题．
（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
【解答】解：（1）①当m＝﹣2时，
将点（﹣1，﹣2）代入函数解析式得，
a+2a+1＝﹣2，
解得a＝﹣1．
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+1．
②因为抛物线的对称轴为直线x，且开口向下，
所以当x＜1时，y随x的增大而增大．
故一个符合条件的x的取值范围是：x＜1．
证明：（2）因为抛物线的对称轴为直线x，
又因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以点（﹣1，m）和点（3，p）关于抛物线的对称轴对称，
则m＝p．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则，
解得．
所以a．
34．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据题意，列出方程，化简后将x1+x2＝2代入即可求解；
（3）根据题意，由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，根据二次函数的增减性即可求解．
【解答】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数图象的顶点为（2，﹣9）．
（2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，
∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|，
∴（x1﹣m）2＝（x2﹣m）2，
化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0，
又∵x1+x2＝2，x1≠x2，
∴m＝1．
故m的值为1．
（3）∵y1≥y2，
由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，
∴x1≤1，
∵y1随x1的增大而减小，
∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8．
故y1≥y2时，y1的最小值为﹣8．
35．【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；
（2）利用顶点坐标公式得到m，n，然后消去b可得到n与m的关系式．
（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．
【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴m，n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入n得nm2﹣6m．
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．
（3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x）23b，
∴抛物线顶点（，3b），
∵0，
∴当3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣60，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．
当1+4b﹣（3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
36．【分析】（1）计算出△，可以证明△大于等于0，即可说明图象与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2，再求出（b）2+n2的值；
（3）求出平移后的新函数解析式，再由二次函数与方程的关系证明即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4a×4＝4a2+8a+4﹣16a＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x1，
∵点P（，b）和点Q（n，b）关于对称轴对称，
∴1，
∴n＝2，
把P（，b）代入函数解析式得：a2（a+1）4＝b，
解得b＝2，
∴（b）2+n2＝（2）2+22＝8；
（3）证明：∵将二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）的图象向下平移2个单位，
平移后的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+2，
∵平移后函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2，
∴ax2﹣2（a+1）x+2＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1 x2，
∴|x1﹣x2|2．
37．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将已知条件代入解析式中，得到m关于x1的函数关系式，利用二次函数的性质，配方法解答即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分别得到y关于x1，x2的解析式，再利用待定系数法和已知条件解答即可．
【解答】解：二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2，
∵二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）经过（1，0），（2，0），
∴，
解得：，
∴函数y1的表达式为y1＝2x2﹣6x+4．
∵y1＝2x2﹣6x+4＝2，
∴函数y1的对称轴为直线x；
（2）∵函数y1的图象经过点（2，m），
∴m＝2×22﹣4（x1+x2）+2x1x2＝8﹣4（x1+x2）+2x1x2，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴m＝8﹣4×2+2x1 （2﹣x1）
＝﹣24x1
＝﹣22，
∵﹣2＜0，
∴当x1＝1时，m有最大值为2．
∴m的最大值为2；
（3）由题意：二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，
①若两函数的图象都经过x轴上同一点（x1，0），
∴0＝kx1+b，
∴b＝﹣kx1，
∴y2＝kx﹣kx1．
∵y＝y1+y2，
∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx1
＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx1．
∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝0．
即0，
整理得：0，
∴k＝﹣2（x1﹣x2）．
∵x1﹣x2＝2，
∴k＝﹣2×2＝﹣4；
②若两函数的图象都经过x轴上同一点（x2，0），
∴0＝kx2+b，
∴b＝﹣kx2，
∴y2＝kx﹣kx2．
∵y＝y1+y2，
∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx2
＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx2．
∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝0．
即4×2（2x1x2﹣kx2）＝0，
整理得：0，
∴k＝2（x1﹣x2）．
∵x1﹣x2＝2，
∴k＝2×2＝4．
综上，当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，k的值为4或﹣4．
38．【分析】（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2＞0，即可求解；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（3）抛物线开口向上，而p＜q＜r，即函数y随x的增大而增大，则点（2，p），（3，q），（4，r）在函数对称轴的右侧，即可求解．
【解答】解：（1）n＝0时，Δ＝b2﹣4ac＝4m2＞0，
故该函数的图象与x轴的交点个数为2；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：n＝（n+5）2+2m（n+5）+n，
解得：n＝﹣5或n＝﹣5﹣2m；
（3）a＝1＞0，故抛物线开口向上，而p＜q＜r，
①当点（2，p），（3，q），（4，r）在函数对称轴的同侧时，函数y随x的增大而增大，
此时x＝﹣m＜2，即m＞﹣2；
②当点（2，p），（3，q），（4，r）不在函数对称轴的同侧时，如图所示，
由图可知，﹣m﹣2＜3﹣（﹣m），解得m，
综上可知，m＞﹣2.5且m≠0．
39．【分析】（1）根据函数图象与x轴只有一个交点得出Δ＝b2﹣12a＝0，再求出即可；
（2）先求出二次函数的对称轴，分为两种情况：①当a＞0时，图象开口向上，y2为最小值，②当a＜0时，图象开口向下，y2为最大值，再比较即可；
（3）根据b＝a+3得出函数表达式为y＝ax2+（a+3）x+3＝（ax+3）（x+1），求出函数图象经过定点（﹣1，0），（0，3），再分析求解即可．
【解答】解：（1）由条件得，Δ＝b2﹣12a＝0，即b2＝12a且a≠0；
（2）当b＝2a时，二次函数图象的对称轴为，即P2为顶点
①当a＞0时，图象开口向上，y2为最小值
∵|﹣3﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|
∴y1＜y3
∴y2＜y1＜y3
②当a＜0时，图象开口向下，y2为最大值
∵|﹣3﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，∴y1＞y3
∴y3＜y1＜y2
（3）当b＝a+3时，即函数表达式为y＝ax2+（a+3）x+3＝（ax+3）（x+1）
∴函数图象经过定点（﹣1，0），（0，3）
∴要当x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大
必须满足：图象开口向上，对称轴在直线x＝﹣1的左侧
即a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤3．
40．【分析】（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，求得相应的x的值，根据函数值的变化选取合适的x的值；
（2）作差后的前三个数据分别是前一个数据的基础上增加0.02，第四个不是，所以猜测第五个函数值错了，设出第五个函数值为m，根据第五个函数值减去第四个函数值的值为﹣0.25+0.02列式计算即可；
（3）可设函数值的差为w，若自变量为x，那么和它相邻的自变量为x+d，分别求得它们的函数值，相减即可得到w．
【解答】解：（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，得：
x2+x﹣1＝1，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
∵二次函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x，
∴当x时，y随着x的增大而减小．观察图表可得y随x的增大而减小．
∴．
∴x1＝﹣2．
（2）作差后的前三个数据﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25分别是前一个数的基础上增加0.02，第四个不是．
∴猜测第五个函数值错了．
设第5个函数值为m．
∴m﹣0.19＝﹣0.25+0.02．
解得：m＝﹣0.04．
答：第五个函数值错了，应该是﹣0.04．
（3）设函数值的差为w，
猜测：函数值的差与自变量满足一次函数关系，
若自变量为x，则函数值为：yn＝ax2+bx+c；
和x相邻的自变量为x+d，则函数值为：yn+1＝a（x+d）2+b（x+d）+c．
∴w＝[a（x+d）2+b（x+d）+c]﹣（ax2+bx+c）
＝2adx+（ad2+bd）．
∵a，b，c，d为常数，且a≠0，d≠0，
∴函数值的差与自变量满足一次函数关系．w＝2adx+（ad2+bd）（a≠0，d≠0，a、b、c、d为常数）．
41．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①因为函数y1经过定点（2，3），对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，推出当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．
②首先确定抛物线的对称轴的位置，利用图象法，构建不等式解决问题即可．
【解答】解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，
∴点A不在抛物线上，
把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，
解得m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．
（2）①由（1）可知函数y1经过定点（2，3），
对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，
∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．
②∵m≤2，
∴抛物线的对称轴x2，
∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的左侧，
由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，
∴3m+3n≤﹣3，
∴m+n≤﹣1．
42．【分析】（1）把t＝2代入抛物线的解析式，利用配方法即可解决问题．
（2）边点A坐标代入即可判断．
（3）把点B的坐标代入即可求出n的值．
（4）可得y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4，则得出抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．
（5）根据“再生二次函数”的定义，即可判断．
（6）作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于K，过点D1作D1G⊥x轴于G，过点C2作C2H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C2H与BM交于点T．分两种情形求出C、D两点坐标，再利用待定系数法求出t的值即可．
【解答】解：（1）将t＝2代入抛物线E中，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）；
（2）将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．
（3）将x＝﹣1代入抛物线E的解析式中，得：
n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝6．
（4）将抛物线E的解析式展开，得：
y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．
故答案为：A（2，0）、B（﹣1，6）；
（5）将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣6≠6，
即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，
二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．
（6）如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于K，过点D1作D1G⊥x轴于G，过点C2作C2H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C2H与BM交于点T．
∵∠AMB＝∠BKC1，∠KBC1＝∠ABM，
∴△KBC1∽△MBA，
∴，
∵AM＝3，BM＝6，BN＝1，
∴，
∴C1K，
∴点C1（0， ）．
∵BC1＝AD1，∠AGD1＝∠BKC1＝90°，∠GAD1＝∠KBC1，
∴△KBC1≌△GAD1（AAS），
∴AG＝1，GD1，
∴点D1（3， ）．
同理△OAD2∽△GAD1，
∴，
∵AG＝1，OA＝2，GD1，
∴OD2＝1，
∴点D2（0，﹣1）．
同理△TBC2≌△OD2A，
∴TC2＝AO＝2，BT＝OD2＝1，
∴点C2（﹣3，5）．
∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（﹣1，6），
∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．
当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），
解得t1；
当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，
当抛物线经过A、B、C2时，将C2（﹣3，5）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，
当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，﹣1）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，
∴满足条件的所有t的值为：，，，．
43．【分析】【概念理解】求出抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，即可知抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①求出抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），代入y2＝ax2+bx+c得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，可得抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），而抛物线的顶点为（1，﹣2），a，可知抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；即可得m﹣n（x0﹣1）2﹣2﹣（2ax0﹣3a）＝（a）（2a﹣1）x0+3a，根据m﹣n的值始终不大于2，有2，即解得a≤1，而A（0，），B（0，﹣3a）；故AB（﹣3a）＝3a，从而可得线段AB长的取值范围是0＜AB．
【解答】解：【概念理解】抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；
在中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），
把（3，0）和（﹣1，0）代入y2＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），
∵抛物线的顶点为（1，﹣2），a，
∴﹣4a＜﹣2，
∴抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；
∴m（x0﹣1）2﹣2，n2ax0﹣3a，
∴m﹣n（x0﹣1）2﹣2﹣（2ax0﹣3a）＝（a）（2a﹣1）x0+3a，
∵m﹣n的值始终不大于2，
∴2，
整理得：2a2﹣3a+1≤0，
解得a≤1，
∵a，
∴a≤1；
在中，令x＝0得y，
∴A（0，），
在y2＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a，
∴B（0，﹣3a）；
∴AB（﹣3a）＝3a，
∵a≤1；
∴0＜3a，
∴线段AB长的取值范围是0＜AB．

展开更多......

收起↑