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南充市第一中学校2024-2025学年高一上学期12月检测
数学试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4）
C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2）
4．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
8．命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
10．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
11．对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．
B．方程有三个解
C．当时，有
D．函数有最大值为，无最小值
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 .
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
14．已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共计77分）
15．已如函数
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)作出函数在区间内的图像．
16．已知集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求；
(3)若是的必要条件，求实数的取值范围.
17．已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
18．已知二次函数（）满足，且．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式；
(3)集合，，若，求实数的取值范围．
19．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D D A D C ABD ABD
题号 11
答案 ABD
12．1【详解】由题意，
13．【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是.
14．
【详解】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，所以，
15．(1)；(2)2或0；(3)图象见解析
【详解】（1）易知
（2）当时，，解得，满足要求，
当时，,解得或（舍）
综上可得或0
（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
16．(1)或；(2)；(3)或
【详解】（1）将不等式等价为，
解得，即可得，
由可得或
（2）代入可得，
由（1）中可得或，
所以可得
（3）若是的必要条件可知，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
需满足，解得；
综上可得实数的取值范围或.
17．(1)16；(2)
【详解】（1）当时，，
即，即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
18．(1)；(2)答案见解析；(3)
【详解】（1）由题有，
则，解得，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
即，变形得到，
令，得到或，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为.
（3）由，得到，即，
令，因为，且，
所以，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
19．(1)答案见详解；(2)证明见详解；(3)答案见详解
【详解】（1）由题意可得：，
.
（2）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
（3）设，
则，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围.
若取到最大值，则，即，
可得，即，
所以.

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