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浙江省台州市2024学年第一学期高二数学期末试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线的倾斜角为 （ ）
A． B． C． D．
2．等比数列中，，，则的值为 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．若方程表示椭圆，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则 （ ）
A． B．3 C．0或3 D．
6．在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
7．在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为 （ ）
A．98 B．50 C．49 D．7
8．已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是 （ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
10．已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是 （ ）
A．数列是等差数列 B．数列是递增数列
C． D．
11．已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是 （ ）
A．当，时，的最小值为
B．当，时，过点，，的截面面积为
C．当，且时，点的轨迹的长度为
D．当，时，三棱锥的体积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 .
13．若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ．
14．若数列满足，，则 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）已知直线，圆
(1)若，求直线l截圆M所得的弦长;（6分）
(2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.（7分）
16．（本题满分15分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是的中点．
(1)求证：平面；（4分）
(2)求平面与平面所成二面角的夹角的余弦值；（5分）
(3)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角正弦值，若存在，求线段 的长度，若不存在，说明理由．（6分）
17．（本题满分15分）记为数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等比数列；（5分）
(2)求数列的前项和；（5分）
(3)数列的前n项和为，且，求证：．（5分）
18．（本题满分17分）如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；（5分）
(2)过上的一点作的切线交圆于不同的两点.（6+6分）
（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值.
19．（本题满分17分）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的或是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，与数列，，，是否具有性质，并说明理由；（5分）
(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；（5分）
(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等比数列.（7分）
浙江省台州市高二期末模拟试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B B C A ABD CD
题号 11
答案 BD
1．D【详解】因为直线的斜率为，设倾斜角为，所以，故.
故选：D.
2．C【详解】由等比数列的性质知.故选：C
3．D【详解】因为方程表示椭圆，
所以，且，解得.故选：D.
4．A【详解】.故选：A
5．B【详解】因为，，成等差数列，所以，即，
因为，所以，即，因为，，所以.
故选：B
6．B【详解】以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
，则，，，，
所以，，
所以，
故与所成角的余弦值为.故选：B.
7．C【详解】令数列公差为，则，可得，
所以，则，
显然时最大是.故选：C
8．A【详解】由题意得，，令，则
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，∴.故选：A.
9．ABD【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.故B正确.
对选项C，，故C错误.对选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.故选：ABD
10．CD【详解】因为，当时，，解得；
当时，，则，即，
所以，则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，故A错误，C、D正确；
又，所以数列是递减数列，故B错误；故选：CD
11．BD【详解】以为坐标系原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
故，
对于选项A，由题，
故点坐标为，故在线段上，
沿将平面翻折使得平面与平面处于同一平面内（如图所示），
连接，易得，所以，故A错误；
对于选项B，由题，
故点坐标为，故为的中点，取的中点，如图所示，
则，又，所以，
所以平面即为过点，，的截面，
易知此截面为等腰梯形，如图所示，其高为，
故其面积为，故B正确；
对于选项C，由空间向量基本定理可知，在平面内，
由上得，
设平面的法向量为，则，
取，则，
则点到平面的距离为 ，
又，所以在平面以为半径的圆上，
由等面积法可知正的内切圆半径为，
所以的轨迹为三段圆弧，其长度一定小于圆的周长，故C错误；
对于选项D，由题，
故点坐标为，故在上，
故，故D正确.故选：BD.
12．【详解】设，，直线的斜率为，则.
因为为线段的中点，所以，.
联立两式相减得，
即，所以，解得，经验证此时直线与椭圆有两交点，故答案为：
13．【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量，
令直线OP与平面OMQ所成角为，
则，所以.故答案为：
14．【详解】因为①，
所以②，
②①得，，
所以有，
所以．故答案为：.
15．【详解】（1）当时，直线，圆M的圆心为，半径为3，
则圆心M到直线l的距离为，则直线l截圆M所得的弦长为；
（2）由得，所以定点，由题意得切线的斜率存在，
则设切线的方程为，即，
所以，解得，
故所求切线方程为，即或
16．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又E、F分别是的中点，则，故平面；
（2）取的中点O，连接，连接，则，
因为平面平面平面，平面平面，
所以平面，故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法相向量为，则，即，
令，则，故，
又平面的法向量为，所以，
所以平面与平面所成二面角的夹角的余弦值为；

（3）设，因为，
故，
所以，
因为直线与平面所成角为正弦值，故，
化简可得，解得或1，所以或.
17．【详解】（1）证明：当时，，则，
当时，，即，而，
所以数列成首项为3，公比为的等比数列，
（2）由（1）知，，则，
由，所以，
则，设前n项和记为，
所以①，
则②，
①②得，
则，即数列的前n项和为.
（3）证明：由（2）知，，则，
所以
所以
，因为，所以．
18．【详解】（1）由题意可知：，
则，
可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线的方程为.
（2）（i）联立方程，消去可得，
因为直线与曲线相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
（ii）由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离
，
可得，
因为，则，可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值8.
19．【详解】（1）数列，，，，则，，，，，，，所以数列，，，具有性质；
数列，，，，，，都不是数列里的项，所以数列，，，不具有性质.
（2）由数列具有性质，由，可得，
即不是数列中的项，所以为数列中的项，
由，所以是数列中的项，
当时，则，所以不是数列中的项，
因为数列具有性质，所以一定是数列中的项；
综上，一定是中的项；
（3）依题意，所以，
由（2）可知一定是中的项，
所以，，，，，，
所以（*）
当，则，所以不是数列中的项，
所以是数列中的项，由，
又因为，
可得，，，，所以，
因为，由以上可知：且，所以且，
所以，（**）
由（*）知，，
两式相除，可得，
所以当时，数列为等比数列.

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