资源简介

　锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　锐角三角函数值的计算
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项中,正确的是( )
A.sin A= B.cos B=
C.tan A= D.tan B=
2.(2024·泉州期末)如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在y轴,x轴上,点D(10,6)在边BC上,则∠OAD的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.(2024·淮南质检)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=m,那么AB的长为( )
A.msin α B.mcos α C. D.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别为AC,AB的中点,连接BD,DE.若sin A=,则tan∠BDE的值为( )
A. B. C. D.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,AC=2,OE=1,则cos∠EDO= .
6.(2024·咸阳一模)在平面直角坐标系内有一点P(2,3),OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为 .
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AD=6,BC=12,tan C=,求:
(1)CD的长;
(2)cos B的值.
知识点2　锐角三角函数的应用
8.如图,梯子跟地面的夹角为∠α,关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,叙述正确的是( )
A.sin α的值越小,梯子越陡
B.cos α的值越小,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的三角函数值无关
9.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有( )
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
【B层 能力进阶】
10.如图,在菱形ABCD中,AB=10,对角线BD=16,点G,E,O分别为AB,AD和GE的中点,则sin∠EAO的值为( )
A. B. C. D.
11.(2024·郴州期末)如果把方程x2+6x+5=0变形为(x+a)2=b的形式,那么以a,b长为直角边的 Rt△ABC中,a,b所对角分别为∠A,∠B,则cos B的值是( )
A. B. C. D.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么AD= .
13.如图,利用四边形的不稳定性,将矩形变形为平行四边形,则称sin α的值为这个平行四边形的“变化系数”,若矩形的面积为10,将其变形后的平行四边形的面积为8,则这个平行四边形的“变化系数”为 .
14.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为 .
15.(2024·无锡质检)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=3,BE=4,DE=5.
(1)求证:BE⊥CD;
(2)求sin∠DAE.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·滁州质检)如图,AD是△ABC的高线,垂足为点D,DE是△ACD的中线.BC=AD=12,tan B=4.
(1)求BD的长;
(2)求cos∠CDE的值.　锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　正切
1.(2024·东莞一模)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan A的值是(C)
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则tan A的值为(A)
A. B. C. D.
3.已知∠α,∠β如图所示,则tan α与tan β的大小关系是　tan α4.(2024·徐州质检)若AB=5,BC=3,则tan∠ADE= 　.
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tan B.
【解析】如图,在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,过A作AD⊥BC于D,则BD=5,
在Rt△ABD中,AB=13,BD=5,则AD==12,故tan B==.
知识点2　坡度与坡角
6.(2024·淮南质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=4 m,则坡面AB的长度是(A)
A.8 m B.12 m　　 C.8 m　　 D.4 m
7.一个公共房门前的台阶高出地面2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列说法中,正确的是(B)
A.斜坡AB的坡度是18°
B.斜坡AB的坡度是tan 18°
C.AC=2tan 18°米
D.AB=米
8.一汽车沿着坡度为3∶4的斜坡向下走了1 000 m,则它距离地面的垂直高度下降了　600　m.
【B层 能力进阶】
9.如图,下列变形中,错误的是(C)
A.a=b·tan A B.b=
C.b= D.tan A·tan B=1
10.在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则∠A的正切值(C)
A.扩大3倍　　 B.缩小为原来的
C.不变 D.不能确定
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的对边分别是a,b,且满足a2-ab-2b2=0,则tan A等于(C)
A.1 B. C.2 D.以上都不对
12.如图所示,在菱形ABCD中,tan B=0.75,AE⊥BC,垂足为E,若CE=2,则菱形的周长为　40　.
13.(2024·杭州质检)如图,一座水库大坝的横断面为梯形ABCD,斜坡AB=8 m,现将坡度为1∶的斜坡AB改为坡度为1∶2的斜坡AP.则新坡面AP=　4　m.(结果保留根号)
14.某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的坡度为1∶3,一楼到地下停车场地面的垂直高度CD=3.2 m,一楼到地平线的距离BC=1 m.
(1)为保证斜坡的坡度为1∶3,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工
【解析】(1)∵CD=3.2 m,BC=1 m,
∴BD=2.2 m.∵斜坡AD的坡度为1∶3,
∴=,即=,解得AB=6.6 m.
答:应在地面上距点B 6.6 m的A处开始斜坡的施工.
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.8 m,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场 并说明理由.(参考数据:≈3.2)
【解析】(2)按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场.理由如下:过点C作CH⊥AD于H,
则∠CDH+∠DCH=90°.
∵∠CDH+∠DAB=90°,∴∠DCH=∠DAB,
∴tan ∠DCH=.设DH=x m,则CH=3x m,由勾股定理,得CD==x(m).
由题意,得x=3.2,解得x≈1,则CH≈3 m.∵2.8<3,∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场.
【C层 创新挑战(选做)】
15.有一斜坡AC,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AB为5 m,B,C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AC的水平宽度BC的长;
【解析】(1)∵i=1∶2,∴AB∶BC=1∶2,
∵AB=5 m,∴BC=10 m;
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=3 m,EF=2 m.将该货柜沿斜坡向上运送,当CF=4 m,求点D离水平地面的高.
【解析】(2)过点D作DM⊥BC于点M,DM交GF于点N,∵DM⊥BC,i=1∶2,
∴=,∵四边形DEFG是矩形,∴DE=GF=3 m,EF=DG=2 m,∠DGN=90°,∵CF=4 m,
∴CG=GF+CF=7 m,
∵∠DGN=∠CMN,∠DNG=∠CNM,
∴△DGN∽△CMN.
∴==,∴GN=1 m,∴CN=CG-GN=6 m,DN== m,
设MN=x m,则CM=2x m,
根据勾股定理可得:CN2=MN2+CM2,
即62=x2+,解得x=,
∴DM=DN+MN= m.　锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　正切
1.(2024·东莞一模)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan A的值是( )
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则tan A的值为( )
A. B. C. D.
3.已知∠α,∠β如图所示,则tan α与tan β的大小关系是 .
4.(2024·徐州质检)若AB=5,BC=3,则tan∠ADE= .
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tan B.
知识点2　坡度与坡角
6.(2024·淮南质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=4 m,则坡面AB的长度是( )
A.8 m B.12 m　　 C.8 m　　 D.4 m
7.一个公共房门前的台阶高出地面2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列说法中,正确的是( )
A.斜坡AB的坡度是18°
B.斜坡AB的坡度是tan 18°
C.AC=2tan 18°米
D.AB=米
8.一汽车沿着坡度为3∶4的斜坡向下走了1 000 m,则它距离地面的垂直高度下降了 m.
【B层 能力进阶】
9.如图,下列变形中,错误的是( )
A.a=b·tan A B.b=
C.b= D.tan A·tan B=1
10.在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则∠A的正切值( )
A.扩大3倍　　 B.缩小为原来的
C.不变 D.不能确定
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的对边分别是a,b,且满足a2-ab-2b2=0,则tan A等于( )
A.1 B. C.2 D.以上都不对
12.如图所示,在菱形ABCD中,tan B=0.75,AE⊥BC,垂足为E,若CE=2,则菱形的周长为 .
13.(2024·杭州质检)如图,一座水库大坝的横断面为梯形ABCD,斜坡AB=8 m,现将坡度为1∶的斜坡AB改为坡度为1∶2的斜坡AP.则新坡面AP= m.(结果保留根号)
14.某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的坡度为1∶3,一楼到地下停车场地面的垂直高度CD=3.2 m,一楼到地平线的距离BC=1 m.
(1)为保证斜坡的坡度为1∶3,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.8 m,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场 并说明理由.(参考数据:≈3.2)
【C层 创新挑战(选做)】
15.有一斜坡AC,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AB为5 m,B,C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AC的水平宽度BC的长;
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=3 m,EF=2 m.将该货柜沿斜坡向上运送,当CF=4 m,求点D离水平地面的高.　锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　锐角三角函数值的计算
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项中,正确的是(D)
A.sin A= B.cos B=
C.tan A= D.tan B=
2.(2024·泉州期末)如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在y轴,x轴上,点D(10,6)在边BC上,则∠OAD的正弦值为(D)
A. B. C. D.
3.(2024·淮南质检)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=m,那么AB的长为(C)
A.msin α B.mcos α C. D.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别为AC,AB的中点,连接BD,DE.若sin A=,则tan∠BDE的值为(A)
A. B. C. D.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,AC=2,OE=1,则cos∠EDO= 　.
6.(2024·咸阳一模)在平面直角坐标系内有一点P(2,3),OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为 　.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AD=6,BC=12,tan C=,求:
(1)CD的长;
【解析】(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵在Rt△ADC中,tan C==,
∴CD=AD=4;
(2)cos B的值.
【解析】(2)由(1)得CD=4,
∴BD=BC-CD=8,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:AB==10,
∴cos B==.
知识点2　锐角三角函数的应用
8.如图,梯子跟地面的夹角为∠α,关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,叙述正确的是(B)
A.sin α的值越小,梯子越陡
B.cos α的值越小,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的三角函数值无关
9.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有(A)
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
【B层 能力进阶】
10.如图,在菱形ABCD中,AB=10,对角线BD=16,点G,E,O分别为AB,AD和GE的中点,则sin∠EAO的值为(B)
A. B. C. D.
11.(2024·郴州期末)如果把方程x2+6x+5=0变形为(x+a)2=b的形式,那么以a,b长为直角边的 Rt△ABC中,a,b所对角分别为∠A,∠B,则cos B的值是(B)
A. B. C. D.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么AD= 　.
13.如图,利用四边形的不稳定性,将矩形变形为平行四边形,则称sin α的值为这个平行四边形的“变化系数”,若矩形的面积为10,将其变形后的平行四边形的面积为8,则这个平行四边形的“变化系数”为 　.
14.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为 或　.
15.(2024·无锡质检)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=3,BE=4,DE=5.
(1)求证:BE⊥CD;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,AD=CB,DC∥AB,
∴∠DEA=∠EAB,∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠BAE,∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE=5,∴BC=5,AB=CD=DE+CE=8,
∵CE2+BE2=32+42=25=BC2,
∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°,即BE⊥CD;
(2)求sin∠DAE.
【解析】(2)∵DC∥AB,∴∠ABE=∠BEC=90°,
∴AE==4,
∴sin∠DAE=sin∠EAB===.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·滁州质检)如图,AD是△ABC的高线,垂足为点D,DE是△ACD的中线.BC=AD=12,tan B=4.
(1)求BD的长;
【解析】(1)∵AD是△ABC的高线,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ADB中,tan B==4,AD=12,
∴BD=3;
(2)求cos∠CDE的值.
【解析】(2)由题意可知:CD=BC-BD=12-3=9,
在Rt△ACD中,AC===15,
又∵DE是Rt△ACD斜边上的中线,
∴DE=CE,
∴∠CDE=∠C,
∴cos∠CDE=cos C===.

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