资源简介

　30°,45°,60°角的三角函数值
【A层 基础夯实】
知识点1　特殊角三角函数值的计算
1.在△ABC中,若三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则sin A∶sin B等于(B)
A.1∶2 B.1∶ C.1∶3 D.2∶
2.(2024·烟台期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,那么sin B等于(B)
A. B. C. D.
3.(2024·杭州模拟)定义一种运算=ad-bc,计算:=　4　.
4.计算:-+tan2 60°=　7+-　.
5.计算:
(1)+;
【解析】(1)原式=+=+=;
(2)tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
【解析】(2)原式=×-()2+1=-+1=1.
知识点2　特殊角三角函数值的应用
6.(2024·泉州期中)在△ABC中,若|cos A-|+(-cos B)2=0,则△ABC的形状是(B)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,则车位所占的宽度EF为　5　米.(≈1.7,结果精确到1 m)
8.如图,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求△ABC的面积和∠C的度数.
【解析】过A作AD⊥BC于D,设BD=x,则DC=8-x,
由勾股定理可得:AB2-BD2=AC2-CD2,
即49-x2=25-(8-x)2,解得x=,
∴AD===,
∴S△ABC=BC·AD=×8×=10.
在Rt△ACD中,∵sin C===,∴∠C=60°.
9.如图(Ⅰ)所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处,再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图(Ⅱ)所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM为0.6千米,山坡②的坡度为1︰1,BN⊥l于N,且CN=千米.
(1)求∠ACB的度数;
【解析】(1)∵山坡②的坡度为1︰1,
∴CN=BN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【解析】(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,
∴AC=2AM=1.2千米,
在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN= 千米,
则BC==2千米,
∴该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).
【B层 能力进阶】
10.(2024·衢州期末)如果三角形满足,一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“和谐三角形”.下列各组数据中,能作为一个“和谐三角形”三边长的是(C)
A.2,2,2 B.1,1,
C.1,2, D.3,4,5
11.下列各式中,不正确的是(B)
A.sin260°+cos260°=1
B.sin 30°+cos 30°=1
C.sin 35°=cos 55°
D.cos 45°=sin 45°
12.已知∠A为锐角,且cos A≤,那么(B)
A.0°<∠A≤60° B.60°≤∠A<90°
C.0°<∠A≤30° D.30°≤∠A<90°
13.关于x的方程x2-2x+2sin A=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角△ABC的一个内角,则∠A=　30°　.
14. (2024·广州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,AC=6,点D在AB边上,且AD=3,点E在直角边上,且不与顶点重合,直线DE把Rt△ABC分成两部分,若其中一部分与原Rt△ABC相似,则∠ADE=　30°或120°　.
15.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,
AC=4,则BC=　8或4　.
16.计算:
(1)4(1-cos 30°)+.
【解析】(1)原式=4×(1-)+=4-2+=4-2+2+3=7.
(2)cos245°-+cos 30°.
【解析】(2)cos245°-+cos 30°=()2-+=-+=.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)图1是我国宋代时期发明的立式风车,是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械,图2是现代人根据风车设计的风力发电机,风轮的三个叶片均匀分布,当风轮的叶片在风力作用下旋转时,最高点距地面145 m,最低点距地面55 m.如图3是该风力发电机的简化示意图,发电机的塔身OD垂直于水平地面MN(点O,A,B,C,D,M,N在同一平面内).
(1)求风轮叶片OA的长度;
【解析】(1)以点O为圆心,OA的长为半径作圆,延长DO交☉O于点P,
设直线DO与☉O交于点Q,
由题意得PD=145 m,DQ=55 m,
∴PQ=PD-DQ=145-55=90(m),
∴OA=OP=PQ=45 m,
∴风轮叶片OA的长度为45 m;
(2)如图3,点A在OD右侧,且α=30°.求此时叶片OB的端点B距地面的高度.
【解析】(2)过点B作BE⊥MN,垂足为E,过点O作OF⊥BE,垂足为F,
则四边形ODEF是矩形,∴∠DOF=90°,EF=OD,
由题意得:∠AOB=120°,AOD=30°,
∴∠BOF=∠AOB+∠AOD-∠DOF=60°,
∴BF=OBsin 60°= m,
∵OD=PD-OP=145-45=100 (m),
∴EF=OD=100 m,
∴BE=BF+EF= m,
∴此时叶片OB的端点B距地面的高度为m.　30°,45°,60°角的三角函数值
【A层 基础夯实】
知识点1　特殊角三角函数值的计算
1.在△ABC中,若三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则sin A∶sin B等于( )
A.1∶2 B.1∶ C.1∶3 D.2∶
2.(2024·烟台期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,那么sin B等于( )
A. B. C. D.
3.(2024·杭州模拟)定义一种运算=ad-bc,计算:= .
4.计算:-+tan2 60°= .
5.计算:
(1)+;
(2)tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
知识点2　特殊角三角函数值的应用
6.(2024·泉州期中)在△ABC中,若|cos A-|+(-cos B)2=0,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,则车位所占的宽度EF为 米.(≈1.7,结果精确到1 m)
8.如图,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求△ABC的面积和∠C的度数.
9.如图(Ⅰ)所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处,再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图(Ⅱ)所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM为0.6千米,山坡②的坡度为1︰1,BN⊥l于N,且CN=千米.
(1)求∠ACB的度数;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【B层 能力进阶】
10.(2024·衢州期末)如果三角形满足,一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“和谐三角形”.下列各组数据中,能作为一个“和谐三角形”三边长的是( )
A.2,2,2 B.1,1,
C.1,2, D.3,4,5
11.下列各式中,不正确的是( )
A.sin260°+cos260°=1
B.sin 30°+cos 30°=1
C.sin 35°=cos 55°
D.cos 45°=sin 45°
12.已知∠A为锐角,且cos A≤,那么( )
A.0°<∠A≤60° B.60°≤∠A<90°
C.0°<∠A≤30° D.30°≤∠A<90°
13.关于x的方程x2-2x+2sin A=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角△ABC的一个内角,则∠A= .
14. (2024·广州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,AC=6,点D在AB边上,且AD=3,点E在直角边上,且不与顶点重合,直线DE把Rt△ABC分成两部分,若其中一部分与原Rt△ABC相似,则∠ADE= .
15.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,
AC=4,则BC= .
16.计算:
(1)4(1-cos 30°)+.
(2)cos245°-+cos 30°.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)图1是我国宋代时期发明的立式风车,是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械,图2是现代人根据风车设计的风力发电机,风轮的三个叶片均匀分布,当风轮的叶片在风力作用下旋转时,最高点距地面145 m,最低点距地面55 m.如图3是该风力发电机的简化示意图,发电机的塔身OD垂直于水平地面MN(点O,A,B,C,D,M,N在同一平面内).
(1)求风轮叶片OA的长度;
(2)如图3,点A在OD右侧,且α=30°.求此时叶片OB的端点B距地面的高度.

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