资源简介

六　三角函数的应用　利用三角函数测高
【A层 基础夯实】
知识点1　与方向角有关的问题
1.(2024·合肥期末)如图一巡逻艇在A处,发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12 海里的B处,并以每小时20 海里的速度沿南偏西30°方向行驶,若巡逻艇以每小时25 海里的速度追赶走私船,则追上走私船所需时间是(C)
A.0.5小时 B.0.75小时
C.0.8小时 D.1.25小时
2.如图,岛P位于岛Q的正西方,P,Q两岛间的距离为20(1+)海里,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上,则船R到岛P的距离为(A)
A.40 海里 B.40 海里
C.40 海里 D.40 海里
3.如图,点P为观测站,一艘巡航船位于观测站P南偏西37°方向的A处,一艘渔船在观测站P南偏东45°方向的B处,此时渔船在巡航船的正东方向,巡航船与观测站P的距离为45 海里.现渔船发生紧急情况无法移动,巡航船以25 海里/时的速度前去救助,需要的时间约为　2.5　小时.(结果精确到0.1 小时.参考数据:
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
4.如图,一艘执法船以40 km/h的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行30 min到达B处,这时测得灯塔C在北偏东方向30°上,已知在灯塔C的四周20 km内有暗礁,问这艘执法船继续向东航行是否有触礁的危险
【解析】这艘执法船继续向东航行有触礁的危险.
理由:过点C作CD⊥AB,垂足为D,
由题意得:AB=40×=20(km),∠CAB=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,
∵∠CBD是△ABC的一个外角,
∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°,
∴∠CAB=∠ACB=30°,
∴BA=BC=20 km,在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°=20×=10(km),
∵10 km<20 km,
∴这艘执法船继续向东航行有触礁的危险.
知识点2　测量物体的高度
5.如图,小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α,塔顶点D的仰角为β,已知塔的水平距离AB=a,则此时塔高CD为(B)
A.asin α+asin β B.atan α+atan β
C. D.
6.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48',测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10 米,则此塑像的高AB约为　58　米(参考数据:tan 78°12'≈4.8).
7.(2023·仙桃中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 米,则尚美楼高度DF为　(30-5)　米.(结果保留根号)
8.(2023·丽水中考)如图,某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率,需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C,已知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=
11 m,CD=4 m,求管道A-D-C的总长.
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于点E,
则∠AED=90°,四边形BCDE是矩形,
∴BE=CD=4 m,∴AE=AB-BE=11-4=7(m),
∵∠A=60°,∴cos A==cos 60°=,
∴AD=2AE=2×7=14(m),∴AD+CD=14+4=18(m),
即管道A-D-C的总长为18 m.
【B层 能力进阶】
9.如图,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸点A处,测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点,测得点B在点C的北偏东60°方向,则这段河的宽度为(B)
A.80(+1)米 B.40(+1)米
C.(120-40)米 D.40(-1)米
10.(2024·大同模拟)如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图,已知手柄AD⊥滚轮连杆AB,且AD=20 cm,AB=160 cm,连杆AB与底坐BC的夹角为60°,则该椭圆机的机身高度(点D到地面的距离)为(D)
A.80 cm B.80 cm
C.cm D.cm
11.如图,数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆AB的高度,在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米,在同时刻测量旗杆的影长时,旗杆的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他测得落在地面上的影长为10米,落在斜坡上的影长为4米,已知斜坡CD的坡度为i=1,则旗杆AB的高度为　11　.
12.(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度约是　51　m.(参考数据:
tan 63°≈2)
13.(2024·广州中考)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如图:
由题意得,AC⊥CD,BE∥CD,
∴∠EBD=∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米),
∴CD的长约为8米;
(2)在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC=36.87°,
∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.60=6(米),
在Rt△ACD中,AD=17米,CD=8米,
∴AC===15(米),
∴AB=AC-BC=15-6=9(米),
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,
∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5(秒),
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒.
14.(2024·烟台中考)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈0.25;sin 29°≈0.48, cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55;sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73, tan 43°≈0.93;sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
续表
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择　　　　日(填冬至或夏至)时,α为　　　　(填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
【解析】任务一:根据题意,要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,只需α为冬至日时的最小角度,即α=14°,
答案:冬至　14°
任务二:过E作EF⊥AB于点F,则∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
在Rt△AFE中,tan α=,
∴AF=EF·tan 14°≈54×0.25=13.5(米),
∵AB=11×3.3=36.3(米),∴DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(米),
∴22.8÷3.3≈7(层),
答:乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能板.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离;
【解析】(1)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,∵cos α===,
解得CE=5(m),∴DE==5(m).
∴点D到地面BC的距离为5 m.
(2)求该建筑物的高度AB.
【解析】(2)过点D作DF⊥AB于点F,则BF=DE=5 m,
设BC=x m,则BE=DF=(5+x)m,
在Rt△ABC中,tan 60°===,
解得AB=x(m),∴AF=(x-5)m,
在Rt△ADF中,tan 30°===,
解得x=5,
经检验,x=5是原方程的解且符合题意,
∴AB=×5=15(m).
∴该建筑物的高度AB为15 m.六　三角函数的应用　利用三角函数测高
【A层 基础夯实】
知识点1　与方向角有关的问题
1.(2024·合肥期末)如图一巡逻艇在A处,发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12 海里的B处,并以每小时20 海里的速度沿南偏西30°方向行驶,若巡逻艇以每小时25 海里的速度追赶走私船,则追上走私船所需时间是( )
A.0.5小时 B.0.75小时
C.0.8小时 D.1.25小时
2.如图,岛P位于岛Q的正西方,P,Q两岛间的距离为20(1+)海里,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上,则船R到岛P的距离为( )
A.40 海里 B.40 海里
C.40 海里 D.40 海里
3.如图,点P为观测站,一艘巡航船位于观测站P南偏西37°方向的A处,一艘渔船在观测站P南偏东45°方向的B处,此时渔船在巡航船的正东方向,巡航船与观测站P的距离为45 海里.现渔船发生紧急情况无法移动,巡航船以25 海里/时的速度前去救助,需要的时间约为 小时.(结果精确到0.1 小时.参考数据:
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
4.如图,一艘执法船以40 km/h的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行30 min到达B处,这时测得灯塔C在北偏东方向30°上,已知在灯塔C的四周20 km内有暗礁,问这艘执法船继续向东航行是否有触礁的危险
知识点2　测量物体的高度
5.如图,小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α,塔顶点D的仰角为β,已知塔的水平距离AB=a,则此时塔高CD为( )
A.asin α+asin β B.atan α+atan β
C. D.
6.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48',测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10 米,则此塑像的高AB约为 米(参考数据:tan 78°12'≈4.8).
7.(2023·仙桃中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
8.(2023·丽水中考)如图,某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率,需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C,已知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=
11 m,CD=4 m,求管道A-D-C的总长.
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于点E,
【B层 能力进阶】
9.如图,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸点A处,测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点,测得点B在点C的北偏东60°方向,则这段河的宽度为( )
A.80(+1)米 B.40(+1)米
C.(120-40)米 D.40(-1)米
10.(2024·大同模拟)如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图,已知手柄AD⊥滚轮连杆AB,且AD=20 cm,AB=160 cm,连杆AB与底坐BC的夹角为60°,则该椭圆机的机身高度(点D到地面的距离)为( )
A.80 cm B.80 cm
C.cm D.cm
11.如图,数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆AB的高度,在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米,在同时刻测量旗杆的影长时,旗杆的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他测得落在地面上的影长为10米,落在斜坡上的影长为4米,已知斜坡CD的坡度为i=1,则旗杆AB的高度为 .
12.(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度约是 m.(参考数据:
tan 63°≈2)
13.(2024·广州中考)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如图:
14.(2024·烟台中考)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈0.25;sin 29°≈0.48, cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55;sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73, tan 43°≈0.93;sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
续表
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择 日(填冬至或夏至)时,α为 (填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
【解析】任务一:根据题意,要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,只需α为冬至日时的最小角度,即α=14°,
答案:冬至　14°
任务二:过E作EF⊥AB于点F,则∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离;
(2)求该建筑物的高度AB.

展开更多......

收起↑