资源简介

七　二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数
1.下列函数中,是二次函数的是(D)
A.y=3x-1 B.y=x3+2
C.y=(x-2)2-x2 D.y=x(4-x)
2.二次函数y=x2-6x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(A)
A.1,-6,-1　 B.1,6,1
C.0,-6,1　 D.0,6,-1
3.把二次函数y=-4(1+2x)(x-3)化为一般形式为　y=-8x2+20x+12　.
4.已知二次函数y=-x2+bx+3,当x=2时,y=3.则这个二次函数的表达式是　y=-x2+2x+3　.
5.已知函数y=(9k2-1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,求不等式≥-1的解集.
【解析】∵函数y=(9k2-1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,
∴9k2-1≠0,解得k≠±.
要使≥-1,
则3(k-1)≥2(4k+1)-6,
解得k≤.
故不等式≥-1的解集为k≤且k≠-.
知识点2　列二次函数关系式
6.正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x之间的函数关系式为(C)
A.y=x　 B.y=6x C.y=6x2　 D.y=
7.(2024·周口期中)正方形的边长为3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的关系式为(A)
A.y=x2+6x　 B.y=x2+6x+9
C.y=x2-6x　 D.y=x2-6x-9
【B层 能力进阶】
8.下列每组变量之间的关系为二次函数的是(D)
A.正方形周长y与边长x的关系
B.菱形面积S一定时,两条对角线的长a与b的关系
C.速度v一定时,路程s与时间t的关系
D.等边三角形的面积S与边长x的关系
9.(2024·烟台期中)已知函数y=(m-4)x|m-2|是关于x的二次函数,则m的值是(B)
A.0或4　 B.0　 C.2　 D.4
10.(2024·上海期末)某件商品原价为100元,经过两次涨价后的价格为y元,如果每次涨价的百分率都是x,那么y关于x的函数关系式为　y=100(1+x)2　.
11.观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10):91×99,92×98,…,98×92,99×91.设这两个两位数的积为y,其中一个乘数为90+x,则y关于x的函数关系式为　y=-x2+10x+9 000(1≤x≤9的整数)　.
12.如图,正方形ABCD的边长是10 cm,E是AB上一点,F是AD延长线上的一点,BE=DF.四边形AEGF是矩形,矩形AEGF的面积y(cm2)与BE的长x cm(013.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=∠B,边PE交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数表达式是　y=x2-x+5　.
14.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P从点A出发,沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC(或边CB)于点Q,设点P运动的时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段BP的长为　16-t　.
【解析】(1)依题意,AP=t,AB=16,
∴BP=16-t.
(2)当点Q与点C重合时,求t的值.
【解析】(2)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,
∴BC=8,AC==8;
当Q与点C重合时,则AQ=8,
∵∠A=30°,PQ⊥AB,∴PQ=AQ=4,
在Rt△APQ中,AP==PQ=12,∴t=12÷1=12;
(3)若△APQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
【解析】(3)当0∴S=AP×PQ=t×t=t2,
当12∵△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=60°,∵PQ⊥AB,∴∠PQB=30°,
∵PB=16-t,∴PQ=PB=(16-t),
∴S=AP×PQ=t×(16-t)=-t2+8t,
∴S=.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力、应用意识)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计打印图纸方案
素 材 1 如图1,正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图,它由三个区块(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)构成.已知AB=10 cm,点E,F分别在BC和AB上,且BE=BF,设BE=x cm(0素 材 2 为了打印精准,拟在图2中的BC边上设置一排间距为1 cm的定位坐标(B为坐标原点),计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案.
问题解决
任 务 1 确定 关系 用x的代数式表示: 区块Ⅰ的面积=　　　　;区块Ⅱ的面积=　　　　;区块Ⅲ的面积=　　　　.
任 务 2 拟定 方案 为了美观,拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域,并要求区域乙是含DE边的等腰三角形,求所有方案中乙的面积或者函数表达式.
任 务 3 优化 设计 经调查发现区域乙的面积为(37±5)cm2内(包括两端)的整数时,此时的E点为最佳定位点,请写出所有的最佳定位点E的坐标.
【解析】任务1:
∵BE=BF=x,
∴区块Ⅰ的面积:x2.
∵BE=BF=x,AB=BC=10 cm,
∴CE=BC-BE=10-x,
∴区块Ⅱ的面积:×(10-x)×10=-5x+50.
∴区块Ⅲ的面积:10×10-x2-(-5x+50)=-x2+5x+50.
任务2:①如图1,若连接DF,
∵AD>AF,
∴△ADF不可能为等腰三角形,
∵DF=DE,
∴△DFE为等腰三角形,
∴S乙=S△DFE=-x2+5x+50-=-x2+10x.
②如图2,连接AE,AE=DE,则E为BC的中点,
∴S乙=S△ADE=×10×10=50.
任务3:
∵S乙=S△DFE=-x2+10x且面积范围为32≤S乙≤42,
∴结合函数图象得整数解为x=6,x=4这两个E的定位坐标满足题意.
∴有2个最佳定位点E,分别为(6,0),(4,0).七　二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A.y=3x-1 B.y=x3+2
C.y=(x-2)2-x2 D.y=x(4-x)
2.二次函数y=x2-6x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.1,-6,-1　 B.1,6,1
C.0,-6,1　 D.0,6,-1
3.把二次函数y=-4(1+2x)(x-3)化为一般形式为 .
4.已知二次函数y=-x2+bx+3,当x=2时,y=3.则这个二次函数的表达式是 .
5.已知函数y=(9k2-1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,求不等式≥-1的解集.
知识点2　列二次函数关系式
6.正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x之间的函数关系式为( )
A.y=x　 B.y=6x C.y=6x2　 D.y=
7.(2024·周口期中)正方形的边长为3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的关系式为( )
A.y=x2+6x　 B.y=x2+6x+9
C.y=x2-6x　 D.y=x2-6x-9
【B层 能力进阶】
8.下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A.正方形周长y与边长x的关系
B.菱形面积S一定时,两条对角线的长a与b的关系
C.速度v一定时,路程s与时间t的关系
D.等边三角形的面积S与边长x的关系
9.(2024·烟台期中)已知函数y=(m-4)x|m-2|是关于x的二次函数,则m的值是( )
A.0或4　 B.0　 C.2　 D.4
10.(2024·上海期末)某件商品原价为100元,经过两次涨价后的价格为y元,如果每次涨价的百分率都是x,那么y关于x的函数关系式为 .
11.观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10):91×99,92×98,…,98×92,99×91.设这两个两位数的积为y,其中一个乘数为90+x,则y关于x的函数关系式为 .
12.如图,正方形ABCD的边长是10 cm,E是AB上一点,F是AD延长线上的一点,BE=DF.四边形AEGF是矩形,矩形AEGF的面积y(cm2)与BE的长x cm(013.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=∠B,边PE交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数表达式是 .
14.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P从点A出发,沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC(或边CB)于点Q,设点P运动的时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段BP的长为 16-t .
(2)当点Q与点C重合时,求t的值.
(3)若△APQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
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【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力、应用意识)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计打印图纸方案
素 材 1 如图1,正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图,它由三个区块(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)构成.已知AB=10 cm,点E,F分别在BC和AB上,且BE=BF,设BE=x cm(0素 材 2 为了打印精准,拟在图2中的BC边上设置一排间距为1 cm的定位坐标(B为坐标原点),计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案.
问题解决
任 务 1 确定 关系 用x的代数式表示: 区块Ⅰ的面积= ;区块Ⅱ的面积= ;区块Ⅲ的面积= .
任 务 2 拟定 方案 为了美观,拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域,并要求区域乙是含DE边的等腰三角形,求所有方案中乙的面积或者函数表达式.
任 务 3 优化 设计 经调查发现区域乙的面积为(37±5)cm2内(包括两端)的整数时,此时的E点为最佳定位点,请写出所有的最佳定位点E的坐标.

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