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八　二次函数的图象与性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=x2与y=-x2的图象
1.(2024·衡水质检)下列各点在抛物线y=-x2上的是( )
A.(1,1)　 B.(-1,1) C.(2,4)　 D.(-2,-4)
2.若点(0,a),(3,b)都在二次函数y=x2的图象上,则a与b的大小关系是( )
A.ab
C.a=b D.无法确定
3.关于二次函数y=x2和y=-x2的图象,以下说法正确的有( )
①两图象都关于x轴对称;②两图象都关于y轴对称;③两图象的顶点相同;④两图象的开口方向不同;⑤点(-1,1)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上.
A.2个　 B.3个　 C.4个　 D.5个
4.如图,由y=x2的图象可以看出,当-1≤x≤2时,y的取值范围是 .
5.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=x+2交于点(2,m).
(1)判断y=ax2的图象的开口方向,并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时,y的值随x值的增大而变化的情况;
(2)设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A,B.试确定A,B两点的坐标.(点A的横坐标大于点B的横坐标)
知识点2　二次函数y=x2与y=-x2的性质
6.已知函数y=-x2的图象上有三个点:A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3　 B.y2>y3>y1
C.y3>y2>y1　 D.y3>y1>y2
7.如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
8.(2024·惠州质检)函数y=x2的图象对称轴左侧上有两点A(a,15),B(b,),则a-b 0(填“>”“<”或“=”).
9.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y的最小值为0,求实数m的取值范围.
【B层 能力进阶】
10.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
11.如图,A,B为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴.若AB=6,则点A的坐标为( )
A.(3,3) B.(3,9) C.(-3,3) D.(-3,9)
12.已知二次函数y=-x2,当-4≤x≤2时,y的最小值为 .
13.(2024·连云港期中)已知点(a,1)在抛物线y=x2图象上,则a= .
14.关于抛物线y=-x2,给出下列说法:
①抛物线开口向下,顶点是(0,4).
②当x>1时,y随x的增大而减小.
③当-2④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两个不同的点,则m+n=0.
其中正确的说法有 .(填序号)
15.如图,正方形OABC的顶点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,求对角线AC的长.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,点P是抛物线y=x2在第一象限内的一点,点A的坐标是(3,0).设点P的坐标为(x,y).
(1)△OPA的面积S关于y的函数表达式为 S=y(y>0) .
(2)S是x的什么函数
(3)当S=6时,求点P的坐标.
(4)在抛物线y=x2上存在点P',使OP'=P'A,写出点P'的坐标.十一　二次函数的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值一定为( )
A.0　 B.6　 C.-6　 D.±6
2.若二次函数y=(m+2)x2-mx+m2-2m-8经过原点,则m的值为( )
A.-2　 B.4 C.-2或4　 D.无法确定
3.已知二次函数y=ax2+bx+c,若a<0,b<0,c>0,那么它的图象大致是( )
4.(2024·绥化中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,则下列结论:
①>0;
②am2+bm≤a-b(m为任意实数);
③3a+c<1;
④若M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤-3.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值.则t的取值范围是( )
A.06.二次函数y=-x2-2x+m图象的最高点的横坐标是 .
7.已知二次函数y=x2-2x-m的图象经过点(2,-3).求:
(1)该二次函数的表达式;
(2)函数图象的顶点坐标;
(3)当自变量x满足0知识点2　二次函数y=ax2+bx+c的图象平移
8.(2024·东莞一模)将抛物线y=x2+2的图象向右平移2个单位长度后,再向下平移1单位长度,得到的抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2+3　 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2+1　 D.y=(x-2)2+3
9.将二次函数y=x2-2x-3的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到二次函数y'的图象,则二次函数y'有( )
A.最大值-4　 B.最小值-4
C.最小值-1　 D.最大值-1
【B层 能力进阶】
10.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,-3),则c-2b的值是( )
A.-7　 B.-1　 C.1　 D.7
11.一次函数y=-ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法:
①ac>0;
②2a+b=0;
③a+b+c=0;
④当x<1时,函数y随x的增大而增大;
⑤当y>0时,-1其中正确的是( )
A.①②④　 B.②③④
C.②③⑤　 D.②④⑤
13.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)(2024·西安一模)若抛物线y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2,则m的值为( )
A.-　 B. C.-或　 D.-或
14.(2023·上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是 .
15.已知二次函数y=ax2-6ax+6a,若当2≤x≤5时,y的最大值是3,则a的值为 .
16.(2024·上海中考)对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为 .
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·宁波模拟)已知二次函数y=x2-2kx+k-2的图象过点(5,5).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函数图象上的点,且x1+2x2=2,求y1+y2的最小值.
(3)若点P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函数的图象上,且a【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=x2与y=-x2的图象
1.(2024·衡水质检)下列各点在抛物线y=-x2上的是(D)
A.(1,1)　 B.(-1,1) C.(2,4)　 D.(-2,-4)
2.若点(0,a),(3,b)都在二次函数y=x2的图象上,则a与b的大小关系是(A)
A.ab
C.a=b D.无法确定
3.关于二次函数y=x2和y=-x2的图象,以下说法正确的有(B)
①两图象都关于x轴对称;②两图象都关于y轴对称;③两图象的顶点相同;④两图象的开口方向不同;⑤点(-1,1)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上.
A.2个　 B.3个　 C.4个　 D.5个
4.如图,由y=x2的图象可以看出,当-1≤x≤2时,y的取值范围是　0≤y≤4　.
5.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=x+2交于点(2,m).
(1)判断y=ax2的图象的开口方向,并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时,y的值随x值的增大而变化的情况;
【解析】(1)将点(2,m)代入y=x+2,解得m=4,所以交点坐标为(2,4).
把(2,4)代入y=ax2,可得a=1.
所以二次函数表达式为y=x2,
所以抛物线的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),
所以当x>0时,y随x的增大而增大.
(2)设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A,B.试确定A,B两点的坐标.(点A的横坐标大于点B的横坐标)
【解析】(2)由题意,得x2=x+2,解得x=2或x=-1,则y=4或y=1.
所以点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(-1,1).
知识点2　二次函数y=x2与y=-x2的性质
6.已知函数y=-x2的图象上有三个点:A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为(B)
A.y1>y2>y3　 B.y2>y3>y1
C.y3>y2>y1　 D.y3>y1>y2
7.如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是　2π　.
8.(2024·惠州质检)函数y=x2的图象对称轴左侧上有两点A(a,15),B(b,),则a-b　<　0(填“>”“<”或“=”).
9.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y的最小值为0,求实数m的取值范围.
【解析】∵二次函数表达式为y=x2,
∴当x=0时,y有最小值,且y最小值=0,
∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0.
【B层 能力进阶】
10.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
11.如图,A,B为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴.若AB=6,则点A的坐标为(D)
A.(3,3) B.(3,9) C.(-3,3) D.(-3,9)
12.已知二次函数y=-x2,当-4≤x≤2时,y的最小值为　-16　.
13.(2024·连云港期中)已知点(a,1)在抛物线y=x2图象上,则a=　±1　.
14.关于抛物线y=-x2,给出下列说法:
①抛物线开口向下,顶点是(0,4).
②当x>1时,y随x的增大而减小.
③当-2④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两个不同的点,则m+n=0.
其中正确的说法有　②④　.(填序号)
15.如图,正方形OABC的顶点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,求对角线AC的长.
【解析】设点B的横坐标为a.
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6,
∴点B的纵坐标为6-a.∵点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,∴6-a=a2,
解得a1=-3(不合题意,舍去),a2=2,
∴6-a=4,∴点B的坐标为(2,4).
连接OB,如图,
则OB==2.
∵四边形OABC是正方形,∴AC=OB=2.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,点P是抛物线y=x2在第一象限内的一点,点A的坐标是(3,0).设点P的坐标为(x,y).
(1)△OPA的面积S关于y的函数表达式为　S=y(y>0)　.
【解析】(1)∵OA=3,P点坐标为(x,y),
∴△AOP的面积S关于y的函数表达式为S=×3×y=y;
(2)S是x的什么函数
【解析】(2)∵S=y,y=x2,∴S=x2,
∴S是x的二次函数.
(3)当S=6时,求点P的坐标.
【解析】(3)当S=6时,则6=y,解得y=4,
∴4=x2,
解得x=2(负数舍去),
∴P(2,4);
(4)在抛物线y=x2上存在点P',使OP'=P'A,写出点P'的坐标.
【解析】(4)∵OP'=P'A,
∴P'点横坐标x=OA=,
把x=代入y=x2得y=,
故P'的坐标为(,).九　二次函数的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=ax2的图象与性质
1.下列各点在二次函数y=-3x2图象上的是( )
A.(-1,3)　 B.(-2,6) C.(-1,-3)　 D.(-2,12)
2.抛物线y=-x2,y=6x2,y=x2的共同性质是( )
A.开口向上　 B.都有最大值
C.对称轴都是x轴　 D.顶点都是原点
3.在同一个平面直角坐标系中,二次函数y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的图象如图所示,则a1,a2,a3的大小关系为 .
4.(2024·泸州一模)已知点(1,y1),(2,y2)都在函数y=ax2(a<0)的图象上,则y1与y2大小关系是y1 y2(填“>”“<”或“=”).
5.已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下
(3)当m为何值时,该函数有最小值
知识点2　二次函数y=ax2+c的图象与性质
6.(2024·长春质检)二次函数y=x2+1的对称轴是( )
A.y轴　 B.x轴 C.直线x=1　 D.直线y=1
7.将抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,得到的抛物线是( )
A.y=-x2+3　 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1　 D.y=-(x+2)2+1
8.(2024·上海二模)沿着x轴的正方向看,如果抛物线y=(k-1)x2+1在y轴左侧的部分是上升的,那么k的取值范围是 .
9.如果抛物线y=(a-1)x2+1(a为常数)经过了平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 .
10.已知点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,并且点P关于x轴的对称点在反比例函数y=的图象上.
(1)求二次函数和反比例函数的表达式.
(2)点(-1,4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上
【B层 能力进阶】
11.(2024·昆明期末)已知点(-6,y1),(-3,y2),(-1,y3)都在函数y=-x2+5的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3　 B.y3>y2>y1
C.y2>y3>y1　 D.y3>y1>y2
12.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a的图象大致是( )
13.(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
14.如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为 .
15.(2024·重庆期末)从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),则点M(x,y)在抛物线y=x2+1上的概率为 .
16.如图,抛物线y=ax2+4与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=2x2于B,C两点,则线段BC的长为 .
17.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知抛物线y=ax2过点A(-3,).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB;
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.十一　二次函数的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值一定为(D)
A.0　 B.6　 C.-6　 D.±6
2.若二次函数y=(m+2)x2-mx+m2-2m-8经过原点,则m的值为(B)
A.-2　 B.4 C.-2或4　 D.无法确定
3.已知二次函数y=ax2+bx+c,若a<0,b<0,c>0,那么它的图象大致是(A)
4.(2024·绥化中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,则下列结论:
①>0;
②am2+bm≤a-b(m为任意实数);
③3a+c<1;
④若M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤-3.
其中正确的结论有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值.则t的取值范围是(C)
A.06.二次函数y=-x2-2x+m图象的最高点的横坐标是　-1　.
7.已知二次函数y=x2-2x-m的图象经过点(2,-3).求:
(1)该二次函数的表达式;
【解析】(1)将(2,-3)代入二次函数y=x2-2x-m得,-3=22-2×2-m,
解得m=3,
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3;
(2)函数图象的顶点坐标;
【解析】(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
所以抛物线的顶点坐标为(1,-4);
(3)当自变量x满足0【解析】(3)由(2)得,当x=1时,y取最小值-4,当x=0时,y=-3,当x=4时,y=5,∴当自变量x满足0知识点2　二次函数y=ax2+bx+c的图象平移
8.(2024·东莞一模)将抛物线y=x2+2的图象向右平移2个单位长度后,再向下平移1单位长度,得到的抛物线的表达式为(C)
A.y=(x+2)2+3　 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2+1　 D.y=(x-2)2+3
9.将二次函数y=x2-2x-3的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到二次函数y'的图象,则二次函数y'有(C)
A.最大值-4　 B.最小值-4
C.最小值-1　 D.最大值-1
【B层 能力进阶】
10.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,-3),则c-2b的值是(C)
A.-7　 B.-1　 C.1　 D.7
11.一次函数y=-ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法:
①ac>0;
②2a+b=0;
③a+b+c=0;
④当x<1时,函数y随x的增大而增大;
⑤当y>0时,-1其中正确的是(D)
A.①②④　 B.②③④
C.②③⑤　 D.②④⑤
13.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)(2024·西安一模)若抛物线y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2,则m的值为(D)
A.-　 B. C.-或　 D.-或
14.(2023·上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是　y=-x2+1(答案不唯一)　.
15.已知二次函数y=ax2-6ax+6a,若当2≤x≤5时,y的最大值是3,则a的值为　3或-1　.
16.(2024·上海中考)对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为　4　.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·宁波模拟)已知二次函数y=x2-2kx+k-2的图象过点(5,5).
(1)求二次函数的表达式.
【解析】(1)∵二次函数y=x2-2kx+k-2的图象过点(5,5),
∴5=25-10k+k-2,
∴k=2,
∴二次函数的表达式为y=x2-4x;
(2)若A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函数图象上的点,且x1+2x2=2,求y1+y2的最小值.
【解析】(2)∵A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函数图象上的点,
∴y1=-4x1,y2=-4x2,
∴y1+y2=-4x1+-4x2,
∵x1+2x2=2,
∴x1=2-2x2,
∴y1+y2
=-4x1+-4x2
=(2-2x2)2-4(2-2x2)+-4x2
=5-4x2-4
=5(x2-)2-,
∵5>0,
∴y1+y2的最小值是-;
(3)若点P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函数的图象上,且a【解析】(3)∵抛物线y=x2-4x=(x-2)2-4,
∴图象开口向上,对称轴为直线x=2,
∵点P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函数的图象上,且a∴点P(a,n)和Q(b,n+2)在对称轴的右侧,此时b-a=1,则b=a+1,
∴a2-4a=n①,(a+1)2-4(a+1)=n+2②,
②-①得a=,
∴b=a+1=,
∴此时点P(,n)和Q(,n+2),
当点P是点(,n)的对称点时,则b-a的值最大,
∵对称轴为直线x=2,
∴点(,n)的对称点为(,n),∴此时a=,
∴b-a的最大值为-=2.九　二次函数的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=ax2的图象与性质
1.下列各点在二次函数y=-3x2图象上的是(C)
A.(-1,3)　 B.(-2,6) C.(-1,-3)　 D.(-2,12)
2.抛物线y=-x2,y=6x2,y=x2的共同性质是(D)
A.开口向上　 B.都有最大值
C.对称轴都是x轴　 D.顶点都是原点
3.在同一个平面直角坐标系中,二次函数y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的图象如图所示,则a1,a2,a3的大小关系为　a3>a2>a1　.
4.(2024·泸州一模)已知点(1,y1),(2,y2)都在函数y=ax2(a<0)的图象上,则y1与y2大小关系是y1　>　y2(填“>”“<”或“=”).
5.已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
【解析】(1)∵函数y=(m+3)是关于x的二次函数,
∴m2+3m-2=2,m+3≠0,
解得m1=-4,m2=1;
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下
【解析】(2)∵函数图象的开口向下,
∴m+3<0,∴m<-3,
∴当m=-4时,该函数图象的开口向下;
(3)当m为何值时,该函数有最小值
【解析】(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,
∴m>-3,
∴当m=1时,y=4x2有最小值,最小值为0.
知识点2　二次函数y=ax2+c的图象与性质
6.(2024·长春质检)二次函数y=x2+1的对称轴是(A)
A.y轴　 B.x轴 C.直线x=1　 D.直线y=1
7.将抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,得到的抛物线是(A)
A.y=-x2+3　 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1　 D.y=-(x+2)2+1
8.(2024·上海二模)沿着x轴的正方向看,如果抛物线y=(k-1)x2+1在y轴左侧的部分是上升的,那么k的取值范围是　k<1　.
9.如果抛物线y=(a-1)x2+1(a为常数)经过了平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是　a<1　.
10.已知点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,并且点P关于x轴的对称点在反比例函数y=的图象上.
(1)求二次函数和反比例函数的表达式.
【解析】(1)∵点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,
∴-2a=a+6,解得a=-2,
∴点P的坐标为(1,4),所求二次函数的表达式为y=-2x2+6.点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-4),∴k=-4,
∴所求反比例函数的表达式为y=-.
(2)点(-1,4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上
【解析】(2)点(-1,4)既在二次函数y=-2x2+6的图象上,也在反比例函数y=-的图象上.
【B层 能力进阶】
11.(2024·昆明期末)已知点(-6,y1),(-3,y2),(-1,y3)都在函数y=-x2+5的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(B)
A.y1>y2>y3　 B.y3>y2>y1
C.y2>y3>y1　 D.y3>y1>y2
12.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a的图象大致是(B)
13.(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
14.如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为　9　.
15.(2024·重庆期末)从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),则点M(x,y)在抛物线y=x2+1上的概率为 　.
16.如图,抛物线y=ax2+4与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=2x2于B,C两点,则线段BC的长为　2　.
17.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
【解析】(1)把(m,3)代入y=2x-1得2m-1=3,
解得m=2,
把(2,3)代入y=2x2+n得2×4+n=3,
解得n=-5;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴.
【解析】(2)∵抛物线的解析式为y=2x2-5,
∴它的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知抛物线y=ax2过点A(-3,).
(1)求抛物线的表达式;
【解析】(1)把点A(-3,)代入y=ax2,
得到=9a,∴a=,
∴抛物线的表达式为y=x2.
(2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB;
【解析】(2)设直线l的表达式为y=kx+b,
则有
解得
∴直线l的表达式为y=-x+.
令x=0,得到y=,∴C(0,),
由
解得或
∴B(1,).
如图1中,过点A作AA1⊥x轴于A1,过B作BB1⊥x轴于B1,则BB1∥OC∥AA1,
∴===,===,∴=,
即MC2=MA·MB.
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.
【解析】(3)如图2中,设P(t,t2),
∵OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,
∴PD∥OC,PD=OC,
∴D(t,-t+),
∴=,
整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0,
解得t=-1-或-1+或-2或0(舍).
∴P(-1-,2+)或(-1+,2-)或(-2,1).十　二次函数的图象与性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.(2024·张家口期末)抛物线y=3(x+2)2的开口向(C)
A.左　 B.右　 C.上　 D.下
2.已知函数y=(x-1)2.当0≤x≤3时,y的取值范围为　0≤y≤4　.
知识点2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
3.已知关于x的二次函数y=-(x-m)2+1,当x>3时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是(C)
A.m≤1　 B.04.二次函数y=-3(x-2)2-3的最大值为　-3　.
5.如果二次函数y=(x-1)2+m(m为常数)的图象上有两点(-3,y1)和(4,y2),那么y1　>　y2(填“>”“=”或“<”).
6.已知二次函数y=a(x-1)2+h.
(1)若函数图象经过点A(0,4),B(2,m),求m的值;
【解析】(1)根据题意得,
∴m=4;
(2)当a<0,h>0时,求证:函数图象与x轴有两个交点.
【解析】(2)抛物线y=a(x-1)2+h的顶点坐标为(1,h),
∵a<0,∴图象开口向下,
∵h>0,∴抛物线的顶点(1,h)在x轴上方,
∴函数图象与x轴有两个交点.
知识点3　二次函数图象的平移
7.(2024·南通质检)将抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为(B)
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x+1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
8.将抛物线y=-x2平移,可以得到抛物线y=-(x+6)2-8,则正确的平移的方法是(D)
A.先向右平移6个单位,再向上平移8个单位
B.先向右平移6个单位,再向下平移8个单位
C.先向左平移6个单位,再向上平移8个单位
D.先向左平移6个单位,再向下平移8个单位
【B层 能力进阶】
9.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),(,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是(B)
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线l交于点A,B,若AB=4,则点M到直线l的距离为(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·石家庄一模)在学习“二次函数的性质”时,初三某班数学兴趣小组的同学们进行了以下研究:如图,将抛物线C1:y=-(x+1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分别在抛物线C1,C2上.
甲:无论m取何值,都有n2<0.
乙:若点P平移后的对应点为P',则点P移动到点P'的最短路程为3;
丙:当-3A.只有丙说得错
B.只有乙说得错
C.只有甲说得对
D.甲、乙、丙说得都对
13.将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,点P(2,n)在两次平移后得到的函数图象上,则n=　27　.
14.(易错警示题)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当2≤x≤5时,y的最大值为-1,则h的值为　1或6　.
15.已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
【解析】(1)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴该二次函数图象的开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,0),该函数有最小值为0.
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1【解析】(2)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴当x>3时,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【解析】(3)由题意,按照“左加右减,上加下减”的规律进行判断,∵x-3+10=x+7,
∴抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2向左平移10个单位得到.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)小明同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-2)2+1进行研究.在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象,请根据函数图象回答下列问题:
(1)观察研究:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解为　x=-4或x=0或x=4　;
②关于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四个实数根时,a的取值范围是　-3【解析】(1)观察题中图象可知:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解为x=-4或x=0或x=4;
②关于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四个实数根时,则a的取值范围是-3(2)综合应用:当函数y=-(|x|-2)2+1的图象与直线y=x+b也有三个交点时,求出b的值;
【解析】(2)把点(0,-3)代入y=x+b得,b=-3;
令x+b=-(x-2)2+1,整理得x2-3x+b+3=0,
则Δ=(-3)2-4(b+3)=0,解得b=-.
∴当函数y=-(|x|-2)2+1的图象与直线y=x+b有三个交点时,b的值为-3或-.
(3)延伸思考:将函数y=-(|x|-2)2+1的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-1|-2)2+3图象 请写出平移过程,并直接写出当2【解析】(3)将函数y=-(|x|-2)2+1的图象向右平移1个单位,向上平移2个单位可得到函数y1=-(|x-1|-2)2+3的图象,
当2【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.(2024·张家口期末)抛物线y=3(x+2)2的开口向( )
A.左　 B.右　 C.上　 D.下
2.已知函数y=(x-1)2.当0≤x≤3时,y的取值范围为 .
知识点2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
3.已知关于x的二次函数y=-(x-m)2+1,当x>3时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是( )
A.m≤1　 B.04.二次函数y=-3(x-2)2-3的最大值为 .
5.如果二次函数y=(x-1)2+m(m为常数)的图象上有两点(-3,y1)和(4,y2),那么y1 y2(填“>”“=”或“<”).
6.已知二次函数y=a(x-1)2+h.
(1)若函数图象经过点A(0,4),B(2,m),求m的值;
(2)当a<0,h>0时,求证:函数图象与x轴有两个交点.
知识点3　二次函数图象的平移
7.(2024·南通质检)将抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为( )
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x+1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
8.将抛物线y=-x2平移,可以得到抛物线y=-(x+6)2-8,则正确的平移的方法是( )
A.先向右平移6个单位,再向上平移8个单位
B.先向右平移6个单位,再向下平移8个单位
C.先向左平移6个单位,再向上平移8个单位
D.先向左平移6个单位,再向下平移8个单位
【B层 能力进阶】
9.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),(,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是( )
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线l交于点A,B,若AB=4,则点M到直线l的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·石家庄一模)在学习“二次函数的性质”时,初三某班数学兴趣小组的同学们进行了以下研究:如图,将抛物线C1:y=-(x+1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分别在抛物线C1,C2上.
甲:无论m取何值,都有n2<0.
乙:若点P平移后的对应点为P',则点P移动到点P'的最短路程为3;
丙:当-3A.只有丙说得错
B.只有乙说得错
C.只有甲说得对
D.甲、乙、丙说得都对
13.将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,点P(2,n)在两次平移后得到的函数图象上,则n= .
14.(易错警示题)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当2≤x≤5时,y的最大值为-1,则h的值为 .
15.已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、应用意识)小明同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-2)2+1进行研究.在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象,请根据函数图象回答下列问题:
(1)观察研究:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解为 x=-4或x=0或x=4 ;
②关于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四个实数根时,a的取值范围是 -3(2)综合应用:当函数y=-(|x|-2)2+1的图象与直线y=x+b也有三个交点时,求出b的值;
(3)延伸思考:将函数y=-(|x|-2)2+1的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-1|-2)2+3图象 请写出平移过程,并直接写出当2

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