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十二　确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1　由二次函数顶点式求表达式
1.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-2x+3相同,顶点为(-2,1),则此抛物线的表达式为( )
A.y=(x-2)2+1　 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1　 D.y=(x-2)2-1
2.已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为直线x=2,则这个二次函数的表达式为 .
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(2,0),顶点坐标为B(0,3),求a,b,c的值.
知识点2　由二次函数一般式求表达式
4.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5,则这个二次函数的表达式是( )
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
5.二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,求二次函数的表达式.
知识点3　由二次函数交点式求表达式
6.在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C(0,6),则该抛物线的表达式是( )
A.y=(x+2)(x-6)
B.y=-(x+2)(x-6)
C.y=(x-2)(x+6)
D.y=-(x-2)(x+6)
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在线段AB上移动,与x轴交于C,D两点,若A(-2,-3),B(4,-3),当四边形ABDC是矩形时,此时抛物线的表达式是 .
【B层 能力进阶】
8.已知y=(a-1)x2-2x+a2是关于x的二次函数,其图象经过(0,1),则a的值为( )
A.a=±1　 B.a=1
C.a=-1　 D.无法确定
9.二次函数的图象如图,则它的表达式是( )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
10.(2024·湖州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),该函数y与x的部分对应值如表:下列各选项中,正确的是( )
x … -1 0 1 3 …
y … 3 -1 -3 -1 …
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的最小值为-3
C.当x=4时,y=2
D.当x<1时,y的值随x的值的增大而减小
11.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a为整数),有四种说法:①函数与x轴的一个交点为(-1,0);②对称轴为直线x=1;③当a>0时,函数的最小值为3;④点(2,8)在函数图象上.若其中只有一个说法是错误的,则a的值为 .
12.(2024·常州质检)如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线C1:y=(x-1)2-1沿x轴平移得到新抛物线C2,如果“平衡点”为(4,8),那么新抛物线C2的表达式为 .
13.(2024·扬州中考)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)求b,c的值;
(2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·湖南中考)已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证:的值为定值;
(3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值.十二　确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1　由二次函数顶点式求表达式
1.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-2x+3相同,顶点为(-2,1),则此抛物线的表达式为(C)
A.y=(x-2)2+1　 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1　 D.y=(x-2)2-1
2.已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为直线x=2,则这个二次函数的表达式为　y=x2-4x+1　.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(2,0),顶点坐标为B(0,3),求a,b,c的值.
【解析】∵抛物线的顶点坐标为B(0,3),
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3,
∵抛物线过点A(2,0),
∴a·22+3=0,
解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-x2+3,
∴a=-,b=0,c=3.
知识点2　由二次函数一般式求表达式
4.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5,则这个二次函数的表达式是(A)
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
5.二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,求二次函数的表达式.
【解析】∵A(-1,0),B(4,0),
∴AO=1,OB=4,AB=AO+OB=1+4=5,
∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数图象过A,C,B三点,
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+5.
知识点3　由二次函数交点式求表达式
6.在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C(0,6),则该抛物线的表达式是(B)
A.y=(x+2)(x-6)
B.y=-(x+2)(x-6)
C.y=(x-2)(x+6)
D.y=-(x-2)(x+6)
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在线段AB上移动,与x轴交于C,D两点,若A(-2,-3),B(4,-3),当四边形ABDC是矩形时,此时抛物线的表达式是　y=x2-x-　.
【B层 能力进阶】
8.已知y=(a-1)x2-2x+a2是关于x的二次函数,其图象经过(0,1),则a的值为(C)
A.a=±1　 B.a=1
C.a=-1　 D.无法确定
9.二次函数的图象如图,则它的表达式是(D)
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
10.(2024·湖州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),该函数y与x的部分对应值如表:下列各选项中,正确的是(D)
x … -1 0 1 3 …
y … 3 -1 -3 -1 …
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的最小值为-3
C.当x=4时,y=2
D.当x<1时,y的值随x的值的增大而减小
11.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a为整数),有四种说法:①函数与x轴的一个交点为(-1,0);②对称轴为直线x=1;③当a>0时,函数的最小值为3;④点(2,8)在函数图象上.若其中只有一个说法是错误的,则a的值为　5　.
12.(2024·常州质检)如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线C1:y=(x-1)2-1沿x轴平移得到新抛物线C2,如果“平衡点”为(4,8),那么新抛物线C2的表达式为　y=(x-7)2-1　.
13.(2024·扬州中考)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)求b,c的值;
【解析】(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+c得:,解得.
(2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.
【解析】(2)由(1)知,二次函数表达式为y=-x2-x+2,设点P坐标为(m,-m2-m+2),
∵△PAB的面积为6,AB=1-(-2)=3,
∴S△PAB=AB·|yP|=×3×|-m2-m+2|=6,∴|m2+m-2|=4,
即m2+m-2=4或m2+m-2=-4,
解得m=-3或m=2,
∴P(-3,-4)或(2,-4).
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·湖南中考)已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式;
【解析】(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得5=-4+c,则c=9,
即抛物线的表达式为y=-x2+9.
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证:的值为定值;
【解析】(2)令-x2+9=0,则x=±3,则点B(3,0),
由点A,B的坐标得,直线AB的表达式为y=-x+3.点P,Q,D的坐标分别为(x1,-+9),(x2,-+9),(x1,-x1+3),则S△PDQ=PD·(xQ-xP)=(-+9+x1-3)(x2-x1)
=(-+x1+6),同理可得:S△ADC=CD·(xD-xA)=(-+x1+6),
则=3,为定值.
(3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值.
【解析】(3)点P,Q的坐标分别为(x1,-+9),(-2x1,-4+9),由点P,Q的坐标得,直线PQ的表达式为y=x1(x-x1)-+9=xx1-2+9,则MN=yM=(x1-1)x1-2+9
=-(x1+)2+≤,故MN的最大值为.

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