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十四　二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点　利用二次函数的图象和性质解决利润问题
1.某种商品每天的销售利润y元与单价x元(x≥2)之间的函数表达式为y=-(x-3)2+60,则这种商品每天的最大利润为( )
A.50元　 B.60元　 C.40元　 D.30元
2.杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇.某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为( )
A.24元　 B.25元　 C.28元　 D.30元
3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.则最大利润是( )
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.(2024·杭州期中)某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是 元.
5.小致创办了一个微店商铺,营销一款成本是20元/盏的小型LED护眼台灯.在“双十一”前8天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏,护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数表达式y=x+25(1≤x≤8),且x为整数).这8天中最大日销售利润是 元.
6.(2024·烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅
7.(2024·贵州中考)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,如表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
【B层 能力进阶】
8.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果用相同的工时生产,获总利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某超市购进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系,则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元(利润=总销售额-总成本).
10.某种玩偶礼盒,每盒进价为30元.当地物价部门规定,该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒.某网店在销售过程中发现该礼盒每周的销量y(件)与销售单价x(元)之间近似满足函数关系:y=-2x+180(30≤x≤50).那么该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元.
11.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,经调查,售价每降0.1元,每天多卖40千克,另外,每天的其他固定成本为24元.当定价为 元时能获得最大利润,最大利润是 元.
12.(2024·南充中考)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价为50元/件,B类特产进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元.
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元.(利润=售价-进价)
13.某商户购进一批童装,40天销售完毕.根据所记录的数据发现,日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y=,销售单价p(元)与销售时间x(天)之间的函数关系如图所示.
(1)第15天的日销售量为 30 件;
(2)当0(3)在销售过程中,若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”,则“火热销售期”共有多少天
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·盐城中考)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生 产 背 景 1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信 息 整 理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类加工人 数(人)每人每天加 工量(件)平均每天 获利(元)风y224雅x1正148
探 究 任 务 任 务 1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系.
任 务 2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.
任 务 3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.十三　二次函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　图形面积的最值问题
1.如图,用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为长方形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则长方形框架ABCD的最大面积为( )
A.4 m2　 B.6 m2　 C.8 m2　 D.12 m2
2.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数表达式是 .(不必写出自变量x的取值范围)
3.学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42米,篱笆长80米.设垂直于墙的边AB长为x米,平行于墙的边BC长为y米,围成的矩形面积为S平方米.
(1)求y与x,S与x的关系式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米,若能,求出x的值.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值 若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.
知识点2　抛物线形问题
4.(2024·常德一模)刀削面堪称天下一绝,传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里.如图,面刚被削离时与开水锅的高度差h=0.45 m,与锅的水平距离L=0.3 m,锅的半径R=0.5 m.若将削出的面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分,要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计),则其水平初速度v0不可能为(提示:h=gt2,g≈10 m/s2,水平移动距离s=v0t)( )
A.2.5 m/s　 B.3 m/s
C.3.5 m/s　 D.5 m/s
5.(2023·成都模拟)多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显,受到大众的喜爱.如图,绳被甩至最高处时的形状满足抛物线y=-x2+h,甩绳的两名同学两手之间的距离AB=4,两人甩绳的手距地面的距离均为1.6m,则绳的最高点与地面之间的距离为( )
A.1 m　 B.1.6 m　 C.2.6 m　 D.3.6 m
6.(2024·江西中考)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m= 3 ,n= 6 ;
②小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt.
①小球飞行的最大高度为 米;
②求v的值.
【B层 能力进阶】
7.(2024·天津质检)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分,且在平面直角坐标系中关于y轴对称,如图所示(1 cm对应一个单位长度),AB∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,CH⊥AB且CH=1 cm,BD=2 cm,则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为( )
A.y=(x+3)2　 B.y=(x-3)2
C.y=(x-4)2　 D.y=-(x-4)2
9.(2024·南通质检)在△ABC中,∠A,∠C是锐角,若AB=2,且tan∠C=2tan∠A,则△ABC面积的最大值是( )
A.　 B.4　 C.6　 D.8
10.(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= m.
11.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,由于惯性的作用,汽车最远要滑行 m才能停下.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D,E,F分别在AC,BC,AB边上,且DE⊥EF,tan∠EDC=2,则△DEF的面积最大值为 .
13.(2024·陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100 m,AO=BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=
2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式;
(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·遂宁中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;
(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.十三　二次函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　图形面积的最值问题
1.如图,用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为长方形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则长方形框架ABCD的最大面积为(A)
A.4 m2　 B.6 m2　 C.8 m2　 D.12 m2
2.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数表达式是　y=-x2+10x　.(不必写出自变量x的取值范围)
3.学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42米,篱笆长80米.设垂直于墙的边AB长为x米,平行于墙的边BC长为y米,围成的矩形面积为S平方米.
(1)求y与x,S与x的关系式.
【解析】(1)由题意得,2x+y=80,
∴y=-2x+80.
由0<-2x+80≤42,且x>0,
得19≤x<40.
由题意,S=AB·BC=x(-2x+80),
∴S=-2x2+80x.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米,若能,求出x的值.
【解析】(2)由题意,令S=-2x2+80x=750,
∴x=15(舍去)或x=25.
答:当x=25时,围成的矩形花圃的面积为750平方米.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值 若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.
【解析】(3)根据(1)得,S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,
∵-2<0,且19≤x<40,
∴当x=20时,S取得最大值,为800.
答:围成的矩形花圃面积存在最大值,最大值为800平方米,此时x的值为20.
知识点2　抛物线形问题
4.(2024·常德一模)刀削面堪称天下一绝,传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里.如图,面刚被削离时与开水锅的高度差h=0.45 m,与锅的水平距离L=0.3 m,锅的半径R=0.5 m.若将削出的面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分,要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计),则其水平初速度v0不可能为(提示:h=gt2,g≈10 m/s2,水平移动距离s=v0t)(D)
A.2.5 m/s　 B.3 m/s
C.3.5 m/s　 D.5 m/s
5.(2023·成都模拟)多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显,受到大众的喜爱.如图,绳被甩至最高处时的形状满足抛物线y=-x2+h,甩绳的两名同学两手之间的距离AB=4,两人甩绳的手距地面的距离均为1.6m,则绳的最高点与地面之间的距离为(C)
A.1 m　 B.1.6 m　 C.2.6 m　 D.3.6 m
6.(2024·江西中考)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m=　3　,n=　6　;
②小球的落点是A,求点A的坐标.
【解析】(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知,
抛物线顶点坐标为(4,8),
∴,
解得,
∴二次函数表达式为y=-x2+4x.
当y=时,-x2+4x=,
解得x=3或x=5(舍去),
∴m=3,
当x=6时,n=-×62+4×6=6.
②联立得,
解得或,
∴点A的坐标是(,).
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt.
①小球飞行的最大高度为　8　米;
②求v的值.
【解析】(2)①由题意可知,小球飞行的最大高度为8米;
②y=-5t2+vt=-5(t-)2+,
则=8,
解得v=4(负值已舍去).
【B层 能力进阶】
7.(2024·天津质检)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是(C)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分,且在平面直角坐标系中关于y轴对称,如图所示(1 cm对应一个单位长度),AB∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,CH⊥AB且CH=1 cm,BD=2 cm,则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为(B)
A.y=(x+3)2　 B.y=(x-3)2
C.y=(x-4)2　 D.y=-(x-4)2
9.(2024·南通质检)在△ABC中,∠A,∠C是锐角,若AB=2,且tan∠C=2tan∠A,则△ABC面积的最大值是(A)
A.　 B.4　 C.6　 D.8
10.(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= 　m.
11.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,由于惯性的作用,汽车最远要滑行　16　m才能停下.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D,E,F分别在AC,BC,AB边上,且DE⊥EF,tan∠EDC=2,则△DEF的面积最大值为 　.
13.(2024·陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100 m,AO=BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=
2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式;
【解析】(1)∵AO=17 m,
∴A(0,17).
又OC=100 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m,
∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2),
故可设抛物线的函数表达式为y=a(x-50)2+2.又将A坐标代入抛物线并整理可得,2 500a+2=17,
∴a=,∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=(x-50)2+2.
(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【解析】(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=(x-50)2+2,∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y=(x+50)2+2.
令y=2.6,
∴2.6=(x+50)2+2,
∴x=-40或x=-60.
又FO∴x=-40,
∴FO的长为40 m.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·遂宁中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式;
【解析】(1)由题意得:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),
∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),
则-3a=-3,解得a=1,
则抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;
【解析】(2)抛物线的对称轴为直线x=1,
∵点P,C关于抛物线对称轴对称,
则点P(2,-3).
设Q(n,n2-2n-3),
∵∠OPQ=90°,
∴OP2+PQ2=OQ2,
∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-n)2+(-3-n2+2n+3)2]=(0-n)2+(0-n2+2n+3)2,
整理得:3n2-8n+4=0,
解得n1=,n2=2(舍去),
∴n=,∴Q(,-).
(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在,理由:
由题意得,点P(m,m2-2m-3),点Q(m+1,(m+1)2-2(m+1)-3),设直线PQ交x轴于点H,
由点P,Q的坐标得,直线PQ的表达式为y=(2m-1)x-m2-m-3,
令y=0,则x=.
①当2m-1≥0时, m≥,
则OH=,S△POQ=·OH·(yQ-yP)=××[(m+1)2-2(m+1)-3-m2+2m+3]
=(m2+m+3)=(m+)2+,∵ m≥,
∴当m=时,S△POQ最小为.
②当2m-1<0时,m<,
则OH=-.S△POQ=·OH·(yP-yQ)=(m+)2+,
∵m<,∴当m=-时,S△POQ最小为.
∵<,
∴综上,△OPQ的面积S存在最小值为.十四　二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点　利用二次函数的图象和性质解决利润问题
1.某种商品每天的销售利润y元与单价x元(x≥2)之间的函数表达式为y=-(x-3)2+60,则这种商品每天的最大利润为(B)
A.50元　 B.60元　 C.40元　 D.30元
2.杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇.某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为(B)
A.24元　 B.25元　 C.28元　 D.30元
3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.则最大利润是(D)
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.(2024·杭州期中)某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是　200　元.
5.小致创办了一个微店商铺,营销一款成本是20元/盏的小型LED护眼台灯.在“双十一”前8天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏,护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数表达式y=x+25(1≤x≤8),且x为整数).这8天中最大日销售利润是　448　元.
6.(2024·烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
【解析】(1)y=(200-x) (60+4×)=-0.4x2+20x+12 000=-0.4(x-25)2+12 250.
∵200-x≥180,
∴x≤20.
∴当x=20时,利润最大,最大利润为:-0.4(20-25)2+12 250=12 240(元).
∴y与x的函数关系式为y=-0.4x2+20x+12 000;每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大利润为12 240元.
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅
【解析】(2)12 160=-0.4(x-25)2+12 250,
0.4(x-25)2=12 250-12 160,
0.4(x-25)2=90,
(x-25)2=225.
解得:x1=40(不合题意,舍去),x2=10.
∴售出轮椅:60+4×=64(辆).
∴售出64辆轮椅.
7.(2024·贵州中考)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,如表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式;
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0),
∴,解得:.
∴y=-2x+80;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
【解析】(2)设日销售利润为w元.w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-800=-2(x-25)2+450.
答:糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元;
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
【解析】(3)w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+(100+2m)x-800-80m.
∵最大利润为392元,
∴=392.
整理得:m2-60m+116=0.
(m-2)(m-58)=0.
解得:m1=2,m2=58.
当m=58时,x=-=54,
∴每盒糖果的利润为54-10-58=-14(元).
∴舍去.
答:m=2.
【B层 能力进阶】
8.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果用相同的工时生产,获总利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k的值为(C)
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某超市购进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系,则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为　800　元(利润=总销售额-总成本).
10.某种玩偶礼盒,每盒进价为30元.当地物价部门规定,该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒.某网店在销售过程中发现该礼盒每周的销量y(件)与销售单价x(元)之间近似满足函数关系:y=-2x+180(30≤x≤50).那么该网店每周销售该礼盒所获最大利润为　1 600　元.
11.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,经调查,售价每降0.1元,每天多卖40千克,另外,每天的其他固定成本为24元.当定价为　2.75　元时能获得最大利润,最大利润是　201　元.
12.(2024·南充中考)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价为50元/件,B类特产进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元.
【解析】(1)由题意,设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为(132-x)元.
∴3x+5(132-x)=540,
∴x=60.
∴每件B类特产的售价为132-60=72(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
【解析】(2)∵每件A类特产降价x元,
又∵每降价1元,每天可多售出10件,
∴y=10x+60(0≤x≤10).
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元.(利润=售价-进价)
【解析】(3)∵w=(60-x-50)(10x+60)+100×(72-60)
=-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840.
∵-10<0,
∴当x=2时,w有最大值1 840.
∴A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1 840元.
13.某商户购进一批童装,40天销售完毕.根据所记录的数据发现,日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y=,销售单价p(元)与销售时间x(天)之间的函数关系如图所示.
(1)第15天的日销售量为　30　件;
【解析】(1)∵日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y=,
∴第15天的日销售量为2×15=30(件).
(2)当0【解析】(2)由销售单价p(元)与销售时间x(天)之间的函数图象得
p=,
①当0日销售额=40×2x=80x,
∵80>0,∴日销售额随x的增大而增大,
∴当x=20时,日销售额最大,最大值为80×20=1 600(元);
②当20日销售额=(50-x)×2x=-x2+100x=-(x-50)2+2 500,
∵-1<0,∴当x<50时,日销售额随x的增大而增大,∴当x=30时,日销售额最大,最大值为2 100元,
综上,当0(3)在销售过程中,若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”,则“火热销售期”共有多少天
【解析】(3)由题意得:当0当30∴当24≤x≤32时,日销售量不低于48件,
∵x为整数,∴x的整数值有9个,
∴“火热销售期”共有9天.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·盐城中考)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生 产 背 景 1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信 息 整 理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类加工人 数(人)每人每天加 工量(件)平均每天 获利(元)风y224雅x1正148
探 究 任 务 任 务 1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系.
任 务 2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.
任 务 3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
【解析】任务1:根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,
∴加工“正”服装的有(70-x-y)人,
∵“正”服装总件数和“风”服装相等,
∴(70-x-y)×1=2y,整理得:y=-x+;
任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为:
x[100-2(x-10)],∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)],
整理得:w=-2x2+72x+3 360(x≥10).
任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008,∴当x=18时,获得最大利润,y=-×18+=,∴x≠18,∵抛物线开口向下,∴取x=17或x=19,当x=17时,y=,不符合题意;当x=19时,y==17,符合题意;∴70-x-y=34,
综上:安排19名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润.

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