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十五　二次函数与一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数与一元二次方程的关系
1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为(A)
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.若二次函数y=ax2-1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2-1=0的实数根为(A)
A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(D)
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个同号实数根
D.有两个不相等实数根
4.二次函数y=mx2+2mx-(3-m)的图象如图所示,则m的取值范围是　m<0　.
5.(2024·遵义质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是　x1=-2,x2=1　.
6.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
(1)求方程ax2=-bx-c的解;
【解析】(1)观察题中函数图象可知,图象与x轴的交点坐标分别为(-3,0),(1,0),与y轴的交点坐标为(0,6).
将方程ax2=-bx-c变形为ax2+bx+c=0,
即y=0时,把y=0代入y=ax2+bx+c(a≠0),
由题中图象可知ax2+bx+c=0的解为x1=-3,x2=1,
∴方程ax2=-bx-c的解为x1=-3,x2=1.
(2)如果方程ax2+bx+c+m=0无实数根,求m的取值范围.
【解析】(2)∵y=ax2+bx+c的函数图象开口向下且最大值为y=8,
∴方程ax2+bx+c+m=0无实根,即ax2+bx+c=-m无解,
则由题中图象可得-m>8,即m<-8.
知识点2　利用二次函数图象解一元二次方程
7.下面表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值,由此可以判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是　0.5x 0 0.5 1 1.5 2
y -1 -0.5 1 3.5 7
8.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根为　1.4　.(精确到0.1)
9.借助图象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值.(结果精确到0.1)
【解析】观察图象可知:二次函数y=-x2+x+2对应的方程-x2+x+2=0有两个实数根,它们分别介于实数-2与-1,3与4之间,∵当x=-1.3时,y=-0.145<0,当x=-1.2时,y=0.08>0,∴方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值是-1.2.
【B层 能力进阶】
10.(2024·西安期中)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m-2,n),则n的值为(A)
A.1 B.2 C.4 D.8
11.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为(A)
A.1≤a< B.012.(2024·广元中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,-2)与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且-1①a-b+c<0;②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根;③a+b>0;④a>;⑤b2-4ac>4a2.其中正确的结论有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2024·衡阳一模)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若关于x的一元二次方程ax2+bx=m有实数根,则m的值可以为　-2(答案不唯一)　(写出一个值即可).
14.已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示,对于方程|x2-4|=m(m为实数),若该方程恰有3个不相等的实数根,则m的值是　4　.
15.如图,已知二次函数y1=x2-3x的图象与正比例函数y2=x的图象在第一象限交于点A,与x轴正半轴交于点B,若y116.已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线.
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点,求m的值;
【解析】(1)∵a=1,b=-2m,c=m+2,∴Δ=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m+2)=4(m2-m-2),∵抛物线与x轴只有一个公共点,
∴b2-4ac=4(m2-m-2)=0,解得m1=2,m2=-1;
(2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当2m+n取得最大值时,求点Q的坐标.
【解析】(2)∵Q(m,n)为该抛物线上一点,
∴n=m2-2m×m+m+2,
∴2m+n=2m+m2-2m×m+m+2=-m2+3m+2,
∵-m2+3m+2=-(m-)2+,
∴当2m+n取得最大值时,m=,n=m2-2m×m+m+2=,∴Q(,).
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·南京模拟)在二次函数y=x2+2mx+m-1中.
(1)求证:不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.
【解析】(1)∵二次函数y=x2+2mx+m-1,
∴函数图象与x轴相交时,x2+2mx+m-1=0,
Δ=(2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3≥3,
∴不论m取何值,方程x2+2mx+m-1=0总有两个不相等的实数根,
∴不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)当0≤x≤3时,y的最小值为-3,则m的值为　-1　.
【解析】(2)∵二次函数y=x2+2mx+m-1,当0≤x≤3时,y的最小值为-3,
又∵抛物线的对称轴为直线x=-=-m,且抛物线的开口向上,
∴当0≤-m≤3,即-3≤m≤0时,y的最小值为(-m)2+2m(-m)+m-1=-3,
解得:m=2(舍去),或m=-1;
当-m<0,即m>0时,y的最小值为02+2m×0+m-1=-3,
解得:m=-2(舍去);
当-m>3,即m<-3时,y的最小值为32+2m×3+m-1=-3,
解得:m=-(舍去).
综上所述,m的值为-1.
(3)当m<0时,点A(n-2,a),B(4,b),C(n,a)都在这个二次函数的图象上,且a【解析】(3)∵二次函数y=x2+2mx+m-1,点A(n-2,a),C(n,a)两点纵坐标相等,
∴对称轴为x==-m,
∴n=1-m,m=1-n,
∵m<0,
∴1-n<0,即n>1,
将B(4,b)代入函数表达式,得:9m+15=b,
又∵b∴9m+15∴m<-2,-m>2,
∴n=1-m>3,
∵a∴点B离抛物线的对称轴比点C离抛物线的对称轴远,
∴n-(-m)<|-m-4|,
当n+m当n+m<-m-4时,n+(1-n)6,
综上所述,n的取值范围是36.十五　二次函数与一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1　二次函数与一元二次方程的关系
1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为( )
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.若二次函数y=ax2-1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2-1=0的实数根为( )
A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个同号实数根
D.有两个不相等实数根
4.二次函数y=mx2+2mx-(3-m)的图象如图所示,则m的取值范围是 .
5.(2024·遵义质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
6.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
(1)求方程ax2=-bx-c的解;
(2)如果方程ax2+bx+c+m=0无实数根,求m的取值范围.
知识点2　利用二次函数图象解一元二次方程
7.下面表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值,由此可以判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是 .
x 0 0.5 1 1.5 2
y -1 -0.5 1 3.5 7
8.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根为 .(精确到0.1)
9.借助图象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值.(结果精确到0.1)
【B层 能力进阶】
10.(2024·西安期中)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m-2,n),则n的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
11.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为( )
A.1≤a< B.012.(2024·广元中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,-2)与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且-1①a-b+c<0;②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根;③a+b>0;④a>;⑤b2-4ac>4a2.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2024·衡阳一模)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若关于x的一元二次方程ax2+bx=m有实数根,则m的值可以为 (写出一个值即可).
14.已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示,对于方程|x2-4|=m(m为实数),若该方程恰有3个不相等的实数根,则m的值是 .
15.如图,已知二次函数y1=x2-3x的图象与正比例函数y2=x的图象在第一象限交于点A,与x轴正半轴交于点B,若y116.已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线.
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点,求m的值;
(2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当2m+n取得最大值时,求点Q的坐标.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·南京模拟)在二次函数y=x2+2mx+m-1中.
(1)求证:不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.
.
当0≤x≤3时,y的最小值为-3,则m的值为 .
(3)当m<0时,点A(n-2,a),B(4,b),C(n,a)都在这个二次函数的图象上,且a

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