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十七　圆的对称性
【A层 基础夯实】
知识点1　圆的对称性
1.下列说法中,不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
2.(2023·永州中考)企业标志反映了思想、理念等企业文化,在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是( )
知识点2　圆心角、弧、弦之间的关系
3.(2024·深圳期末)下列说法正确的是( )
A.等弧所对的弦相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
4.已知圆的半径为2 cm,圆中一条弦长为2 cm,则这条弦所对的圆心角的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图,AB为☉O的直径,∠AOE=60°,点C,D是的三等分点,则∠BOD的度数为( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
6.将一个圆分成四个扇形,面积比为4∶4∶5∶7,则其中最大扇形的圆心角的度数为( )
A.54° B.72° C.90° D.126°
7.如图,点A,B,C都在☉O上,B是的中点,∠OBC=50°,则∠AOB等于 °.
8.如图,在☉O中,半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且OE=OF.
(1)求证:AE=BF;
【B层 能力进阶】
9.如图,点A,B,C是☉O上的点,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半径为2,则四边形ABCO的面积为( )
A.2 B.2 C. D.2
10.如图,在☉O中,AB是弦,C是上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则∠BOC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.如图,在☉O中,如果=2,则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是( )
A.AB=AC
B.AB=2AC
C.AB>2AC
D.AB<2AC
12.如图,在☉O中,=,则下列结论中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,正确的是 (填序号).
13.(2024·威海质检)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则所对的圆心角的度数是 .
14.(2024·潮州质检)如图,AB,AC是☉O的两条弦,且=.
(1)求证:AO平分∠BAC;
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、空间观念、运算能力、推理能力)已知☉O的半径为1 cm,小明同学作如下操作(如图):
Ⅰ.在☉O上任取一点A,以A为圆心,1 cm为半径作弧,与☉O相交于B,C两点;
Ⅱ.以C为圆心,1 cm为半径作弧与☉O相交于点D;
Ⅲ.分别以B,D为圆心,B,C两点间距离为半径作弧相交于点E;
Ⅳ.以B为圆心,O,E两点间距离为半径作弧与☉O相交于点F;
(1)B,D两点之间的距离为 ;
(2)试猜想所对的圆心角的度数,并证明你的结论.十七　圆的对称性
【A层 基础夯实】
知识点1　圆的对称性
1.下列说法中,不正确的是(D)
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
2.(2023·永州中考)企业标志反映了思想、理念等企业文化,在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是(C)
知识点2　圆心角、弧、弦之间的关系
3.(2024·深圳期末)下列说法正确的是(A)
A.等弧所对的弦相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
4.已知圆的半径为2 cm,圆中一条弦长为2 cm,则这条弦所对的圆心角的度数是(C)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图,AB为☉O的直径,∠AOE=60°,点C,D是的三等分点,则∠BOD的度数为(C)
A.40° B.60° C.80° D.120°
6.将一个圆分成四个扇形,面积比为4∶4∶5∶7,则其中最大扇形的圆心角的度数为(D)
A.54° B.72° C.90° D.126°
7.如图,点A,B,C都在☉O上,B是的中点,∠OBC=50°,则∠AOB等于　80　°.
8.如图,在☉O中,半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且OE=OF.
(1)求证:AE=BF;
【证明】(1)过O作OM⊥AB于M,连接OA,OB,
∵OA=OB,OE=OF,
∴AM=BM,EM=FM,
∴AM-EM=BM-FM,∴AE=BF;
(2)求证:=.
【证明】(2)∵OM⊥AB,OA=OB,OE=OF,
∴∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM,
∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM,
∴∠AOC=∠BOD,
∴=.
【B层 能力进阶】
9.如图,点A,B,C是☉O上的点,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半径为2,则四边形ABCO的面积为(A)
A.2 B.2 C. D.2
10.如图,在☉O中,AB是弦,C是上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则∠BOC的度数为(A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.如图,在☉O中,如果=2,则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是(D)
A.AB=AC
B.AB=2AC
C.AB>2AC
D.AB<2AC
12.如图,在☉O中,=,则下列结论中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,正确的是　①②③④　(填序号).
13.(2024·威海质检)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则所对的圆心角的度数是　30°　.
14.(2024·潮州质检)如图,AB,AC是☉O的两条弦,且=.
(1)求证:AO平分∠BAC;
【解析】(1)连接OB,OC,
∵=,∴AB=AC,
∵OC=OB,OA=OA,
在△AOB与△AOC中,,
∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠1=∠2,
∴AO平分∠BAC;
(2)若AB=4,BC=8,求半径OA的长.
【解析】(2)延长AO交BC于E,连接OB,
∵AB=AC,AO平分∠BAC,∴AE⊥BC,BE=BC=4,
设OA=x,可得:AB2-BE2=AE2,OB2=OE2+BE2,
即(4)2-42=(x+OE)2,x2=OE2+42,∴OE+x=8,
解得x=5,OE=3,
∴半径OA的长为5.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、空间观念、运算能力、推理能力)已知☉O的半径为1 cm,小明同学作如下操作(如图):
Ⅰ.在☉O上任取一点A,以A为圆心,1 cm为半径作弧,与☉O相交于B,C两点;
Ⅱ.以C为圆心,1 cm为半径作弧与☉O相交于点D;
Ⅲ.分别以B,D为圆心,B,C两点间距离为半径作弧相交于点E;
Ⅳ.以B为圆心,O,E两点间距离为半径作弧与☉O相交于点F;
(1)B,D两点之间的距离为　2 cm　;
【解析】(1)连接OB,OA,OC,OD,CD,AB,
如图,由作法得AB=1 cm,==,
∵OA=OB=AB=1 cm,
∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,
∵==,
∴∠AOC=∠COD=∠AOB=60°,
∴∠BOD=180°,
∴BD为☉O的直径,
∴BD=2 cm;
(2)试猜想所对的圆心角的度数,并证明你的结论.
【解析】(2)所对的圆心角的度数为90°.
理由如下:
连接OE,OF,BE,BF,DE,BC,
由作法得BE=DE=BC=,BF=OE,
∴EO⊥BD,∴∠BOE=90°,
∴OE==,∴BF=,
∵OB=OF=1,∴OB2+OF2=BF2,
∴△OBF为等腰直角三角形,
∴∠BOF=90°,∴所对的圆心角的度数为90°.

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