资源简介

十八　垂径定理
【A层 基础夯实】
知识点1　垂径定理及应用
1.如图,CD是☉O的直径,AB是弦,CD⊥AB于E,DE=2,AB=8,则AC的长为(C)
A.8 B.10 C.4 D.4
2.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD =8,OD=6,则BD的长为(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2024·六安模拟)已知☉O的半径为5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延长线上的一点,若PA=8,PB=2,则圆心O到弦AB的距离为(D)
A. B.6 C. D.4
4.(2024·九江模拟)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=16,EB=4,则☉O的半径为　10　.
知识点2　垂径定理在实际生活中的应用
5.如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图(单位:cm),则液面宽度AB=(D)
A.8 cm B.4 cm
C.4 cm D.8 cm
6.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱宸桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2 m,则此桥拱的半径是(B)
A.1.62 m B.1.64 m C.1.14 m D.3.56 m
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得弦AB长为4米,☉O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是(C)
A.1米 B.2米
C.(3-)米 D.(3+)米
【B层 能力进阶】
8.(2024·阜阳一模)已知点C在☉O的弦AB上,AC=6,BC=2,OC=,则圆心O到弦AB的距离为(B)
A. B.3 C.2 D.2
9.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品,其制作过程中需要用到几十种不同的工具,其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”,其形状及使用方法如图1所示.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时,就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3,☉O为某紫砂壶的壶口,已知A,B两点在☉O上,直线l过点O,且l⊥AB于点D,交☉O于点C.若AB=48 mm,CD=12 mm,则这个紫砂壶的壶口半径r(单位:mm)的值为(A)
A.30 B.30 C.30 D.40
10.(2024·蚌埠期末)如图,AB是☉O的直径,分别以点O和点B为圆心,大于OB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),相交于M,N两点,直线MN与☉O相交于C,D两点,若AB=4,则CD的长为(C)
A.4 B.4 C.2 D.
11.一条排水管横截面如图所示,已知排水管半径OA=1 m,水面宽CD=1.6 m,若管内水面下降0.2 m,则此时水面宽AB等于　1.2　m.
12.(2023·上海中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
【解析】(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4,
在Rt△OBD中,cos∠ABC=,∴OB===5,
∴☉O的半径为5;
(2)求∠BAC的正切值.
【解析】(2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,
∵OC=OB,OB=5,∴BC=OB=7.5,
∵OD⊥AB,∴OD∥CE,∴=,∴=,
∴BE=6,∴AE=AB-BE=8-6=2,
在Rt△BCE中,CE===4.5,
在Rt△ACE中,tan∠BAC===,
∴∠BAC的正切值为.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、应用意识)(2024·南通期末)根据素材解决问题:
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EH=12 m,EF=2.1 m,因水深足够,货船可以根据需要运载货物,据调查,货船的载重量每增加1吨,则船身下降0.01 m.
问题解决
任务1 确定桥拱半径 (1)求圆形桥拱的半径;
任务2 拟定设计方案 (2)根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
【解析】(1)设圆心为点O,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图,
设桥拱的半径为r m,则OD=(r-4)m,
∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=8 m,
∵OD2+AD2=OA2,∴(r-4)2+82=r2,∴r=10,
∴圆形桥拱的半径为10 m;
(2)根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加10吨的货物才能通过.理由:当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如图,
∵四边形EFGH为矩形,∴EH∥FG,
∵OC⊥AB,∴OM⊥EH.∴EM=EH=6 m,
∴OM==8 m,
∵OD=OC-CD=6 m,∴DM=2 m<2.1 m,
∴根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,
∵货船的载重量每增加1吨,则船身下降0.01 m.
∴船在水面部分可以下降的高度(2.1-2)÷0.01=10(吨),
∴至少要增加10吨的货物才能通过.十八　垂径定理
【A层 基础夯实】
知识点1　垂径定理及应用
1.如图,CD是☉O的直径,AB是弦,CD⊥AB于E,DE=2,AB=8,则AC的长为( )
A.8 B.10 C.4 D.4
2.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD =8,OD=6,则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2024·六安模拟)已知☉O的半径为5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延长线上的一点,若PA=8,PB=2,则圆心O到弦AB的距离为( )
A. B.6 C. D.4
4.(2024·九江模拟)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=16,EB=4,则☉O的半径为 .
知识点2　垂径定理在实际生活中的应用
5.如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图(单位:cm),则液面宽度AB=( )
A.8 cm B.4 cm
C.4 cm D.8 cm
6.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱宸桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2 m,则此桥拱的半径是( )
A.1.62 m B.1.64 m C.1.14 m D.3.56 m
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得弦AB长为4米,☉O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是( )
A.1米 B.2米
C.(3-)米 D.(3+)米
【B层 能力进阶】
8.(2024·阜阳一模)已知点C在☉O的弦AB上,AC=6,BC=2,OC=,则圆心O到弦AB的距离为( )
A. B.3 C.2 D.2
9.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品,其制作过程中需要用到几十种不同的工具,其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”,其形状及使用方法如图1所示.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时,就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3,☉O为某紫砂壶的壶口,已知A,B两点在☉O上,直线l过点O,且l⊥AB于点D,交☉O于点C.若AB=48 mm,CD=12 mm,则这个紫砂壶的壶口半径r(单位:mm)的值为( )
A.30 B.30 C.30 D.40
10.(2024·蚌埠期末)如图,AB是☉O的直径,分别以点O和点B为圆心,大于OB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),相交于M,N两点,直线MN与☉O相交于C,D两点,若AB=4,则CD的长为( )
A.4 B.4 C.2 D.
11.一条排水管横截面如图所示,已知排水管半径OA=1 m,水面宽CD=1.6 m,若管内水面下降0.2 m,则此时水面宽AB等于 m.
12.(2023·上海中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、应用意识)(2024·南通期末)根据素材解决问题:
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EH=12 m,EF=2.1 m,因水深足够,货船可以根据需要运载货物,据调查,货船的载重量每增加1吨,则船身下降0.01 m.
问题解决
任务1 确定桥拱半径 (1)求圆形桥拱的半径;
任务2 拟定设计方案 (2)根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过

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