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二十　圆周角和圆心角的关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　圆周角定理推论2
1.如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,作CE∥AB交☉O于点E,若∠ADE= 25°,则∠ABC的度数为( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
2.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是( )
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
知识点2　圆内接四边形
4.在☉O的内接四边形ABCD中,∠B与∠D的数量关系为( )
A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180°
C.∠B>∠D D.∠B<∠D
5.(2024·驻马店一模)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆弧上两点,若∠CAB=
42°,则∠ADC的度数为( )
A.138° B.148° C.132° D.122°
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连接AE.若∠BCD=2∠BAD,连接OD,则∠DOE的度数是 .
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.
【B层 能力进阶】
8.(2024·广元中考)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于( )
A.64° B.60° C.54° D.52°
9.(2024·西安模拟)如图,AB是☉O的直径,=,弦CD延长线与AB延长线交于点E,AD,BC交于点F,若CD=DE,则∠AFC的度数为( )
A.52.5° B.60° C.67.5° D.75°
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC是☉O的直径,∠ACD=30°,连接对角线BD,则∠CBD的度数是 .
11.(2024·泰州期末)如图,AB是☉O的直径,E是☉O上异于A,B的一点,连接AE,BE,直径DC⊥AE交AE于点P,且D在上,若AB=25,AE=24,则PC的长为 .
12.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
13.(2024·佛山一模)如图,已知OA是☉O的半径,过OA上一点D作弦BE垂直于OA,连接AB,AE.线段BC为☉O的直径,连接AC交BE于点F.
(1)求证:∠ABE=∠C;
(2)若AC平分∠OAE,求的值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、模型观念、推理能力)如图,正方形ABCD内接于☉O,点E为AB的中点,连接CE交BD于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG.
(1)求证:FB2=FE·FG.
(2)若AB=6,求FB和EG的长.二十　圆周角和圆心角的关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　圆周角定理推论2
1.如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,作CE∥AB交☉O于点E,若∠ADE= 25°,则∠ABC的度数为(C)
A.45° B.55° C.65° D.75°
2.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是(C)
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
【解析】(1)∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,∴△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
【解析】(2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°,
∵AB是☉O的直径,AD=3,
∴∠ADB=90°,∴AB=6,
∴☉O的半径为3.
知识点2　圆内接四边形
4.在☉O的内接四边形ABCD中,∠B与∠D的数量关系为(B)
A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180°
C.∠B>∠D D.∠B<∠D
5.(2024·驻马店一模)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆弧上两点,若∠CAB=
42°,则∠ADC的度数为(C)
A.138° B.148° C.132° D.122°
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连接AE.若∠BCD=2∠BAD,连接OD,则∠DOE的度数是　60°　.
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
【解析】(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.
【解析】(2)如图,连接CO并延长交☉O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F==,
∵∠F=∠BAC,∴sin ∠BAC=.
【B层 能力进阶】
8.(2024·广元中考)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于(A)
A.64° B.60° C.54° D.52°
9.(2024·西安模拟)如图,AB是☉O的直径,=,弦CD延长线与AB延长线交于点E,AD,BC交于点F,若CD=DE,则∠AFC的度数为(B)
A.52.5° B.60° C.67.5° D.75°
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC是☉O的直径,∠ACD=30°,连接对角线BD,则∠CBD的度数是　60°　.
11.(2024·泰州期末)如图,AB是☉O的直径,E是☉O上异于A,B的一点,连接AE,BE,直径DC⊥AE交AE于点P,且D在上,若AB=25,AE=24,则PC的长为　9　.
12.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 　.
13.(2024·佛山一模)如图,已知OA是☉O的半径,过OA上一点D作弦BE垂直于OA,连接AB,AE.线段BC为☉O的直径,连接AC交BE于点F.
(1)求证:∠ABE=∠C;
【解析】(1)∵OA⊥BE,∴=,
∴∠ABE=∠C;
(2)若AC平分∠OAE,求的值.
【解析】(2)∵AC平分∠OAE,∴∠OAC=∠EAC,
∵∠EAC=∠EBC,∴∠OAC=∠EBC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠C,
∴∠EBC=∠C,∴BF=CF,
由(1)知∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠C=∠EBC,
∵BC为直径,∴∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°,∴∠ABE=30°,
∴AF=BF,∴AF=CF,即=.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、模型观念、推理能力)如图,正方形ABCD内接于☉O,点E为AB的中点,连接CE交BD于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG.
(1)求证:FB2=FE·FG.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∴=,∴∠DBA=∠G,
∵∠EFB=∠BFG,∴△EFB∽△BFG,
∴=,∴FB2=FE·FG;
(2)若AB=6,求FB和EG的长.
【解析】(2)连接OE,如图,
∵AB=AD=6,∠DAB=90°,
∴BD==6,∴OB=BD=3,
∵点E为AB的中点,∴OE⊥AB,
∵四边形ABCD是正方形,∴BC⊥AB,∠DBA=45°,AB=BC,
∴OE∥BC,OE=BE=AB,
∴==,∴=,∴=,∴BF=2,
∵点E为AB的中点,∴AE=BE=3,∴EC==3,
连接AC,∵∠ACG=∠ABG,∠AEC=∠BEG,
∴△AEC∽△GEB,∴=,∴AE·BE=EG·EC,
∴EG=.十九　圆周角和圆心角的关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　圆周角及圆周角定理
1.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO=( )
A.25° B.50° C.60° D.65°
2.如图,已知AB是☉O的弦,C为☉O上的一点,且OC⊥AB于点D,若∠ABC=25°,则∠OBD的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)如图,AB是☉O的弦,OA,OB是☉O的半径,∠A=20°,若C是☉O上异于A,B两点的另一点,则∠ACB的度数是 .
知识点2　圆周角定理的推论1
5.(2024·济南模拟)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠D=35°,∠DPB=110°,则∠BCP=( )
A.35° B.75° C.40° D.25°
6.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则tan ∠ADC的值为 .
7.如图,AB,CD为☉O内两条相交的弦,交点为E,且AB=CD,求证:AD∥BC.
【B层 能力进阶】
8.(2024·重庆中考B卷)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为( )
A.28° B.34° C.56° D.62°
9.(2023·温州中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD =120°,AD=,则∠CAO的度数与BC的长分别为( )
A.10°,1 B.10°,
C.15°,1 D.15°,
10.(2024·连云港中考)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
11.(2023·广安中考)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为 .
12.如图,☉O的半径为6,直角三角板的30°角的顶点A落在☉O上,两边与圆交于点B,C,则弦BC的长为 .
13.(2024·南京期末)如图,AB,AC,MN是☉O的弦,MN分别交AB,AC于点D,E, AB=AC,=.
(1)若∠A=44°,则的度数为 °;
(2)求证AD=AE.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(空间观念、模型观念、应用意识)(2024·北京质检)下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:如图,直线l和直线外一点P.
求作:过点P作直线l的平行线.
作法:如图,
①在直线l上任取点O;
②作直线PO;
③以点O为圆心OP长为半径画圆,交直线PO于点A,交直线l于点B;
④连接AB,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交☉O于点C(点A与点C不重合);
⑤作直线CP;
则直线CP即为所求.
根据小郭设计的尺规作图过程,完成以下任务.
(1)补全图形;
(2)补全下面的证明过程.
证明:连接BP,BC.
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠ ( )
……十九　圆周角和圆心角的关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　圆周角及圆周角定理
1.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO=(D)
A.25° B.50° C.60° D.65°
2.如图,已知AB是☉O的弦,C为☉O上的一点,且OC⊥AB于点D,若∠ABC=25°,则∠OBD的度数为(C)
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是(B)
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)如图,AB是☉O的弦,OA,OB是☉O的半径,∠A=20°,若C是☉O上异于A,B两点的另一点,则∠ACB的度数是　70°或110°　.
知识点2　圆周角定理的推论1
5.(2024·济南模拟)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠D=35°,∠DPB=110°,则∠BCP=(B)
A.35° B.75° C.40° D.25°
6.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则tan ∠ADC的值为 　.
7.如图,AB,CD为☉O内两条相交的弦,交点为E,且AB=CD,求证:AD∥BC.
【证明】∵AB=CD,∴=,
∴-=-,
即=,∴∠A=∠B,∴AD∥BC.
【B层 能力进阶】
8.(2024·重庆中考B卷)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为(B)
A.28° B.34° C.56° D.62°
9.(2023·温州中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD =120°,AD=,则∠CAO的度数与BC的长分别为(C)
A.10°,1 B.10°,
C.15°,1 D.15°,
10.(2024·连云港中考)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=　90　°.
11.(2023·广安中考)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为　7　.
12.如图,☉O的半径为6,直角三角板的30°角的顶点A落在☉O上,两边与圆交于点B,C,则弦BC的长为　6　.
13.(2024·南京期末)如图,AB,AC,MN是☉O的弦,MN分别交AB,AC于点D,E, AB=AC,=.
(1)若∠A=44°,则的度数为　　　　°;
【解析】(1)连接OB,OC,
∵∠BAC=44°,∴∠BOC=2∠BAC=88°,
∴的度数为88°,∵AB=AC,
∴=,且其度数为=136°;
答案:136
(2)求证AD=AE.
【解析】(2)连接AM,AN,∵=,
∴AM=AN,∴∠AMD=∠ANE,
由(1)知=,∴=,
∴∠MAD=∠NAE,
∴△ADM≌△AEN(ASA),
∴AD=AE.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(空间观念、模型观念、应用意识)(2024·北京质检)下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:如图,直线l和直线外一点P.
求作:过点P作直线l的平行线.
作法:如图,
①在直线l上任取点O;
②作直线PO;
③以点O为圆心OP长为半径画圆,交直线PO于点A,交直线l于点B;
④连接AB,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交☉O于点C(点A与点C不重合);
⑤作直线CP;
则直线CP即为所求.
根据小郭设计的尺规作图过程,完成以下任务.
(1)补全图形;
(2)补全下面的证明过程.
证明:连接BP,BC.
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠　　(　　　　)
……
【解析】(1)补全图形如图所示:
(2)连接BP,BC,
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠CPB(同圆中等弧所对的圆周角相等),
又∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB,
∴∠CPB=∠OBP,
∴CP∥l.

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