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二十一　确定圆的条件
【A层 基础夯实】
知识点1　确定圆的条件
1.下列条件中,能确定一个圆的是(B)
A.经过已知点M
B.以点O为圆心,10 cm长为半径
C.以10 cm长为半径
D.以点O为圆心
2.(2024·威海质检)已知点A,B,且AB<4,画经过A,B两点且半径为2的圆有(C)
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是(A)
A.① B.② C.③ D.均不可能
4.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3),　不能　确定一个圆.(填“能”或“不能”)
知识点2　三角形的外接圆
5.如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α,BA为∠OBC的平分线,则∠BCA=(C)
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
6.如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)
A. B.
C. D.
7.(2024·石家庄质检)如图,在Rt△ABC中,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,下列三角形中,外心不是点M的是(C)
A.△ABC B.△AEC C.△ACF D.△BCE
8.(2024·盐城中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则
∠OAB=　50　°.
【B层 能力进阶】
9.(2024·西安二模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD为☉O的直径,交BC于点E,若点C为半圆AD的中点,弦AB=DO,则∠BED的度数为(D)
A.60° B.65° C.70° D.75°
10.△ABC的边AB=8,边AC,BC的长是一元二次方程m2-16m+60=0的两根,则△ABC的外接圆的半径是　5　.
11.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)等腰△ABC内接于☉O,若☉O的半径为
10 cm,△ABC的底边长为12 cm,则这个等腰三角形的腰长AB=　2或
6　cm.
12.如图,☉O的半径为,△ABC是☉O的内接等边三角形,将△ABC折叠,使点A落在☉O上,折痕EF平行于BC,则EF的长为　2　.
13.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D.半径OE⊥BC,连接BD,EA,且EA⊥BD.若BC=10,则OD= 　.
14.(2024·孝感模拟)如图,△ABC内接于☉O,D为BC上一点,连接AD,AO,∠BAD=∠CAO.
(1)如图1,求证:AD⊥BC;
【解析】(1)延长AO交☉O于E,如图,
则∠ACE=90°,∴∠CAE+∠AEC=90°,
∵=,∴∠ABC=∠AEC,
∵∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE,
∴∠ABC+∠BAD=90°,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC;
(2)如图2,延长AD交☉O于点H,连接CH,若AB=10,CH=6,求☉O的半径.
【解析】(2)延长AO交☉O于点F,连接FB,如图,
∵AF为☉O的直径,∴∠ABF=90°,
∵∠BAD=∠CAO,∴∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF,即∠BAF=∠CAH,
∴=,∴BF=CH,
∵AB=10,CH=6,∠ABF=90°,
∴AF===2,则OA=,
即☉O的半径为.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;
【解析】(1)△BDE为等腰直角三角形.理由如下:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠BED=∠DBE,∴BD=ED.
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴△BDE是等腰直角三角形.
(2)若AB=10,BE=2,求BC的长.
【解析】(2)如图,连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2,
∴BD=2.∵AB=10,∴OB=OD=5.
设OF=t,则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,52-t2=(2)2-(5-t)2,解得t=3,∴BF=4,∴BC=8.二十一　确定圆的条件
【A层 基础夯实】
知识点1　确定圆的条件
1.下列条件中,能确定一个圆的是( )
A.经过已知点M
B.以点O为圆心,10 cm长为半径
C.以10 cm长为半径
D.以点O为圆心
2.(2024·威海质检)已知点A,B,且AB<4,画经过A,B两点且半径为2的圆有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )
A.① B.② C.③ D.均不可能
4.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3), 确定一个圆.(填“能”或“不能”)
知识点2　三角形的外接圆
5.如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α,BA为∠OBC的平分线,则∠BCA=( )
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
6.如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·石家庄质检)如图,在Rt△ABC中,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,下列三角形中,外心不是点M的是( )
A.△ABC B.△AEC C.△ACF D.△BCE
8.(2024·盐城中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则
∠OAB= °.
【B层 能力进阶】
9.(2024·西安二模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD为☉O的直径,交BC于点E,若点C为半圆AD的中点,弦AB=DO,则∠BED的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
10.△ABC的边AB=8,边AC,BC的长是一元二次方程m2-16m+60=0的两根,则△ABC的外接圆的半径是 .
11.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)等腰△ABC内接于☉O,若☉O的半径为
10 cm,△ABC的底边长为12 cm,则这个等腰三角形的腰长AB= cm.
12.如图,☉O的半径为,△ABC是☉O的内接等边三角形,将△ABC折叠,使点A落在☉O上,折痕EF平行于BC,则EF的长为 .
13.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D.半径OE⊥BC,连接BD,EA,且EA⊥BD.若BC=10,则OD= .
14.(2024·孝感模拟)如图,△ABC内接于☉O,D为BC上一点,连接AD,AO,∠BAD=∠CAO.
(1)如图1,求证:AD⊥BC;
(2)如图2,延长AD交☉O于点H,连接CH,若AB=10,CH=6,求☉O的半径.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=10,BE=2,求BC的长.

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