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二十二　直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　直线和圆的位置关系
1.(2024·泰州期末)以点(1,2)为圆心画☉P,若☉P的半径r=1,则☉P与x轴的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.已知,☉O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=4,则直线l与☉O的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
3.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)(2024·扬州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4,BC=3,若以C点为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的值是 .
4.如图,已知∠MON=30°,在ON上有一点P,OP=5 cm,若以点P为圆心,r为半径作圆,试求圆的半径r的取值范围,使:
(1)射线OM与☉P只有一个公共点;
(2)射线OM与☉P有两个公共点.
知识点2　切线的性质及应用
5.如图,过☉O上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C,点D是圆上一点,且∠BDP=29°,则∠C的度数为( )
A.32° B.33° C.34° D.35°
6.如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连接BD,CD,若
∠BDC=60°.AB=3,则☉O的半径长为( )
A.1.5 B. C. D.
7.如图,AB切圆O于点B,连接OA交圆O于点C,BD∥OA交圆O于点D,连接CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为( )
A.68° B.56° C.34° D.28°
8.(2024·安阳模拟)如图,BC是☉O的直径,点A在☉O上,AD与☉O相切于点A,交BC的延长线于点D,E是上一点,连接AB,AC,AE,BE.
(1)若∠AEB=110°,求∠D的度数.
(2)求证:∠CAD=∠ABC.
【B层 能力进阶】
9.(2024·苏州质检)在直角坐标系中,点P的坐标是(3,),圆P的半径为3,下列说法正确的是( )
A.☉P与x轴、y轴都有两个公共点
B.☉P与x轴、y轴都没有公共点
C.☉P与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
D.☉P与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,直线EF与☉O相切于点A,且AB=AD.若∠BAE =35°,则∠BCD的度数为( )
A.35° B.55° C.70° D.80°
11.(2024·重庆一模)如图,在☉O中,AB为直径,BD为弦,点C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接AC交BD于点F,若AF=3CF,AB=6,则CE的长度为( )
A.3 B.3 C.4 D.4
12.如图,直线AB与x轴、y轴分别相交于A(3,0)、B两点,∠BAO=30°,圆心P的坐标为(-1,0),☉P与y轴相切于原点O,若将☉P沿x轴向右移动,当☉P与该直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图,△ABC是☉O的内接三角形,过点C的☉O的切线交BO的延长线于点P,若∠P=34°,那么∠BAC度数为 .
14.(2024·金华一模)如图,过☉O外一点P作圆的切线PA,PB,点A,B为切点,AC为直径,设∠P=m°,∠C=n°,则m,n的等量关系为 .
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、运算能力)(2023·宜昌中考)如图1,已知AB是☉O的直径,PB是☉O的切线,PA交☉O于点C,AB=4,PB=3.
(1)填空:∠PBA的度数是 ,PA的长为 ;
(2)求△ABC的面积;
(3)如图2,CD⊥AB,垂足为D.E是上一点,AE=5EC.延长AE,与DC,BP的延长线分别交于点F,G,求的值.二十三　直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　切线的判定
1.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴的正方向平移,使得☉P与y轴相切,则平移的距离为(D)
A.1 B.3 C.5 D.1或5
2.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　4　cm时,☉M与OA相切.
3.如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的☉O与边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为☉O的切线.
【证明】连接OD,如图所示,
∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,
∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC,
∴∠ODB=∠A,∴OD∥AC,
又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∴DE为☉O的切线.
知识点2　三角形的内切圆
4.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠DEF=53°,则
∠A的度数是(C)
A.36° B.53° C.74° D.128°
5.(2024·池州质检)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,☉D是△ABC的内切圆,连接AD,BD,则∠ADB的度数为(B)
A.120° B.135° C.145° D.150°
6.(2024·苏州期末)如图,△ABC的周长是18 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,已知AB=6 cm,则△CEF的周长为　12　cm.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E,F,G.
(1)求证:内切圆的半径r=1;
【解析】(1)如图,连接OE,OF,OG,OB,
∵☉O是△ABC的内切圆,∠C=90°,
∴四边形CEOF是正方形,∴CE=CF=r.
∴Rt△AOE≌Rt△AOG(HL),∴AE=AG,同理BG=BF.
又∵AG=AE=3-r,BG=BF=4-r,AG+BG=5,∴(3-r)+(4-r)=5,解得r=1.
(2)求tan∠OAG的值.
【解析】(2)在Rt△AOG中,∵r=1,AG=3-r=2,∴tan∠OAG==.
【B层 能力进阶】
8.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为(C)
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
9.(2024·泰州期末)如图,在△ABC中,∠BAC=70°,I是△ABC的内心,连接AI并延长至点D,使ID=BD.则∠DBC的度数是(B)
A.30° B.35° C.40° D.45°
10.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是(C)
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
11.(2024·烟台期末)等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,点O1,O2分别是△ABC的内心和外心,则O1O2= 　.
12.(2023·随州中考)如图,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,点C是的中点,AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线;
【解析】(1)连接OC,
∵AD⊥DF,∴∠D=90°,
∵点C是的中点,∴=,∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,∴∠OCF=∠D=90°,
∵OC是☉O的半径,∴DC是☉O的切线;
(2)若AE=2,sin∠AFD=,
①求☉O的半径;
②求线段DE的长.
【解析】(2)①过点O作OG⊥AE,垂足为G,
∴AG=EG=AE=1,
∵OG⊥AD,∴∠AGO=∠DGO=90°,
∵∠D=∠AGO=90°,∴OG∥DF,∴∠AFD=∠AOG,
∵sin∠AFD=,∴sin∠AOG=sin∠AFD=,
在Rt△AGO中,AO===3,∴☉O的半径为3;
②∵∠OCF=90°,∴∠OCD=180°-∠OCF=90°,
∵∠OGE=∠D=90°,∴四边形OGDC是矩形,
∴OC=DG=3,
∵GE=1,∴DE=DG-GE=3-1=2,
∴线段DE的长为2.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·广安中考)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,交斜边AC于点D,点E是BC的中点,连接OE,DE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
【解析】(1)连接OD,BD,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°,∵点E是BC的中点,
∴DE=BE=EC,∵OB,OD是☉O的半径,
∴OB=OD,又∵OE=OE,∴△ODE≌△OBE(SSS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,∴半径OD⊥DE,
∴DE是☉O的切线;
(2)若sin C=,DE=5,求AD的长;
【解析】(2)由(1)知:DE=BE=EC,∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°,∵DE=5,∴BC=10,
∵sin C=,∴=,∴BD=8,
∵∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠C,∴sin∠ABD=sin C=,
∴=,设AD=4x,则AB=5x,
∵AD2+BD2=AB2,∴(4x)2+82=(5x)2,
解得x=(负值舍去),∴AD=4x=4×=;
(3)求证:2DE2=CD·OE.
【解析】(3)由(1)(2)得∠BDC=∠OBE=90°,BE=DE,
∵点O是AB的中点,点E是BC的中点,∴OE∥AC,∴∠C=∠OEB,
∴△BCD∽△OEB,
∴=,即=,
∴2DE2=CD·OE.二十二　直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　直线和圆的位置关系
1.(2024·泰州期末)以点(1,2)为圆心画☉P,若☉P的半径r=1,则☉P与x轴的位置关系是(A)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.已知,☉O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=4,则直线l与☉O的位置关系是(A)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
3.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)(2024·扬州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4,BC=3,若以C点为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的值是　34.如图,已知∠MON=30°,在ON上有一点P,OP=5 cm,若以点P为圆心,r为半径作圆,试求圆的半径r的取值范围,使:
(1)射线OM与☉P只有一个公共点;
(2)射线OM与☉P有两个公共点.
【解析】过P作PH⊥OM于H,∵∠MON=30°,OP=5 cm,∴PH=OP=2.5 cm.
(1)∵射线OM与☉P只有一个公共点,
∴☉P与射线OM相切或点O在圆的内部,
∴r=PH=2.5 cm或r>5 cm.
(2)∵射线OM与☉P有两个公共点.
∴PH∴2.5 cm知识点2　切线的性质及应用
5.如图,过☉O上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C,点D是圆上一点,且∠BDP=29°,则∠C的度数为(A)
A.32° B.33° C.34° D.35°
6.如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连接BD,CD,若
∠BDC=60°.AB=3,则☉O的半径长为(D)
A.1.5 B. C. D.
7.如图,AB切圆O于点B,连接OA交圆O于点C,BD∥OA交圆O于点D,连接CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为(D)
A.68° B.56° C.34° D.28°
8.(2024·安阳模拟)如图,BC是☉O的直径,点A在☉O上,AD与☉O相切于点A,交BC的延长线于点D,E是上一点,连接AB,AC,AE,BE.
(1)若∠AEB=110°,求∠D的度数.
【解析】(1)连接CE,AO,
∵BC是圆的直径,∴∠BEC=90°,
∵∠AEB=110°,∴∠AEC=∠110°-90°=20°,
∴∠AOD=2∠AEC=40°,
∵AD与圆相切于A,∴OA⊥AD,
∴∠OAD=90°,∴∠D=90°-∠AOD=50°.
(2)求证:∠CAD=∠ABC.
【解析】(2)由(1)知,∠BAC=∠OAD=90°,
∴∠BAO+∠OAC=∠CAD+∠OAC=90°,
∴∠CAD=∠BAO,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABC,
∴∠CAD=∠ABC.
【B层 能力进阶】
9.(2024·苏州质检)在直角坐标系中,点P的坐标是(3,),圆P的半径为3,下列说法正确的是(D)
A.☉P与x轴、y轴都有两个公共点
B.☉P与x轴、y轴都没有公共点
C.☉P与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
D.☉P与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,直线EF与☉O相切于点A,且AB=AD.若∠BAE =35°,则∠BCD的度数为(C)
A.35° B.55° C.70° D.80°
11.(2024·重庆一模)如图,在☉O中,AB为直径,BD为弦,点C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接AC交BD于点F,若AF=3CF,AB=6,则CE的长度为(C)
A.3 B.3 C.4 D.4
12.如图,直线AB与x轴、y轴分别相交于A(3,0)、B两点,∠BAO=30°,圆心P的坐标为(-1,0),☉P与y轴相切于原点O,若将☉P沿x轴向右移动,当☉P与该直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图,△ABC是☉O的内接三角形,过点C的☉O的切线交BO的延长线于点P,若∠P=34°,那么∠BAC度数为　118°　.
14.(2024·金华一模)如图,过☉O外一点P作圆的切线PA,PB,点A,B为切点,AC为直径,设∠P=m°,∠C=n°,则m,n的等量关系为　m+2n=180　.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、运算能力)(2023·宜昌中考)如图1,已知AB是☉O的直径,PB是☉O的切线,PA交☉O于点C,AB=4,PB=3.
(1)填空:∠PBA的度数是　　　　,PA的长为 　　　　;
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,PB是☉O的切线,
∴∠PBA的度数为90°,
∵AB=4,PB=3,∴PA===5.
答案:90°　5
(2)求△ABC的面积;
【解析】(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵S△ABP=×AP·BC=AB·BP,∴BC=,
∴AC===,
∴S△ABC=×AC·BC=××=;
(3)如图2,CD⊥AB,垂足为D.E是上一点,AE=5EC.延长AE,与DC,BP的延长线分别交于点F,G,求的值.
【解析】(3)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠ABC+∠BCD,∴∠ACD=∠ABC,
∵四边形ABCE是圆的内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ACD+∠ACF=180°,∴∠AEC=∠ACF,
又∵∠EAC=∠FAC,∴△EAC∽△CAF,∴==,
∵AE=5EC,AC=,∴CF=,
∵∠ADC=90°=∠ACB,∠BAC=∠DAC,∴△ADC∽△ACB,
∴==,∴AD==,∴CD=,DB=,∴DF=CD+CF==AD,
∴△ADF是等腰直角三角形,∴AF=,
∴=,∴AE=2,∴EF=AF-AE=,
∵DF∥BG,∴=,∴=,∴FG=,∴==.二十三　直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　切线的判定
1.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴的正方向平移,使得☉P与y轴相切,则平移的距离为( )
A.1 B.3 C.5 D.1或5
2.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切.
3.如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的☉O与边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为☉O的切线.
知识点2　三角形的内切圆
4.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠DEF=53°,则
∠A的度数是( )
A.36° B.53° C.74° D.128°
5.(2024·池州质检)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,☉D是△ABC的内切圆,连接AD,BD,则∠ADB的度数为( )
A.120° B.135° C.145° D.150°
6.(2024·苏州期末)如图,△ABC的周长是18 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,已知AB=6 cm,则△CEF的周长为 cm.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E,F,G.
(1)求证:内切圆的半径r=1;
(2)求tan∠OAG的值.
【B层 能力进阶】
8.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
9.(2024·泰州期末)如图,在△ABC中,∠BAC=70°,I是△ABC的内心,连接AI并延长至点D,使ID=BD.则∠DBC的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
10.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是( )
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
11.(2024·烟台期末)等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,点O1,O2分别是△ABC的内心和外心,则O1O2= .
12.(2023·随州中考)如图,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,点C是的中点,AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若AE=2,sin∠AFD=,
①求☉O的半径;
②求线段DE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·广安中考)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,交斜边AC于点D,点E是BC的中点,连接OE,DE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若sin C=,DE=5,求AD的长;
(3)求证:2DE2=CD·OE.

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