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二十四　切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1　切线长定理
1.(2024·深圳模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是( )
A.32° B.48° C.60° D.66°
2.如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则
∠PAE+∠PBE的度数为( )
A.50° B.62° C.66° D.70°
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=120°,OA=2,则△PAB的周长是 .
4.如图,已知射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.
(1)请写出两个不同类型的正确结论;
(2)若CD=12,tan∠CPO=,求PO的长.
知识点2　切线长定理的应用
5.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
6.如图,△ABC是一张三角形的纸片,☉O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,已知AD=10 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为 .
7.(2024·西安模拟)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为 .
【B层 能力进阶】
8.如图,直线AB,CD,BC分别与☉O相切于E,G,F,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=
8 cm,则BE+CG的长等于( )
A.13 cm B.12 cm C.11 cm D.10 cm
9.(2024·绍兴模拟)如图,△ABC中,∠A=60°,BC=6,它的周长为16.若☉O与BC,AC, AB三边分别切于E,F,D点,则DF的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
10.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,
∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是 .
11.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于E点,☉O的半径是r,△PCD的周长为4r,则tan∠APB= .
12.如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.
(1)求证:OQ=PQ;
(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、应用意识)课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是所对的圆心角,∠C是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=∠AOB;
知识应用
(2)如图4,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长.二十四　切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1　切线长定理
1.(2024·深圳模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(D)
A.32° B.48° C.60° D.66°
2.如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则
∠PAE+∠PBE的度数为(D)
A.50° B.62° C.66° D.70°
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=120°,OA=2,则△PAB的周长是　6　.
4.如图,已知射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.
(1)请写出两个不同类型的正确结论;
【解析】(1)不同类型的正确结论有:
①PC=PD,②∠CPO=∠DPA,③CD⊥BA,④∠CEP=90°,⑤PC2=PA·PB;(答案不唯一)
(2)若CD=12,tan∠CPO=,求PO的长.
【解析】(2)连接OC,∵PC,PD分别切☉O于点C,D,AP与CD交于点E,
∴PC=PD,∠CPO=∠DPA,∴CD⊥AB,
∵CD=12,∴DE=CE=CD=6.
∵tan∠CPO=,∴在Rt△EPC中,PE=12,∴由勾股定理得CP=6.
∵PC切☉O于点C,∴∠OCP=90°,
在Rt△OPC中,∵tan∠CPO=,∴=,
∴OC=3,∴OP==15.
知识点2　切线长定理的应用
5.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为(C)
A.12 B.13 C.14 D.15
6.如图,△ABC是一张三角形的纸片,☉O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,已知AD=10 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为　20 cm　.
7.(2024·西安模拟)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为　S1+S3=S2+S4　.
【B层 能力进阶】
8.如图,直线AB,CD,BC分别与☉O相切于E,G,F,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=
8 cm,则BE+CG的长等于(D)
A.13 cm B.12 cm C.11 cm D.10 cm
9.(2024·绍兴模拟)如图,△ABC中,∠A=60°,BC=6,它的周长为16.若☉O与BC,AC, AB三边分别切于E,F,D点,则DF的长为(A)
A.2 B.3 C.4 D.6
10.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,
∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是　2　.
11.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于E点,☉O的半径是r,△PCD的周长为4r,则tan∠APB= 　.
12.如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.
(1)求证:OQ=PQ;
【解析】(1)连接OP.
∵PA,PC分别与☉O相切于点A,C,
∴PA=PC,OA⊥PA,∵OA=OC,OP=OP,
∴△OPA≌△OPC(SSS),
∴∠AOP=∠POC,∵QP⊥PA,∴QP∥BA,
∴∠QPO=∠AOP,
∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.
(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.
【解析】(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,
∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,
∴QD=QC=6,∵QO=QP,
∴OC=DP=r,
∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC,
∴∠OCP=∠PCQ=90°,
在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,
∴(6+r)2=(2r)2+62,r=4或0(舍弃),
∴OP==4,
∵OB=PD,OB∥PD,
∴四边形OBDP是平行四边形,
∴BD=OP=4.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、应用意识)课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是所对的圆心角,∠C是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=∠AOB;
知识应用
(2)如图4,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长.
【解析】(1)①如图,连接CO,并延长CO交☉O于点D,
∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;
②如图,连接CO,并延长CO交☉O于点D,
∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;
(2)如图,连接OA,OB,OP,
∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=∠APB=(180°-120°)=30°,
∵OA=2,∴OP=2OA=4,
∴PA==2.

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