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二十六　弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1　弧长公式及应用
1.(2024·沈阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,交BC于点E,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,☉O的半径为4,∠D=120°,则的长是( )
A.π B.π C.π D.4π
3.(学科融合题)如图,用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 cm.(结果保留π)
4.已知扇形的圆心角为45°,半径为12 cm,则该扇形的弧长为 cm.
知识点2　扇形及相关阴影面积的计算
5.(2024·宁波期中)已知扇形的半径为3,圆心角为120°,则这个扇形的面积为( )
A.9π B.6π C.3π D.2π
6.若扇形面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为( )
A.3 B.9 C.2 D.3
7.(2024·徐州模拟)“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组,示意图如图②所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=90°形成的扇形,若OA=11 cm,OB=7 cm,则阴影部分的面积为( )
A. cm2 B.18π cm2 C. cm2 D. cm2
【B层 能力进阶】
8.(2024·宝鸡模拟)如图,在扇形OAB中,OB=1,点O关于AB的对称点D刚好落在上,则的长是( )
A. B. C. D.
9.如图,半圆O的直径AB为4,将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O',与AB交于点P,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-2 B.π+2 C.2π-2 D.2π+2
10.(2023·重庆中考A卷)如图,☉O是矩形ABCD的外接圆,若AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
11.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 cm(结果用含π的式子表示).
12.如图,已知☉O的半径为,四边形ABCD内接于☉O,连接AC,BD,DB=DC,
∠BDC=45°.
(1)求的长;
(2)求证:AD平分△ABC的外角∠EAC.
13.(2024·齐齐哈尔中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、模型观念、运算能力)如图,已知扇形AOB中,∠AOB=60°,半径R=3.
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴;
(2)在扇形AOB的内部,☉O1与OA,OB都相切,且与只有一个交点C,此时我们称☉O1为扇形AOB的内切圆,试求☉O1的面积S1.二十六　弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1　弧长公式及应用
1.(2024·沈阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,交BC于点E,则的长为(B)
A.π B.π C.π D.π
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,☉O的半径为4,∠D=120°,则的长是(C)
A.π B.π C.π D.4π
3.(学科融合题)如图,用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了　4π　cm.(结果保留π)
4.已知扇形的圆心角为45°,半径为12 cm,则该扇形的弧长为　3π　cm.
知识点2　扇形及相关阴影面积的计算
5.(2024·宁波期中)已知扇形的半径为3,圆心角为120°,则这个扇形的面积为(C)
A.9π B.6π C.3π D.2π
6.若扇形面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为(D)
A.3 B.9 C.2 D.3
7.(2024·徐州模拟)“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组,示意图如图②所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=90°形成的扇形,若OA=11 cm,OB=7 cm,则阴影部分的面积为(B)
A. cm2 B.18π cm2 C. cm2 D. cm2
【B层 能力进阶】
8.(2024·宝鸡模拟)如图,在扇形OAB中,OB=1,点O关于AB的对称点D刚好落在上,则的长是(B)
A. B. C. D.
9.如图,半圆O的直径AB为4,将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O',与AB交于点P,则图中阴影部分的面积为(B)
A.π-2 B.π+2 C.2π-2 D.2π+2
10.(2023·重庆中考A卷)如图,☉O是矩形ABCD的外接圆,若AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 π-12　.(结果保留π)
11.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π　cm(结果用含π的式子表示).
12.如图,已知☉O的半径为,四边形ABCD内接于☉O,连接AC,BD,DB=DC,
∠BDC=45°.
(1)求的长;
【解析】(1)如图,连接OB,OC,
∵∠BDC=45°,∴∠BOC=2∠BDC=90°,
∴的长为=π;
(2)求证:AD平分△ABC的外角∠EAC.
【解析】(2)∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,
∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠DCB,
∵∠DCB+∠DAB=180°,∠EAD+∠DAB=180°,
∴∠EAD=∠DCB,∴∠EAD=∠CAD,
∴AD平分△ABC的外角∠EAC.
13.(2024·齐齐哈尔中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
【解析】(1)连接OC,
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,
∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,
∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,
∴∠OCF=∠E=90°,
∵OC是☉O的半径,
∴CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(2)∵sin∠CFB=,∴∠CFB=45°,
∵∠OCF=90°,∴∠COF=∠CFO=45°,
∴CF=OC=AB=4,∵∠CDO=90°,
∴∠OCD=∠COD=45°,
∴CD=OD=OC=2,
∴S阴影=S扇形AOC-S△COD=-×2×2=2π-4.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、模型观念、运算能力)如图,已知扇形AOB中,∠AOB=60°,半径R=3.
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴;
(2)在扇形AOB的内部,☉O1与OA,OB都相切,且与只有一个交点C,此时我们称☉O1为扇形AOB的内切圆,试求☉O1的面积S1.
【解析】(1)∵∠AOB=60°,半径R=3,
∴S扇形OAB==.
∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,∴S△OAB=,
∴S阴=-.
(2)设☉O1与OA相切于点E,连接O1O,O1E,
∴∠EOO1=∠AOB=30°,∠OEO1=90°,
在Rt△OO1E中,∵∠EOO1=30°,
∴OO1=2O1E,∴O1E=1,∴S1=π×12=π.

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