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单元质量评价（二）第二章　二次函数（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列函数中,y是关于x的二次函数的是(B)
A.y=ax2+bx+c B.y=x(x-1)
C.y= D.y=(x-1)2-x2
2.(2024·青岛期末)若点A是二次函数y=(x+3)2-1图象的最低点,则点A的坐标是(B)
A.(3,-1) B.(-3,-1) C.(-1,3) D.(-1,-3)
3.(2024·合肥模拟)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是(B)
4.若二次函数y=ax2+2的图象经过点(-2,10),则下列说法错误的是(C)
A.a=2 B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.顶点坐标为(2,0) D.图象有最低点
5.二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象如图所示,当y1>y2时,自变量x的取值范围是(D)
A.14 D.x<1或x>4
6.(2024·泉州二模)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移1个单位长度,将y轴向左平移2个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(C)
A.y=3x2 B.y=3x2+2 C.y=3(x-4)2 D.y=3(x-4)2+2
7.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数)在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为(B)
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
8.(2024·广安中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-,0),对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·芜湖一模)二次函数y=2x2-6x+3的对称轴为直线　x=　.
10.若抛物线y=x2-2x+k-1与x轴有交点,则k的取值范围是　k≤2　.
11.若点A(1,y1),B(4,y2)都在二次函数y=2(x-2)2-1的图象上,则y1　<　y2.(填“>”“=”或“<”)
12.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为　0.2　.(结果精确到0.1)
13.(2024·成都模拟)如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽AB=16米,抛物线顶点C到AB的距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏MNPQ的高MQ为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米,若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间,则该矩形显示屏MNPQ的宽QP的最大长度为　6　米.
14.(2024·南充中考)已知抛物线C1:y=x2+mx+m与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),抛物线C2:y=x2+nx+n(m≠n)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),且AB=CD.下列四个结论:
①C1与C2交点为(-1,1);②m+n=4;③mn>0;④A,D两点关于(-1,0)对称.其中正确的结论是　①②④　.(填写序号)
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知二次函数y=x2-4x-5.
(1)把这个二次函数化成y=a(x-h)2的形式;
【解析】(1)y=x2-4x-5=(x-2)2-9;
(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;
【解析】(2)∵y=(x-2)2-9,∴对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-9);
(3)求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
【解析】(3)由y=x2-4x-5,令y=0,即x2-4x-5=0,
即(x-5)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=5,
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0).
16.(8分)(2024·盐城模拟)如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的表达式;
【解析】(1)将点A(1,0),B(3,2)代入抛物线表达式得:
,解得,
则抛物线的表达式为y=x2-3x+2;
将点A(1,0)代入y=x+m可得1+m=0,解得m=-1;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案).
【解析】(2)由题中函数图象可知,不等式的解集为x<1或x>3.
17.(8分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
【解析】(1)把点(2,3)代入y=-x2+bx+1得:-4+2b+1=3,解得b=3,
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+1;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
【解析】(2)抛物线向下平移n个单位长度后得:y=-x2+3x+1-n,
把点(0,0)代入y=-x2+3x+1-n得:1-n=0,解得n=1.
18.(8分)如图所示,直线y=kx+b与抛物线y=(x+1)2+m交于点B(1,0)和D(n,-3),点D在第三象限.
(1)求直线和抛物线的表达式;
【解析】(1)由题意,将B(1,0)代入抛物线y=(x+1)2+m,得4+m=0.
∴m=-4.∴抛物线的表达式为y=(x+1)2-4.∵D(n,-3)在抛物线上,
∴(n+1)2-4=-3.∴n=0或n=-2.又∵D(n,-3)在第三象限,∴n=-2,∴D(-2,-3).
将B,D的坐标代入直线y=kx+b得,,∴,∴直线的表达式为y=x-1.
(2)抛物线y=(x+1)2+m与x轴的另一交点为A,直线y=kx+b交抛物线对称轴于点E,求△ADE的面积.
【解析】(2)∵抛物线的对称轴是直线x=-1,且B(1,0),∴A(-3,0).
∵直线BD的方程为y=x-1,且E在对称轴上,∴E(-1,-2).∵S△ABD=AB·|yD|=×(1+3)×3=6,S△ABE=AB·|yE|=×(1+3)×2=4,∴S△ADE=S△ABD-S△ABE=6-4=2.
19.(10分)(2024·遂宁中考)某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7 200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3 200元.
(1)求A,B两种客房每间定价分别是多少元.
【解析】(1)设A种客房每间定价是x元,B种客房每间定价是y元,
∴.∴.
答:A,B两种客房每间定价分别是200元、120元.
(2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加10元,就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为多少元
【解析】(2)由题意,设A种客房每间定价为m元,∴W=m(24-)=-(m-220)2+4 840.
∵-<0,∴当m=220时,W取得最大值,最大值为4 840.
答:当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为4 840元.
20.(10分)(2024·达州中考)如图1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式;
【解析】(1)由题意得:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx-3,
解得a=1,b=2,则抛物线的表达式为y=x2+2x-3;
(2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标;
【解析】(2)由抛物线的表达式知,点C(0,-3),D(-1,-4),抛物线的对称轴为直线x=-1,
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G,在点C上方取点L使CL=2CG,过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P,则点P为所求点,
由点A,C的坐标得,直线AC的表达式为y=-x-3,∵DG∥AC,
则直线DG的表达式为y=-(x+1)-4,则点G(0,-5),则CG=5-3=2,则CL=4,
则点L(0,1),则直线LP的表达式为y=-x+1,联立直线LP的表达式和抛物线的表达式得:x2+2x-3=-x+1,解得x=1或-4,即点P(1,0)或(-4,5);
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在,理由:设点N(-1,m),
由点A,C,N的坐标得,AC2=18,AN2=4+m2,CN2=1+(m+3)2,
当AC=AN时,则18=4+m2,解得m=±,则点N(-1,±);
当AC=CN或AN=CN时,则18=1+(m+3)2或4+m2=1+(m+3)2,
解得m=-3+或-1(不符合题意的值已舍去),则点N(-1,-1)或(-1,-3+),
综上,N(-1,±)或(-1,-1)或(-1,-3+).
【附加题】(10分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
【解析】(1)把A(4,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx-4中,
得
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=x2-x-4;
(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O,A,C,D为顶点的四边形的面积为S,求S与m之间的函数关系式.
【解析】(2)点C(0,-4),
当-3当0故S=;
(3)如图②,连接BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时,△BMN为等腰三角形.
【解析】(3)点C(0,-4),BC=5,BM=CN=n,则BN=5-n,
①当BM=BN=CN时,
则点N是BC的中点,故点N(-,-2),
则CN==;
②当BN=MN时,如图,过点N作NR⊥x轴于点R,
则MN=BN=5-n,则BR=n,
则sin ∠OCB===,
解得n=;
③当BM=MN=CN时,
同理可得:n=.
综上,当n=或或时,△BMN为等腰三角形.单元质量评价（二）第二章　二次函数（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列函数中,y是关于x的二次函数的是( )
A.y=ax2+bx+c B.y=x(x-1)
C.y= D.y=(x-1)2-x2
2.(2024·青岛期末)若点A是二次函数y=(x+3)2-1图象的最低点,则点A的坐标是( )
A.(3,-1) B.(-3,-1) C.(-1,3) D.(-1,-3)
3.(2024·合肥模拟)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是( )
4.若二次函数y=ax2+2的图象经过点(-2,10),则下列说法错误的是( )
A.a=2 B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.顶点坐标为(2,0) D.图象有最低点
5.二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象如图所示,当y1>y2时,自变量x的取值范围是( )
A.14 D.x<1或x>4
6.(2024·泉州二模)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移1个单位长度,将y轴向左平移2个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A.y=3x2 B.y=3x2+2 C.y=3(x-4)2 D.y=3(x-4)2+2
7.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数)在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
8.(2024·广安中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-,0),对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·芜湖一模)二次函数y=2x2-6x+3的对称轴为直线 .
10.若抛物线y=x2-2x+k-1与x轴有交点,则k的取值范围是 .
11.若点A(1,y1),B(4,y2)都在二次函数y=2(x-2)2-1的图象上,则y1 y2.(填“>”“=”或“<”)
12.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为 .(结果精确到0.1)
13.(2024·成都模拟)如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽AB=16米,抛物线顶点C到AB的距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏MNPQ的高MQ为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米,若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间,则该矩形显示屏MNPQ的宽QP的最大长度为 米.
14.(2024·南充中考)已知抛物线C1:y=x2+mx+m与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),抛物线C2:y=x2+nx+n(m≠n)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),且AB=CD.下列四个结论:
①C1与C2交点为(-1,1);②m+n=4;③mn>0;④A,D两点关于(-1,0)对称.其中正确的结论是 .(填写序号)
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知二次函数y=x2-4x-5.
(1)把这个二次函数化成y=a(x-h)2的形式;
(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;
(3)求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
16.(8分)(2024·盐城模拟)如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的表达式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案).
17.(8分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
18.(8分)如图所示,直线y=kx+b与抛物线y=(x+1)2+m交于点B(1,0)和D(n,-3),点D在第三象限.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)抛物线y=(x+1)2+m与x轴的另一交点为A,直线y=kx+b交抛物线对称轴于点E,求△ADE的面积.
19.(10分)(2024·遂宁中考)某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7 200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3 200元.
(1)求A,B两种客房每间定价分别是多少元.
(2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加10元,就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为多少元
20.(10分)(2024·达州中考)如图1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标;
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【附加题】(10分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O,A,C,D为顶点的四边形的面积为S,求S与m之间的函数关系式.
(3)如图②,连接BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时,△BMN为等腰三角形.

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