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第五部分 三角函数
小 课 堂
三角函数概念与计算
1、弧度制：半径长等于圆弧弧长的圆心角叫做 1弧度的角.用 rad表示，读作弧度,记 α .
α = l 1° = π r 180 rad1rad=
1 8 0
π °
★ 2、三角函数定义 :
y
正弦函数: sinθ= 对 边 = y
斜边 r
P(x,y)
余弦函数：cosθ= 邻 边 = x
斜边 r
r
α
y
正切函数：tanθ= 对 边 = x
邻边 x
★ 3、同角三角函数的关系：
sin2θ+ cos2θ= 1 tanθ= si n θcosθ tanθ cotθ= 1
★ 4、三角函数特殊值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π π π 2π 3π 5π6 4 60° 2 3 4 6 π
3π
2 2π
sinα 0 1 2 3 1 3 2 12 2 2 2 2 2 0 1 0
cosα 1 3 2 1 12 2 2 0 2
2 32 2 1 0 1
tanα 0 33 1 3 — 3 1
3
3 0 — 0
还需实记的值：15o( π )：sin15o= 6 2 cos15o= 6 + 212 4 4 tan15
o= 2 3
★ 5、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.
口诀说明：奇指 (2 k + 1 ) π2 ，偶指 kπ；变与不变指三角函数名称的变化；符号是结果的符号；
看象限指看原式三角函数的角度所在的象限对应的三角函数符号.
公式一 sin 2kπ+ α = sinα cos 2kπ+ α = cosα tan 2kπ+ α = tanα
公式二 sin π+ α =-sinα cos π+ α =-cosα tan π+ α = tanα
公式三 sin -α =-sinα cos -α = cosα tan -α =-tanα
公式四 sin π- α = sinα cos π- α =-cosα tan π- α =-tanα
π
公式五 sin 2 - α = cosα cos
π
2 - α = sinα
公式六 sin
π π
2 + α = cosα cos 2 + α =-sinα
总结：正弦、余弦的诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限 )
n n
nπ (-

1) 2sinα, 2 nπ (-1) cosα,sin( 2 + α) = n - 1 cos( 2 + α) = n +(- ) , (- ) 11 2 cosα 1 2 sinα,
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小 课 堂 三角函数图像与性质
★ 1、三角函数图像性质 (书写规律：基准 (离 y轴最近的正值 ) +周期 )
y= sinx y= cosx y= tanx
1 y 1 y y
图 象 π 2π x π 3π2 2 x
- -1 -π π1 π 3π π x
2 2 - 3π - π π 3π2 2 2 2
R R x x≠ kπ+ π定义域 2 ,k∈ Ζ
值 域 -1,1 -1,1 R
x= 2kπ+ π2 ，ymax= 1 x= 2kπ时，ymax= 1；
最 值
x= 2kπ- π
既无最大也无最小
,ymin=-1 x= 2kπ+ π，y2 min=-1
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单增区间 2kπ-
π
2 ,2kπ+
π
2 [ π+ 2kπ,2kπ] kπ-
π ,kπ+ π2 2
π
单减区间 2kπ+ 2 ,2kπ+
3π
2kπ,2kπ+ π2 无
π
对称轴 x= kπ+ 2 k∈ Ζ x= kπ k∈ Ζ 无
对称中心 (kπ,0) ( π2 + kπ,0) (
kπ
2 ,0)
★ 2、三角函数的平移变换 (自变量左加右减，因变量上加下减 )
横坐标变为原来 1 倍
(1) 纵坐先伸缩后平移 : y= sinx 标 变 为 原 来 A 倍 y=Asinx ω
φ
向左 右 平移 个单位
y= ωAsinωx y=Asin ωx+ φ
( 纵坐标变为原来A倍
向左 右 平
2)先平移后伸缩 : y= sinx y=Asinx
移 φ 个 单 位
横坐标变为原来 1 倍
y= ωAsin x+ φ y=Asin ωx+ φ
定理：y=Asin(ωx+ φ )→ y=Asin(ωx+ φ )则平移单位为 φ 2- φ 1 1 2 ω (注意平移方向 )
※ 3、三角函数的翻折变换
（1）f(x) = sinx 的图像由 f(x) = sinx图像作 x轴的对称翻折得到.
f(x) = sinx y
1
对 对
称 称
-2π -π 翻 π 翻 2π x
折 π 折
2
-1
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（2）f(x) = sin x 的图像由 f(x) = sinx图像作 y轴的对称翻折得到.
y 小 课 堂
1
f(x) = sin x
-2π -π π 2π x
对称翻折
-1
正余弦型三角函数
y
★ 1、正弦型三角函数 y=Asin(ωx+ φ) +B A
(1)A(振幅 )：振动物体离开平衡位置的最大距离.
ωx+ φ(相位 )：振动物体任意时刻的状态.
振幅 x
φ(初相 )：振动物体初始时刻的状态. B 周期T
T = 2π
f(x) =Asin ωx+ φ +B
ω (周期 )：振动物体往复一次的时间.
(2)待定系数法求正弦型函数解析式
2A= f(x)max f(x)min
2B= f(x)max+ f(x)min、
ω= 2π (从图中读出周期，一般是 1 T、 1T 2 4 T、
3
4 T)
φ最值点 (零点 )法：ωx π0+ φ= 2 (
3π
2 )
2、正 (余 )弦型三角函数性质 (运用换元法：令 θ=ωx+ φ转化为正 (余 )弦三角函数 )
y=Asin(ωx+ φ) + b y=Acos(ωx+ φ) + b
2π 2π周 期 ω ω
2kπ+ π φ 2kπ φ
最大值 A+ b，当 x= 2 A+ b，当 x= ω 取得 ω
取得
2k π +
3π 2kπ+ π φ
最小值 -A+ b，当 x= 2
φ
取得 -A+ b，当 x= ω ω
取得
2kπ π π
单调增区间 2
φ ,
2k π + 2 φ
2k π π φ , 2k π φ ω ω ω ω

2kπ+
π φ 2kπ+ 3π φ 2kπ 2 2
φ , 2k π + π φ 单调减区间 ω , ω ω ω
kπ+ π φ = kπ φ对称轴 x= 2 x ω ω
π
对称中心 kπ - φω ,b 2 + k π - φω ,b
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小 课 堂 三角恒等变换
★ 1、和差角公式：
sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ
cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ
tan( ± tanαα β) = ± t an β 1 tanαtanβ
★ 2、二倍角公式：
sin2α= 2sinαcosα
sinαcosα= 12 sin2α
1± sin2α= sin2α+ cos2α± 2sinαcosα= (sinα± cosα)2
cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α
升幂公式 1+ cosα= 2cos2 α2 ,1 cosα= 2sin
2 α
2
降幂公式 cos2α= co s 2α + 1 ，sin2α= 1 - c os 2 α2 2 ．
tan2α= 2t a n α
1- tan2α
3、万能公式
sin2α= 2t a n α 1 t an
2
cos2α= α 2t a n α
1+ tan2α 1+ tan2 tan2α=α 1 tan2α
4、辅助角公式
★ (1)一次辅助角公式：
f(x) = asinωx± bcosωx
= a2+ b2sin(ωx± φ) tanφ= ba
(2)二次辅助角公式：
f x = asinωxcosωx± bcos2ωx a,b> 0
2 2
f x = a sin2ωx± b 2 2 cos2ωx+ 1 =
a + b
2 sin
b b
2ωx± φ ± 2 tanφ= a
5、正切恒等式 tanA+ tanB+ tanC = tanA tanB tanC (当A+B+C = kπ时)
6、f x = sinxcosx+msinx+ncosx的最值
定理：若m n> 0,则 f x 存在最大值；若m n< 0,则 f x 存在最小值；
若m n= 0,则 f x 最大值和最小值都可出现；
sinx m+ cosx
其中求最值的充要条件是： =
cosx n+ sinx
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