资源简介 小 课 堂 第五部分 圆锥曲线椭圆及其性质第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2 )的点轨迹 M F 1 = M F第二定义 2平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 = ed1 d2焦 点 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上y yB2A2b a图 形 b aA1 F c1 O F2 A2 xB1 F1 cF2 B2 xB1A1x2 y2 y2 x2标准方程 + 2 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0a b a b 范 围 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a顶 点 Α1 -a,0 Α2 a,0 Β1 0, - b Β2 0,b Α1 0, - a Α2 0,a Β1 -b,0 Β2 b,0 轴 长 短轴长= 2b 长轴长= 2a焦 点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0, - c 、F2 0,c 2 2 2焦距(焦 F1F2 = 2c c = a - b , PF1 = a+ ex0, PF2 = a- ex0半径) 左焦点弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2),右焦点弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).e= c2离心率 a = 1- b2 0< e< 1a 2 2准线方程 x=± a y=± ac c x 0 x y0y切线方程 + = 1 x 0 x + y0ya2 b2 b2 a2= 12通 径 过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2ba (最短焦点弦 )(1)由定义可知:|PF1| +|PF2| = 2a,周长为:2a+ 2c(2)焦点三角形面积:SΔF PF = b2× tan θ1 2 2(3)当P在椭圆短轴上时,张角 θ最大, cosθ≥ 1- 2e2(4)焦长公式:焦 点2三角形 PFb = MF = b 2 1 a- ccosα 1 a+ ccosα MP = 2 ab 2 = 2 ab 2 2- 2 2 2+ 2 2 ( )sin(α+ β)5 离心率:e= a c cos α b c sin α sinα+ sinβyPθα βF1 O F2 xM·60·双曲线及其性质小 课 堂第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数(大于 F1F2 )的点轨迹第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 M F 1 = M F 2 =d1 d2e焦 点 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上y yF1 虚轴虚轴 a b 实轴图 形F c1 F2 x xF2实轴 x2 - y2= y2 2标准方程 2 2 1 a> 0,b> 0 2 - x2 = 1 a> 0,b> 0a b a b 范 围 x≤-a或 x≥ a,y∈R y≤-a或 y≥ a,x∈R顶 点 Α1 -a,0 、Α2 a,0 Α1 0, - a 、Α2 0,a 轴 长 虚轴长= 2b 实轴长= 2a焦 点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0, - c 、F2 0,c 焦距(焦 F1F2 = 2c c2= a2+ b2 ,|PF1| = a+ ex0,|PF2| =-a+ ex0左支添“-”半径)e= c2离心率 a = 1+ ba2 e> 1 x=± a2 2准线方程 c y=± ac渐近线 y=± ba x y=± ab x x0x y y y y切线方程 2 - 0 = x1 0 x - 02 2 2 = 1a b b a2通 径 过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2b a (最短焦点弦 )(1)由定义可知:|PF1| -|PF2| = 2a(2)焦点直角三角形的个数为八个,顶角为直角与底角为直角各四个;2(3)焦点三角形面积:S b ΔF = = c y1PF2 tan θ 2焦 点(4) F Fe= 1 2 离心率: 三角形 PF1 - PF2 y= s in θ = si n( α + β ) sinα- sinβ sinα- sinβ P θα βF1 F2 x·61·小 课 堂 抛物线及其性质定 义 平面内与一个定点F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.方 程 y2= 2px y2=-2px x2= 2py x2=-2pyy y y yF= p图 形 y 2F x F x p x x=- py=- x 2 x= p 22 F顶 点 0,0 对称轴 x轴 y轴焦 点 F p , - p , , p2 0 F 2 0 F 0 2 F p0, - 2 =- p p p p准线方程 x 2 x= 2 y=- 2 y= 2离心率 e= 1范 围 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0切线方程 y0y= p(x+ x0) x0x= p(y+ y0)通 径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB = 2P(最短焦点弦 )AB为过 y2= 2px(p> 0)焦点的弦,A(x1,y1)、B(x2,y2),倾斜角为 α.则:( p p1) AF = x 1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p,2( p2)x1x2= 4 y1y2=-p2;(3) AF = p pBF = 1 + 1 - + | | | | = 21 cosα 1 cosα FA FB P AF (4) = , cosα λ- 1λ 则: BF = λ+ 1 ( 2p25) AB = p sin2S△A0B=α 2sinα2焦点弦 AB为过 x = 2py(p> 0)焦点的弦,A x1,y1 、B x2,y2 ,倾斜角为 α.则: p(1) AF = BF p 1- sinα = 1+ sinα2p p2(2) AB = cos2α S△A0B= 2cosα A( ) F = , sinα= λ - 13 λ 则: BF λ+ 1 y AyAα FBO F x αO xB=- px 2·62·点差法与通法小 课 堂1、圆锥曲线综述:联立方程设交点,韦达定理求弦长;变量范围判别式,曲线定义不能忘;弦斜中点点差法,设而不求计算畅;向量参数恰当用,数形结合记心间.★ 2、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线的设法:1 若题目明确涉及斜率,则设直线:y= kx+ b,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论;2 若题目没有涉及斜率或直线过 (a,0)则设直线:x=my+ a,可避免对斜率进行讨论y= kx+ b(2)研究通法:联立 得:ax2+ bx+ c= 0F(x,y) = 0判别式:Δ= b2 4ac,韦达定理:x1+ x = b2 a,x1x2= ca(3)弦长公式: AB = (x 21- x2) + (y1- y )22 = 1+ k2|x1- x2|= (1+ k2) [(x + x 2 1 21 2) - 4x1x2] = 1+ (yk2 1+ y2) 4y1y2 3、硬解定理2 2设直线 y= kx+ φ y与曲线 x + m n = 1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2) y= kx+ φ由: ,可得:(n+mk2)x2+ 2kφmx+m(φ2-n) = 0nx2+my2=mn2判别式:△= 4mn(n+ 2- 2) -2kmφ m(φ -n)mk φ 韦达定理:x + x = 1 2 + ,x x = n mk2 1 2 n+mk2由:|x - x | = (x + x )2- 4x x ,代入韦达定理:|x - x | = △ 1 2 1 2 1 2 1 2 n+mk2★ 4、点差法:若直线 l与曲线相交于M、N 两点,点P(x0,y0)是弦MN 中点,MN 的斜率为 kMN, x2 y2 y 2 则:在椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)中,有 kMN 0 ba b x= a2;0在双曲线 x2 y2 y 22 2 = 1(a> b> 0)中,有 k 0MN x = b ;a b 0 a2在抛物线 y2= 2px(p> 0)中,有 kMN y0= p.证明:(椭圆 )设M、N 两两点的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2), x2 2 y1 + y12 2 = 1, (1) Na b则有 2 2 x2 + y2 P = 1. (2)a2 b2 F1 O F2 xx2 x2 y2 y2(1) (2),得 1 2 + 1 22 2 = 0.Ma b y2 y 1 y2 + y∴ 1 = b2x2 x1 x2+ x .1 a2 y2 y 1 y + y∵ = , 1 2 = 2y 又 k y y b2MN x x x + x 2x = x .∴ kMN x = a2 .2 1 1 2·63·小 课 堂 圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念 x= f(t)在平面直角坐标系中,曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 t的函数 y= g(t)并且对于 t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M (x,y)都在这条曲线上,该方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y的变数 t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※ 2、直线的参数方程x= x + tcosα(1)过定点P( , ) 0x0 y0 、倾斜角为 α(α≠ π2 )的直线的参数方程 (t为参数 )y= y0+ tsinα(2)参数 t的几何意义:参数 t表示直线 l上以定点M0为起点,任意一点M (x,y)为终点的有向线段的长 度再加上表示方向的正负号,也即 |M0M | = |t|,y|t|表示直线上任一点M 到定 点M0的距离.M1当点M 在M0上方时,t> 0; α当点M 在M0下方时,t< 0; O t M0 x当点M 与M0重合时,t= 0;x= x + tcosα(3)直线方程与参数方程互化:y yo= tanα(x xo) 0 (t为参数 )y= y0+ tsinα x= x( ) 0+ at4 直线参数方程: (t为参数 ),y= y0+ bt当 a2+ b2= 1时,参数方程为标准型参数方程,参数的几何意义才是代表距离.x= x + a 0 a2 t2 + b2当 a + b2≠ 1时,将参数方程化为 b 然后在进行计算.y= y 0+ a2+ b2 t★ 3、圆的参数方程 x= a+ rcosθ(1)圆心 (a,b),半径 r的圆 (x- a)2+ (y- b)2= r2参数方程 (θ为参数 );y= b+ rsinθx= rcosθ特别:当圆心在原点时,半径为 r的圆 x2+ y2= r2的参数方程为: (θ是参数 ).y= rsinθ(2)参数 θ的几何意义:θ表示 x轴的正方向到圆心 y和圆上任意一点的半径所成的角. P(x,y)r(3)消参的方法:利用 sin2θ+ cos2θ= 1, αx可得圆方程:(x- a)2+ (y- b)2= r2·64·★ 4、椭圆的参数方程2( ) x + y2 x= acosφ1 椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 );小 课 堂a b y= bsinφ2椭圆 y + x2 x= bcosφ2 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 );a b y= asinφ(2)参数 θ的几何意义:参数 θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示,点P对应的离心角为 θ=∠QOx(过P作 y QPQ⊥ x轴,交大 圆即以 2a为直径的圆于Q), Pα切不可认为是 θ=∠POx. O x5、双曲线的参数方程2 2 x= asecφ(1)双曲线 x2 - y2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 );secφ= 1 a b y= btanφ cosφy2 2 x= bcotφ双曲线 2 - x2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 );cscφ= 1 a b y= acscφ sinφ(2)参数 θ的几何意义:参数 θ表示双曲线上某一点的离心角.※ 6、抛物线的参数方程x= 2pt2(1)抛物线 y2= 2px参数方程 (t为参数,t= 1 );y= 2pt tanα(2)参数 t的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. t= 1 kOP·65·小 课 堂 仿射变换与齐次式1、仿射变换:在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间.※ 2、椭圆的变换:椭 圆 b2x2+ a2y2= a2b2x = x x= x x = baax 变换内容 x= b xy = a y y= b y y = y y= y b a圆方程 x2+ y2= a2 x2+ y2= b2y y y yC B CC B C BB图 示 O x O xO x O x A AAA 点坐标 A(x0,y0)→A'(x , a0 b y0) A(x0,y0)→A'( ba x0,y0)k' = ab k,由于 kA'C ' kB'C '= 1. k' = ab k,由于 kA'C ' kB'C '= 1.斜率变化k k b b b2 b b 2AC BC= a kA'C ' a kB'C '= 2 kAC kBC= a kA'C ' a k = ba B'C ' a2则AB= 1+ k2 x1- x2 弦长变化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2 = 1+ ( a )2k2b x1- x2 S = b S a△ABC a △A'B'C ' (水平宽不变,铅 S△ABC= b S△A'B'C '(水平宽扩大,铅面积变化锤高缩小) 垂高不变)b2 k b2 c2x c2y3、中点弦问题,kOP k AB= 2 ,中垂线问题 O P = k 2 ,且 x = 0 y =- 0a a M a2 N,MP b2拓展 1:椭圆内接△ABC中,若原点O为重心,则仿射后一定得到△OB'C '为 120°的等腰三角形;△A'B'C '为等边三角形;拓展 2:椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上,则仿射后一定得菱形OA'P'B'4、面积问题:2 y2 2(1)若以椭圆 x 2 + 2 = 1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点,且 k bOA kOB= 2 ,a b a则经过仿射变换后 kOA' kOB'= 1,所以S△AOB为定值. x22 2(2)若椭圆方程 2 + y2 = 1上三点A,B,M,满足:① kOA k ba b OB= a2 ②S△AOB= ab2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0, π2 ,三者等价·66·※ 5、平移构造齐次式(:圆锥曲线斜率和与积的问题)小 课 堂(1)题设:过圆锥曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B,在直线PA和PB斜率之和或者斜率之 积为定值的情况下,直线AB过定点或者AB定斜率的问题.(2)步骤:①将公共点 平移到坐标原点(点平移:左加右减上减下加)找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ,所有直线方程统一写为:mx+ny= 1③将圆锥曲线C 展开,在一次项中乘以mx+ny= 1,构造出齐次式.④在齐次式中,同时除以 x2,构建斜率 k的一元二次方程,由韦达定理可得斜率之积(和).圆锥曲线考点归类(一 )条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理2 y2(1)若点A、B是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点,AB与椭圆长轴交点为N,在长轴a b上一定存在一个点M,当仅当则 xM xN= a2时,∠AMN =∠BMN,即长轴为角平分线; x2 y2(2)若点A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点,AB与椭圆短轴交点为N,在短轴a b上一定存在一个点M,当仅当则 y 2M yN= b 时,∠AMN =∠BMN,即短轴为角平分线;※ 2、关于角平分线的结论:若直线AO的斜率为 k1,直线CO的斜率为 k2,EO平分∠AOC则有:k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0角平分线的一些等价代换条件:作 x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为 y- y0= k(x- x0) (除直线 x=x0),其中 k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x- x0) +B(y- y0) = 0,其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x+B1y+C1= 0,l2 : A2x+B2y+C2= 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2),其中 λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线 y= kx+ b中当斜率 k一定而 b变动时,表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C = 0平行的直线系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线Ax+By+C = 0 (A≠ 0,B≠ 0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+ λ= 0,λ是参变量.·67·小 课 堂4、圆系方程(1)过直线 l :Ax+By+C = 0与圆C : x2+ y2+Dx+Ey+F= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+F + λ(Ax+By+C) = 0,λ是待定的系数.(2) 过圆C : x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0与圆C 2 22 : x + y +D2x+E2y+F2= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+D1x+E1y+F1+ λ(x2+ y2+D2x+E2y+F2) = 0,λ是待定的系数.5、关于二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的四线一方程:已知二次曲线G:Ax2+Cy2+Dx+ Ey+ F = 0,点M (x0,y0),对二次曲线G的方程作如下变换:平方项:x2替换为 x x,y2替换为 y y;一次项:x替换为 x + x 0 y + y 00 0 2 ,y替换为 2 ,【xy替换 x为 0y + y 0 x2 】+ + x + x 0 + y + y得到直线 l:Ax0x Cy0y D E 02 2 +F = 0,记为H x,y = 0.那么,对于点M x0,y0 ,①当M (x0,y0)在曲线G上时,l为曲线G的切线方程;②当M (x0,y0)在曲线G包围的区域外时,l为过M 作曲线G的两切线而得到的切点弦所在的直线方程;③当M (x0,y0)在曲线G包围的区域内时,l为过M 作曲线G的动弦P1P2 ,以P1 ,P2 为切点的两切线交点的轨迹方程;④当M (x0,y0)为曲线G的弦中点时,中点弦所在直线方程为H x,y -H x0,y0 = 0.因此,⑴对于圆:x2+ y2+Dx+Ey+F = 0,直线 l:x0x+ + x + xy y D 0 +E y + y 00 2 2 +F = 0;2 x2 + y = x 0 x + y y⑵对于椭圆: 2 2 1,直线 l: 0 2 = 1;a b a b22 2⑶对于双曲线: x2 - y = x1,直线 l: 0 x - y 0 y2 2 2 = 1;a b a b⑷对于抛物线:y2= 2px,直线 l:y0y= p(x+ x0);事实上,对于④,相当于将原二次曲线进行缩放(椭圆、双曲线---离心率不变)或平移(抛物线)到经过M (x0,y0),再利用①求出切线方程,即得中点弦所在直线方程.★ (二 )圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景:(1)直线过定点模型:A,B是圆锥曲线上的两动点,M 是一定点,其中 α,β分别为MA,MB的倾斜角,则: ①、MA MB为定值 直线AB恒过定点;②、kMA kMB为定值 直线AB恒过定点;③、α+ β= θ(0< θ< π) 直线AB恒过定点.·68·(2)抛物线中直线过定点小 课 堂A,B是抛物线 y2= 2px(p> 0)上的两动点,α,β分别为OA,OB的倾斜角,则:OA⊥OB kOA kOB=-1 α- β = π 2 直线AB恒过定点 (2p,0).2 2(3)椭圆中直线过定点模型:A,B是椭圆 x + y2 2 = 1(a> b> 0)上异于右顶点D的两动a b点,其中 α,β分别为DA,DB的倾斜角,则可以得到下面几个充要的结论:2DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π2 直线AB恒过定点 ( ac a2+ 2 ,0).b2、定点的求解方法:1 含参形式简单的直线方程,通过将直线化为 y- y0= k(x- x0)可求得定点坐标 (x0,y0)2 含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.h(x,y) = 0变换主元法:将直线化为 h(x,y) + λf(x,y) = 0,解方程组: 可得定点坐标.f(x,y) = 03、关于以AB为直径的圆过定点问题:(1)直接法:设出参数后,表示出圆的方程.圆的直径式方程:(x- x1)(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0(2)由特殊到一般:利用赋值法,先求出几个位置的圆方程,联立圆方程解出公共交点,该交点即为圆所过的定点,再利用向量数量积为 0证明点恒在圆上.★ (三 )圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法:(1)S△ABC= 12 MN d,从公式可以看出,求面积重在求解弦长和点到线的距离.(2)S 1△ABC= 2 ×水平宽×铅锤高,主要以点的坐标运算为主.2、面积中最值的求解2(1)f(x) = αx + β x + φx+n 型:令 t= x+n x= t-n进行代换后裂项转化为:y= at+ bt(2)f(x) = x + n 2+ + 型:先在分母中配出分子式 f(x) = x + n αx βx φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ令 t= x+n,此时:y= t 2+ + ,分子分母同时除 t,此时 y= 1 ,再利αt λt υ αt+ υt + λ用对勾函数或不等式分析最值.( ) ( ) = α x+3 f x β + 型:令 t= x+n x= t2-n进行代换后裂项,可转化为:y= at+ bx n t·69·小 课 堂 附:圆锥曲线焦比体系一:椭圆焦长以及焦比问题 x2 y24a体 :过椭圆 2 + = 1 a> b> 0 的左焦点F 的弦AB与右焦点F 围成的三角形a b2 1 2ΔABF2的周长是 4a;x2 y2焦长公式:A是椭圆 + 2 2 = 1 a> b> 0 上一点,F1、F2是左、右焦点,∠AFa b 1F2为 αa,2 2AB过 F1,c是椭圆半焦距,则 (1) AF1 = b a ccosα;(2)b BF = 1 a+ ccosα;(3) AB = 2a b 2 2 2 2 .a c cos α2 24a体面积:SΔABF = A B h = 1 2a b 2 2 2 2 2 2csinα= 2 a b cs in α 2 a c cos α a2 c2 2 ,cos α= A B hS 22 = ab c s in α ΔACB 2 a2 c2 .cos2α证明:(1)如图所示, AF1 + AF2 = 2a; BF1 + BF2 = 2a,故 AB + AF2 + BF2 = 4a;(2)设 AF1 =m; BF1 =n; AF2 = 2a-m; BF2 = 2a-n;由余弦定理得2m2+ 2c 2- 2a-m 2= 2m 2c cosα;整理得 AF = b 1 a- ccosα2n2+ 2c 2- b 2a-n 2= 2n 2c cos 180°- α ;整理得 BF = 1 a+ ccosα2则过焦点的弦长 AB =m+n= 2a b = 2a b 2 a2- c2cos2α b2+ c2sin2 .(焦长公式 )α2 y2 2 2焦比定理:过椭圆 x + = 1的左焦点 F 的弦 AF = b ,BF = b2 2 1 1 a ccosα 1 a b a+ ccosα,2ab2 AB = a2 令 AF = λ F B ,c2cos2α 1 1 b 2 λb 22即 = λ+ecosα= λ - 1 ,代入弦长公式可得 AF = 1 b a- ccosα a+ ccosα λ+ 1 1 2a二:双曲线的焦点三角形问题2周长问题:双曲线 x2- y2 2 = 1 (a> 0,b> 0)的两个焦点为F1、F2,弦AB过左焦点F1(A、a bB都在左支上), AB = l,则ΔABF2的周长为 4a+ 2l (如图1)图1 图2 图3焦长公式:2(1)当AB交双曲线于一支时,|AB| = 2a b 2- ,a2- c2cos2α> 0 1< e< 1 (2);a c2cos2α cosα2(2)当AB交双曲线于两支时,|AB| = 2a b ,a2- c2cos2α< 0 e> 1 c2cos2α- a2 cosα (图3).双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致:2令 b λb2 AF = λ F B ,即 1 1 a- ccosα = a+ ccosα ecosα= λ - 1λ+ 1 λ> 1 ,= λ + 1 b2 2 2代入弦长公式可得 AF1 2a .若交于两支时, b ccosα- a = λb a+ ccosα ecosα=2 λ + 1λ- 1 λ> 1 λ- 1 b ,代入弦长公式可得 AF = 1 2a .·70·三:抛物线焦长公式及性质p p1. AF = 1 cosα, BF = 1+ cosα. 小 课 堂2p2. AB = x1+ x2+ p= .sin2αp23.S ΔAOB= 2sinα. A F 4.设 = λ,则 cosα= λ 1 ; AF = λ + 1 p. BF λ+ 1 2 A F = BF 5.设AB交准线于点P,则 cosα; = cosα. PA PB 关于抛物线 x2= 2py的焦长公式及定理(A为直线与抛物线右交点,B为左交点,α< 90 为AB倾斜角)1. AF = p 1 sinα; BF = p 1+ sinα= + + = 22. AB y y p p 1 2 cos2αp23.S ΔAOB= 2cosα;4.设 A F = λ,则 sinα= λ 1 ;AF = λ + 1λ+ 1 2 p BF AF BF 5.设AB交准线于点P, = sinα; = sinα. PA PB ·71·小 课 堂 附:极点与极线探秘一:极点和极线的定义作为射线几何学的奠基人之一的法国数学家笛沙格 (G.Desargues,1591- 1661),他于 1639年在《椭圆曲线论稿》中正式阐述了极点与极线的定义.一 极点和极线的定义 (代数定义 )已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F = 0,则称点P(x0,y0)和直线 l:Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.x + x以上代数定义表面,在圆锥曲线方程中,以 x x替换 x2,以 0 0 2 替换 x(另一变量 y也是如此 ),即可得到点P(x0,y0)的极线方程.特别的:2 2 y y(1) x + y x x对于椭圆 2 2 = 1 a≠ b ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 0 + 0a b a2 b2= 1;y y 2当P( x xx0,y0)为其焦点F(c,0)时,极线 0 + 02 2 = 1变成 x= aa b c,恰是椭圆的右准线.2 2 y y(2)对于双曲线 x2 y2 = 1,与点P(x0,x xy )对应的极线方程为 0 0a b 0 a2+ 2 = 1b2当P(x , xy )为其焦点F(c,0)时,极线 0 x y 0y a0 0 a2 b2= 1变成 x= c ,恰是双曲线的右准线.(3)对于抛物线 y= 2px2,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 y0y= p(x0+ x).p p当P(x0,y0)为其焦点F( 2 ,0)时,极线 y0y= p(x0+ x)变为 x= 2 ,恰为抛物线的准线.二: 极点与极线的作图 (几何意义 )如图 1,P是不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线依次交圆锥曲线与四点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则直线MN 为点P对应的极线.MP PEB MFN GA NH图 1 图 2如图 2,同理可知PM 为点N 对应的极线,PN 是点M 对应的极线.△MNP称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线与点A,B,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.三:极点与极线的性质定理 1 (1)当点P在圆锥曲线Γ上时,其极线时曲线Γ在点P点处的切线;当点P在Γ外时,其极线 l时曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线 (即切点弦所在的直线 );当点P在Γ内时,其极线 l时曲线Γ过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹.证明 (1)假设同以上代数定义,对 Γ:Ax0x+Cy0y+ 2D(x0+ x) + 2E(y0+ y) + F = 0的方程,两边对 x求导得 2Ax+ 2cyy + 2D+ 2Ey = 0,解得 y = A x + D Cx+E ,于是曲线 Γ在P点= A x + D = Ax处的切线斜率 k ,故切线 l的为 y y 0 + D Cy+E 0 Cy +E (x x0),化简得,Ax0x+0Cy y Ax2 Cy2+Dx+ Ey Dx Ey = 0,又点P(x ,y )在曲线 Γ上,故有Ax2+Cy20 0 0 0 0 0 0 0 0+2Dx0+ 2Ey0+F = 0,从中解出Ax2 20+Cy0,然后代入前式可得曲线 Γ在P点处的切线 l的方程为Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0.根据代数定义,此方程恰为点P(x0,y0)的极线方程.·72·设过点P所作的两条切线的切点分别为M(x1,y1),N (x2,y2),如图 2,则由 (1)知,在点M,N 处的切线方程分别为Ax1x+Cy1y+D(x1+ x) +E(y1+ y) +F = 0和Ax2x+Cy2y 小 课 堂+D(x2+ x) +E(y2+ y) +F = 0,又点P在切线上,所以有Ax0x1+Cy0y1+D(x0+ x1) +E(y0+ y1) +F = 0,Ax0x2+Cy0y2+D(x0+ x2) +E(y0+ y2) +F = 0,观察这两个式子,可发现点M(x1,y1),N (x2,y2)都在直线Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0上,又两点确定一条直线,故切点弦MN 所在的直线方程为Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0.根据代数定义,此方程恰为点P对应的极线方程.Q P ylT MA QP QS l O F xB N图 3 图 4 图 5设曲线 Γ经过P(x0,y0)点的弦的两端分别为 S(x1,y1),T(x2,y2),如图 3,则由 (1)知,曲线在这两处的切线方程Ax1x+Cy1y+D(x1+ x) +E(y1+ y) +F = 0,Ax2x+Cy2y+D(x2+ x) +E(y2+ y) +F = 0,设两切线的交点为Q(m,n),则有Ax1m+Cy1n+D(x1+m) +E(y1+n) +F = 0,Ax2m+Cy2n+D(x2+m) +E(y2+n) +F = 0,观察这两个式子,可发现点 S(x1,y1),T(x2,y2)都在直线Axm+Cyn+D(x+m) +E(y+ n) + F = 0上,又两点确定一条直线,故直线 ST的方程为Ax1m+Cy1n+D(x1+m) +E(y1+ n) +F = 0.又直线 ST过点P(x0,y0),所以Ax0m+Cy0n+D(x0+m) +E(y0+n) +F = 0.这意味着点Q(m,n)在直线Ax0m+Cy0n+D(x0+m) +E(y0+n) +F= 0.所以,两切线的交点的轨迹方程式Ax0x+Cy0y+D(x0+ x) +E(y0+ y) +F = 0.根据上述几何定义个性质可知,当曲线为圆或椭圆时,若极点在曲线外,则极线与曲线相交有两个共同点;若极点在曲线内,则极线与曲线相离没有公共点;若极线与曲线相交,则极点在曲线外;若极线与曲线相离,则极点在曲线内.若过极线 l上一点Q可作Γ的两条切线,M,N 为切点,则直线MN 必过极点P.定理 2(配极原则 )点P关于圆锥曲线 Γ的极线 p过点Q 点Q关于 Γ的极线 q经过点P;直线 p关于Γ的极点P在直线 q上 直线 q关于Γ的极点Q在直线 p.由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.定理 3 如图 4,设点P关于圆锥曲线 Γ的极线为 l,过点P任作一割线交 Γ于A,B两点,交 l于点Q,则 P A = Q A PB QB ①.反之,若①式成立,则称点P,Q调和分割线段AB,或称点P与点Q关于Γ调和共轭.点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点的轨迹是一条直线,这条直线就是点P的极线.定理 2和定理 3的证明,在高等解析几何教材中都能找到,在此均省略.定理 4 :如图 5,设圆锥曲线Γ的一个焦点为F,与F相应的准线为 l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M ,N 两点,则Γ在M ,N 两点处的切线的交点Q在准线 l上,且FQ⊥MN ;若过准线 l上一点Q作圆锥曲线 Γ的两条切线,切点分别为M ,N,则直线MN 过焦点F,且FQ⊥MN;·73·若过焦点 F的直线与圆锥曲线 Γ相交于M ,N 两点,过 F作 FQ⊥MN 交准线 l于Q,小 课 堂则连线QM ,QN 是圆锥曲线Γ的两条切线.注意:极点与极线一般在小题中直接用很爽,但是在大题中,由于不在中学的课本范围内,基本上都无法直接使用,那么解答题中我们只给出思路,很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法,曲线系写法或者定比点差写法.附:定比点差法原理 定比分点:若 AM = λMB,则称点M 为 AB的定比分点,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则M : x 1+ λx 2 y + λy, 1 21+ λ 1+ λ 若AM = λMB且AN =-λNB,则称M,N 调和分割A,B,根据定义,那么A,B也调和分割M,N . 定理:在椭圆或双曲线中,设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在 P,Q两点,满足AP x x y y= λPB AQ= λQB P Q P Q, ,一定有 ± = 1a2 b2 y + λy证明:若A(x1,y1),B(x + λxx ,y ), AP= λPB,则P : 1 2 , 1 22 2 1+ λ 1+ λ x2 y2 1 1 x 1 λx 2 y λy ± = 1 ①AQ= λQB Q : , 1 2 a2 b2则 1 λ 1 λ ,有 2 2 2 2 ①—②得: λ x 2 ± λ y 2 2a2 b2= λ ② (x 1+ λx 2) ( x1 λ x2 ) (y 1+ λy ) (± 2 y1 λ y2 ) = 2 1 x 1+ λx 2 x 1 λx 2 1 y1 +1 λ 即 ± λy 2a2 b2 a2 1+ λ 1 λ b2 1+ λ y 1 λy 2 x x= 1 P Q ± yP y Q1 λ 2 2 = 1a b附:圆锥曲线斜率和与积问题平移构造齐次式2 y2已知点P(x0,y0)是椭圆 x + 2 2 = 1(a> b> 0)上的定点,A,B是椭圆上的两个动点。a bx b2(1)若直线 k 0 PA+ kPB= λ,则直线AB过定点;当 λ= 0时,kAB为定值 2 ;y0a2 y(2)若 kPA kPB= λ,则直线AB过定点;当 λ= b2 时,kAB为定值 0 ;a x0 (x + x2 0) (y + y 0)2证明 将椭圆C按向量PO x , y 平移得椭圆C : + 0 0 2 2 = 1a b2 2 2 y2又点P x0,y xy0 在椭圆 x - 0 0a2 b2= 1上,所以 2 + 2 = 1,a b代入上式得 x2 2 2y2 + y + 2 x 02 x+ 0 y= 0 ①。a b a2 b2椭圆C上的定点P x0,y0 和动点A,B分别对应椭圆C 上的定点O和动点A ,B ,设直线x2 y2 + = + + 2 x 02yAB 的方程为mx ny 1,代入①得 2 2 2 x+ 02 y mx+ny = 0。a b a b当 x≠ 0时,两边除以 x2得. 1 + 2 y0 n y2 2y m+ ( 2x 0 n + 0 ) y + 1 + 2 x 0m = 0,因为点A 2 2 2 2 x 2 ,B 的坐标满足这个方程,b x a b ay所以 kOA ,kOB 是这个关于 x 的方程的两个根.(1)若 kPA+ kPB= λ,由平移性质知 kOA + kOB = λ,2 2所以 k + k = 2 b x 0n 2 a y 0m OA OB 2 = λ,当 λ= 0时,所以-2b2x0n- 2a2ya 1+ 2y n 0m= 0,0·74·m x 2 2 2由此得 k = = 0b x b x bA'B' n 2 。所以AB的斜率为定值 0 2 ,kAB为定值 0 ;y0a y0a y20a 小 课 堂2即-2b2 2 2 2 2y 2b xx 0 00n- 2a y0m= λa + 2a λy0n ∴- λ m- - 2y n= 1,λa2 0 2y 2由此知点 0 , 2 b x 0λ 2 2y0 在直线A B :mx+ny= 1上,λa2y 2b2x从而直线AB过定点 x0 0λ , 02 y0 .λa b2 1+ 2x m若 kPA k 0 PB= λ,由平移性质知 kOA kOB = λ,所以 kOA kOB = = λ,a2 1+ 2y0n 若 λ= b2 1 + 2 x 2,则 0m y2 1+ 2y n = 1 k=- mn =- 0x ;当 λ≠ b 时,a 0 0 a22b2 2即 b2+ 2b2x m= λa2 x-2a y+ 2a2λy n,∴ 0 0 λ0 0 λa2- b2m+ n= 1,λa2- b22 2 b x2由此知点 0 2 a y0 λ2 2 , λa b λa2 2 在直线AB :mx+ny= 1上,b从而直线AB过定点 λa 2 + b 2 x , λa 2 + b 2 yλa2 b2 0 λa2 b2 0 双曲线斜率和与积的问题一般式推广(知道即可,方法和椭圆一样)2 2已知点P( yx0,y )是双曲线 x - 0 2 2 = 1(a> 0,b> 0)上的定点,A,B是椭圆上的两个动点。a b2y 2x b2(3)若 kPA+ kPB= λ,则直线AB过定点 x 0 , y + 0 0 λ 0 λa2 ;2当 λ= 0时,k 为定值 x 0b AB y 20a2 2(4)若 k k = λ,则直线AB过定点 λa b x , λa 2 b 2PA PB λa2+ b2 0 λa2+ b2 y0 ; b2 y当 λ= 0a2时,kAB为定值 x0抛物线斜率和与积的问题一般式推广已知点P(x0,y0)是抛物线 y2= 2px上的一个定点,A,B是抛物线上的两个动点。2y 2p(1)若 kPA+ kPB= λ,则直线AB过定点 x 0 , y + 0 λ 0 λ ;当 λ= 0时,kAB为定值 py ;02p(2)若 kPA kPB= λ,则直线AB过定点 x0 λ , y0 ;附:圆锥曲线统一的极坐标方程一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以准焦距 p和离心率 e来表示常量,以极径 ρ和极角 θ来表示变量 .ρ≥ 0,θ∈ [0,360o)以焦点F(0,θ)为极点 (原点O),以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系 . 故准线是到极点距离为准焦距 p、且垂直于极轴的直线 L.极坐标系与直角坐标系的换算关系是:ρ= x2+ y2 y,θ= arctan x或者:x= ρcosθ,y= ρsinθ特别注意:极坐标系中,以焦点为极点 (原点 ),而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程 .·75·如图,O为极点,L为准线,则依据定义,到定点 (极点 )和到定直线 (准线 )的距离之比为小 课 堂定值 (定值 e)的点的轨迹为圆锥曲线 .所以,对极坐标系,请记住:⑴ 极坐标系的极点O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点;⑵ 曲线上的点P(ρ,θ)到焦点F的距离是 ρ,到准线的距离是 p+ ρcosθ,根据定义:e= ρ p+ ρcosθ 即:ep+ eρcosθ= ρ,ep即:ep= ρ- eρcosθ, 即:ρ= 1- ecosθ ①这就是极坐标下,圆锥曲线的通式 .⑶对应不同的 e,呈现不同的曲线 .对双曲线,只是右边的一支;对抛物线,开口向右 .二、极轴旋转 180o将极轴旋转 180o,α和 θ分别对应变换前后的极角,即转角为 θ= α+ 180o,ep ep则极坐标方程变换前方程为:ρ= 1- ecosα ,变换后方程为: ρ= 1+ ecosθ ②此时的极坐标系下,此时有:⑴ 极坐标系的极点O是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点;⑵ 对应不同的 e,呈现不同的曲线. 对双曲线,只是左边的一支;对抛物线,开口向左.三、极轴旋转 90o⑴将极轴顺时针旋转 90o,即:θ= α+ 90o,则情况如图.= e p圆锥曲线的方程为:ρ 1- esinθ ③此时的极坐标系下:对应于直角坐标系下,焦点在 y轴的情况,且极点O对应于椭圆下方的焦点,双曲线上方的焦点,抛物线的焦点.对双曲线,只是 y轴上边的一支;对抛物线,开口向上.⑵如果将极轴逆时针旋转 90o,即:θ= α- 90o,则情况如图.圆锥曲线的方程为:ρ= e p 1+ esinα 4此时的极坐标系下:对应于直角坐标系下,焦点在 y轴的情况,且对应于椭圆上方的焦点,双曲线下方的焦点,抛物线的焦点.对双曲线,只是 y轴下边的一支;对抛物线,开口向下.四、坐标变换ep⑴在极坐标系中,圆锥曲线的通式为:ρ= 1- ecosθ ①即:ρ- eρcosθ= ep,即:ρ= ep+ eρcosθ即:ρ2= (ep+ eρcosθ)2= e2p2+ e2(ρcosθ)2+ 2e2p(ρcosθ) ②将 ρ2= x2+ y2,ρcosθ= x代入②式得:x2+ y2= e2p2+ e2x2+ 2e2px 即:(1- e2)x2- 2e2px+ y2= e2p2 ③当 e≠ 1时( - 2) [ 2- e2p e2p 2有:1 e x 2 x+ ( )2]+ y2= e2p2+ (1- e2) ( e p )21- e2 1- e2 1- e22 2 2 2即:(1- e2) (x- e p 2 2 2 2 e e p 1- e2 ) + y = e p (1+ )=1- e2 1- e2e2(x- p 2 )2 y2即: 1- e + 2 2 2 2 = 1 ④ e p e p (1- e2)2 1- e2·76·< 2= e2 p2 2 2 2⑴当 e 1时,令 a e,b2= p ,c= e p (1- e2)2 1- e2 1- e2小 课 堂2 2 2 2 2 2 42- 2= e p - e p = e p [ e p2则:a b ( - 2)2 - 2 ( - 2)2 1- (1- e2)]= 1 e 1 e 1 e (1- e2)2e2p 4 2而:c2= ( )2= e p = a2- 2 ( - 2)2 - b21 e 1 e(x- c)2 y2代入④式得: + = 1 ⑤a2 b2这是标准的椭圆方程.e2p2 e2p2 e2⑵当 e> 1时,令 a2= ( ,b2= p e2- 1)2 e2- ,c=1 e2- 1e2p2 e2 2 2 2 4 2则:a2+ b2= + p = e p ( 2- )2 2- ( 2- )2 [1+ (2- )]= ee 1 p e 1 e 1 e 1 (e2- 1)22 4 2而:c2= ( e p )2= e p = a2+ b2e2- 1 (e2- 1)2 (x + c)2 y2代入④式得: - = 1 ⑥a2 b2这是标准的双曲线方程.⑶当 e= 1时,由③式 (1- e2)x2- 2e2px+ y2= e2p2得:-2px+ y2= p22= + 2= ( + p即:y 2px p 2p x 2 )即:y2= 2p(x+ p2 ) ⑦这是标准的抛物线方程.·77· 展开更多...... 收起↑ 资源预览