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小 课 堂
几何
第一部分 平面向量
向量数量积中的 不是乘法 向量及其运算
★ 1、向量的基本运算
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
B

OA+OB=OC 记OA= x1,y1 ，OB= x2,y2 C
则 OA+OB = x1+ y1,x2+ y2
O A OA-OB=BA OB -OA= x2- x1,y加减法 2- y1
设 a= x1,y1 ,b= x2,y2 ，则：B
OA+AB=OB a + b= x1+ x2,y1+ y2
O A a

b= x1 x2,y1 y2
实数与 a
向量的 AB= λa=
λ∈R 记 a= x,y ，则 λa= λx ,λyb λa 1 1
乘积

向量数 a b= a 记 a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则
量积
b cos a,b a b= x1x2+ y1y2
a

θ cosθ= a b

设 a= x1,y1 ,b= x2,y ，则：
向量夹角 a
2
b × b x x + y ycosθ= 1 2 1 2
x2+ y2 21 1 x2+ y22
|a | = (a )2

a a± b = a± 2b
向量模长
= |a
| = x2+ y2
a 2± 2a

b+ 2b
※ 2、极化恒等式
(1) a

b a b= 1 a
2 2
概念：设 、 是两个平面向量，则有恒等式： 4 + b - a
- b
(2)几何意义：向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 14 .

a b= 1 AD 24 - BC
2
(3)空间几何与极化恒等式：在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点
O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：

①PA2+PC 2=PB2+PD2 ； ② PA PC =PB PD.
C D
M
A B
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向量的位置关系
小 课 堂
★ 1、平面向量基本定理

如果两个向量 a、b不共线，那么向量 p与向量 a、b共面的充要条件是：存在唯一实

数对 x、y，使 p= xa+ yb。

由此，可得下列结论：对空间任意两个向量 a、b， a//b（共线） 存在实数 λ使 a= λb．
2、共线问题

（1）P、A、B三点共线 AP AB AP= tAB OP= (1- t)OA+ tOB.
证明方法：

坐标方法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)三点共线，则：AP= λPB，
x= x1+
λx 2 1+ λ O A + λO B + OP= 1+ λ OP= tOA+ (1 t)OB 其中：t=
1
y
y= 1 λy 2 1+ λ
.
1+ λ
(2)定理应用：平面上O，A，B三点不共线，D在直线AB

O
上，且AD= λAB,令OA= a，OB= b，OD= x ，则有
a

x b
x = λb+ (1- λ)a .其表达意思就是从一个顶点O引出三
λ 1- λ
个向量，且它们共线，每一个向量 a，b分别乘它对面的比值. A D B
※ 3、等和线

平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP= λOA OB , R ，
若点 P在直线 AB 上或平行于AB的直线上，则 k (定值 ) ,反之也成立，

O Q 把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线. k=
OP
①当等和线恰为直线 AB 时， k 1 ；
B
②当等和线在O 点和直线 AB 之间时,k 0,1 ； B
P
③当直线 AB 在O 点和等和线之间时,k 1, ； P
O A A
④当等和线过O 点时， k 0；
★ 4、平面向量的平行与垂直
位置关系 平行（共线） 垂 直

a a
图 示
b b

符号语言 =

b λa a b= 0
坐标语言 x1y2 x2y1= 0 x1x2+ y1y2= 0
记忆口诀 交叉相乘差为零 对应相乘和为零
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小 课 堂 向量法研究三角形性质 A
c b
1、三角形基础知识：在△ABC中，记角A、B、C所对的边长为：a、b、c
（1）内角和定理：A+B+C = π B a C
(2)大边对大角，大角对大边，即：A>B a> b,等边对等角，即B=C b= c
a+ b> c
(3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即： a- b< c
2、三角形常用三心：设O为ΔABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为 a,b,c，则
★ (1)重心：
①概念：三角形三条边中线的交点. A

②重心向量表达：O为ΔABC的重心 OA+OB+OC = 0. c b
③重心的性质： O
B a C
1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰ 1.
2)重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等.
) x + x + x
y + y + y
3 ΔABC中A(x ,y )、B(x ,y )、C(x ,y ),重心的坐标是G( 1 2 3 , 1 2 31 1 2 2 3 3 3 3 )
★ (2)内心： A
①概念：三角形内切圆圆心.三内角角平分线交点. c b

②内心向量表达：O为ΔABC的内心 aOA+ ObOB+ cOC = 0.
B a C
③内心的性质：1)内心到三角形边的距离相等
2)三角形面积与内切圆半径关系：SΔ= 12 Cr=
1
2 (a+ b+ c)r
★ (3)外心：
A
①概念：三角形外接圆圆心.三条边垂直平分线交点.
2 2 ②外心向量表达：O为ΔABC的外心 OA =OB =OC2. c b
O
③外心的性质：1)外心到三角形三顶点的距离相等 B a C
2)三角形面积与外接圆半径关系：S = a b cΔ 4r
3、特殊三角形
（1）等腰等边三角形
A
等腰等边三角形三线合一：中线、高线、角平分线合为一条线。
α α
（2）直角三角形
1 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2 在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长 B 中点 C
的平方。
45°
60°
2 1 2 3 5 1 1
1
3 30° 1 45° 4 30° 30°
3
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附：奔驰定理与向量四心 :
奔驰定理：已知点 小 课 堂O是 ΔABC 中的任意一点，则 :

SΔBOC OA+SΔAOC OB+S△AOB OC = 0
三角形的四心向量表达：(旁心不做要求 )

(1)已知点 O为 △ABC 的重心，则 OA+OB+OC = 0

(2)已知点 O为 ΔABC 的外心，则 sin2A OA+ sin2B OB+ sin2C OC = 0

(3)已知点 O为 △ABC 的内心，则 a OA+ b OB+ c OC = 0

(4)已知点 O为 △ABC 的垂心，则 tanA OA+ tanB OB+ tanC OC = 0

极化恒等式 : a b= 1 (a + b)2- (a - b)24

(1)平行四边形模式 : a b= 1 |AC|2- |DB|24 D C
(2)三角形模式 : b M
在右上图的三角形 ABD中 (M 为BD中点 ).

A B
因为AC = a2AM， 所以 a b= |AM |2- 1 24 |DB|
极化恒等式之矩形大法
如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，
有以下两个重要的向量关系：
①PA2+PC 2=PB2+PD2 ；

② PA PC =PB PD.
2
证明：①连接PO，根据极化恒等式 a2+ b2= 2 a + b + a - b
2
2 2 ，
2
可得PA2+PC 2= 2 PO2+ A C 2 24 =PB +PD ；
2
②根据极化恒等式 a b= a + b - a - b
2
2 2 ，
2
可得PA PC =PO2- A C 4 =PB PD
推广到空间，得到的结论就是：
底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．
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