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第二单元20以内的退位减法
单元解读
本单元主要包括20以内的退位减法和利用相关计算解决简单实际问题两部分内容。20以内的退位减法是进一步学习多位数减法，小数加、减法以及除法计算的基础。本单元重在让学生经历探索20以内退位减法的算理和算法的过程，理解算理，归纳并掌握算法。学生在算法多样化的基础上逐步体会“想加算减”的优越性，实现算法优化，进一步体会“退位”的计算本质以及加、减法之间的关系。本单元让学生运用减法解决生活中的简单问题，基于减法的意义，结合直观图理解“求未知加数”问题中的数量关系，提高分析问题、解决问题的能力。同时，引导学生根据问题提取有效信息，排除多余条件，积累解决问题的经验。通过本单元的学习，发展学生初步的数感、运算能力、推理意识、模型意识和应用意识。
根据《课程标准(2022年版)》的要求及教材设计的内容，本单元的学习目标有以下几方面。
1.在具体情境中，通过操作、观察、分析等活动探索并理解20以内退位减法的算理，掌握算法，并能正确计算，进一步理解“退1当十”的十进制思想和加、减法之间的关系，发展数感，形成初步的运算能力。
2.经历自主探究、同伴交流算法的过程，体会计算方法的多样化，在算法比较中主动优化，并通过说理发展初步的推理意识。
3.在利用减法的意义解决问题的过程中，能用画图的方式表征已知信息和问题，通过分析部分与整体间的数量关系，进一步理解减法是加法的逆运算，形成初步的模型意识。
4.知道问题中可能有多余条件，能根据问题提取有效信息，积累解决问题的经验，发展应用意识。
5.感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
20以内的退位减法是第一学段的重要内容，是在学生掌握了20以内数的认识，20以内的加法和不退位减法，连加、连减、加减混合等内容的基础上进行学习的，是后续学习100以内的加、减法和多位数加、减法等更复杂的四则运算的重要基础。
(一)整体安排与结构
本单元包括两部分内容：20以内退位减法的计算，用20以内退位减法解决实际问题。
20以内退位减法的计算包括：十几减9,十几减8、7、6,十几减5、4、3、2。内容逐层递进，算法逐步优化。在探索计算方法的过程中，教材借助小棒、“枝形图”、分步算式等形式帮助学生理解不同方法的计算过程，形成初步的运算能力和推理意识。
用20以内退位减法解决实际问题，安排的是用减法解决“求未知加数”的实际问题，并隐含了多余条件。要求学生在分析数量之间关系的基础上，根据问题选择有效的信息，并基于运算的意义选择合适的运算加以解决，形成初步的模型意识和应用意识。
本单元的整体结构如下图。
“十几减9”和“十几减8、7、6”都属于减数比5大的情况。教材通过“十几减9”呈现“连减法”“破十法”“想加算减”等多样化的方法，引导学生自主探索，积累活动经验，初步体会“想加算减”的优势。“十几减8、7、6”则在迁移“十几减9”学习经验的基础上，引导学生进一步体会“想加算减”可以用一个加法算式同时计算两个减法算式的优势。“十几减5、4、3、2”是减数不超过5的情况，鼓励学生自主选择喜欢的方法进行计算。
在学生比较熟练地掌握20以内退位减法计算的基础上，再编排利用减法运算解决“求未知加数”的实际问题，引导学生根据减法的意义理解问题中的数量关系，利用运算解决问题。
(二)教学重点与难点
本单元的教学重点是：
1.引导学生在自主探索的基础上正确计算20以内的退位减法，在此过程中体会“退1当十”的十进制思想，感悟加、减法之间的关系，发展运算能力。
2.让学生运用画图的策略分析现实情境中的数量关系，根据减法的意义解决简单的实际问题，体会减法是加法的逆运算，积累解决问题的经验，形成初步的模型意识和应用意识。
本单元的教学难点是：
1.引导学生在实物操作、直观图演示的基础上尝试用自己的语言表达退位减法的计算过程，如“连减法”“破十法”的两步思考过程。
2.引导学生将“求未知加数”实际问题的数量关系用“从总数里去掉一部分的数量，剩下的就是另一部分的数量”的语言表达出来，进一步理解使用减法计算的道理。
(三)课时安排
建议用10课时完成本单元的学习，具体课时如下。
1.十几减9………………………………………………………………………2课时
2.十几减8、7、6……………………………………………………………3课时
3.十几减5、4、3、2…………………………………………………………1课时
4.解决实际问题………………………………………………………………………………2课时
5.整理和复习……………………………………………………………………………2课时
本单元的编排与“20以内的进位加法”基本一致，仍是以计数单位的转化为核心，引导学生结合具体情境理解减法的含义及加、减法之间的关系，体会数概念和数的运算之间的内在关联。通过多种方式帮助学生理解20以内退位减法的算理，掌握算法，形成初步的运算能力，发展数感和推理意识。通过解决生活中的实际问题，引导学生发现并表达其中的数量关系，发展初步的模型意识和应用意识。
1.通过实物操作、直观图示、符号表达等多种形式，帮助学生理解算理并掌握算法
本单元的计算例题延续了“20以内的进位加法”的编排特点，依然通过多种表征方式，让学生经历实物操作一直观图示—符号表达的基本过程，帮助学生感悟当被减数的个位不够减时，需要将十位上的1个十转化成10个一，从而更深刻地理解十进制和位值制的原理。例如，在“十几减9”的编排中，教材先通过“送气球”的情境，根据减法的意义列出算式15-9,然后借助动手操作，通过摆小棒直观呈现“连减法”和“破十法”的思考过程，帮助学生通过动手操作理解算理。学生在解决“要从1捆小棒和5根小棒里去掉9根”的问题时，面临的困难是“5根不够减”,从而产生“要把1捆小棒拆开，变成10根小棒”的需求。如果先去掉单独的5根，再从拆开的1捆里去掉4根，就是“连减法”,如果是从拆开的1捆里直接去掉9根，就是“破十法”,这两种方法都是学生在学习时会自然产生的方法。在操作的基础上，教材又用“枝形图”表示出“连减”和“破十”的口算过程，将小棒的操作过程直观呈现出来。最后，在学生充分理解算理的基础上，再将“枝形图”的思
路用分步算式的形式呈现出来。在此之前，学生已经具备了10以内的连加、连减、加减混合的知识基础，学会了两步思考的方法。到本单元，可以尝试着将“连减法”“破十法”中的两步思考过程用抽象的算式表示出来，但由于涉及的数比之前更大，因此，教材采用分步的方式呈现，适当降低了难度，便于学生掌握。而“想加算减”通过让学生直接想加法算式中的未知加数来进行减法计算，抽象程度更高，为后面解决“求未知加数”的实际问题做了必要的准备。
2.在算法多样化的基础上逐步优化，突出“想加算减”的计算方法，加强加、减法之间的关联
本单元的例题在编排上层次分明，体现了不同的侧重点。例1是学生第一次接触20以内的退位减法，以学生探索多样化算法的算理为主，重点呈现“连减法”“破十法”和“想加算减”三种不同的计算方法。在这三种方法中，“连减法”和“破十法”都需要多步思考，过程相对复杂，虽然有10以内的连加、连减、加减混合作为基础，但对学生而言仍有不小的难度。相比较而言，“想加算减”的计算方法则简捷省时，只要学生对20以内的进位加法掌握得足够熟练，就可以通过回忆相关加法，根据加、减法之间的关系直接得出减法算式的结果。由于“破十法”和“想加算减”是更为一般的方法，因此，例2和例3继续呈现这两种计算方法，引导学生在例1的基础上迁移类推，熟练掌握相关算法，并通过例3重点突出“想加算减”的方法可以利用一个加法算式同时计算两个减法算式的特点，使学生体会这一方法的便捷性。例4则通过“你是怎样计算的 ”体现更大的开放性，鼓励学生用自己喜欢的方法算出结果。在整体编排上，这些例题层层递进，帮助学生逐步实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，既遵循了儿童认知发展的规律，又促进了学生的自主迁移，既尊重了学生的多样化思维，又凸显了教学的引导作用，使学生基于算法多样化逐步实现算法的优化。
3.基于“计数单位的转化”和“分与合”,引导学生感悟数与运算的一致性
学生在前面学习20以内的数和进位加法时，就已经对十进制和位值制有了一定的感悟，知道个位上的数满十就要向十位进1,即把10个一变成1个十，这是低一级的计数单位向高一级的计数单位转化(也可称为“合”)的过程。而“退位”则是一个相反的过程，需要将高一级的计数单位向低一级的计数单位转化(也可称为“分”或“拆”),即把1个十变成10个一。无论是数数还是计算，都包含计数单位转化的过程，这体现了数概念与运算的一致性。
在之前的学习中，学生已经基于数的分与合通过直观的方式理解了加、减法的意义，掌握了加、减法的计算。本单元的学习实际上也是建立在“分与合”的基础之上的，只不过某些方法会涉及多次“分与合”。以15-9的计算为例：“连减法”实际上是先把15分成10和5,再根据“先减去5”想到要把9分成5和4,最后根据“还要减去4”再把10分成6和4,这一过程是比较复杂的；“破十法”同样要先把15分成10和5,再根据“要减去9”想到把10分成9和1,减去9后再把1和5合起来；“想加算减”是利用已有的进位加法的基础，直接把15分成了9和6,虽然过程简单，但对于学生的加法基础要求比较高。这种“分与合”的思想在“枝形图”中体现得较为充分，其直观的图示更便于学生理解哪一步是把一个数“分”成两个数，哪一步是把两个数“合”成一个数。这样的编排有助于学生更好地理解运算实际上是数的组成的一种更为抽象的数学表达，从而能从整体上感悟数与运算的一致性，进一步体会十进制、位值制等核心思想。
4.结合现实情境理解数量之间的关系，引导学生感悟减法是加法的逆运算
学生在前面的学习中已经会用减法解决一些简单的实际问题，主要是针对“从总数里去掉一部分，求剩余部分”的实际情境，如“原来有7只青蛙，跳走了2只，还剩几只 ”“原来有8只鹅，游走了3只，还剩几只 ”等。这些情境都是用“跳走”“游走”等动态的变化来表示“去掉”的过程，利于学生理解用减法解决这类“求剩余”问题的道理。本单元例5的问题情境与上述情境略有区别，描述的是“已知两部分的总数量和其中一部分数量，求另一部分的数量”的“静态”问题情境。要使学生明白这样的问题情境中数量之间的关系也符合减法的意义，就需要把数量之间的关系“翻译”成之前学过的“动态”问题情境。教材借助圆片图，使学生直观地看到“15把团扇”这个整体中包括红色团扇和绿色团扇两部分，从15把团扇的总数里“去掉”9把红色团扇的部分，剩下的就是绿色团扇的部分。这样就可以利用减法的含义让学生理解用减法计算的道理。通过解决这一问题，可以使学生体会到减法和加法都可以表示整体与部分之间的关系，加法表示的是已知各部分的数量，求整体的数量，而减法表示的是已知整体的数量和其中一部分数量，求另一部分数量，从而对“减法是加法的逆运算”有所感悟。
5.注重培养学生全面的问题解决能力
在用减法解决实际问题的编排中，教材继续让学生经历“阅读理解一分析解答一回顾反思”的问题解决全过程，全面提升学生的问题解决能力。在“阅读理解”环节，教材引导学生正确理解问题情境，明确情境中提供了哪些信息、要解决的问题是什么,并思考要解决这一问题需要用到哪些信息。在这一环节，学生需要找到问题情境中包含的“做团扇的人数”“红色团扇的数量”“绿色团扇的数量”“团扇总数”等数学信息，努力寻找条件与条件之间、条件与问题之间的关联，选择有效的信息解决问题。“分析解答”环节，则重在让学生用直观图示表征问题情境，分析数量之间的关系，并在此基础上将三个数量之间的关系用之前所学的“求剩余”问题中的语言描述出来，从而使学生认识到这类问题与“求剩余”问题的本质相同，都是从总数中去掉一部分，求另一部分，都可以用减法解决。在“回顾反思”环节，教材一方面提供检验解答结果是否正确的方法，使学生进一步理解加、减法运算之间的关系，感悟减法是加法的逆运算，另一方面通过对“做团扇的人数”这一信息的分析，帮助学生进一步理解条件与问题的关联性，增强选择有效信息解决问题的意识和能力。这种根据问题寻找合适条件的过程，也是对问题解决中“分析法”的初步渗透。
1.对20以内的退位减法进行单元整体设计，注重体现教学层次，全方位提升学生的运算能力
在对一年级部分数学课堂进行观察后发现，部分教师没有关注到知识前后的递进和衔接关系，导致课堂教学效率较低。本单元的计算内容包括四个例题，内容关联紧密，可将它们看成一个“单元”进行整体设计。在教学时，要注意突出每个例题的教学重点，体现教学层次。这种层次性一方面要体现在对本单元涉及的三种退位减法算法的不同处理方式上，既要让学生感受计算方法的多样性，理解每种算法的算理，也要通过引导逐步实现计算方法的优化；另一方面要体现在学生对计算方法理解的抽象程度逐渐提高上。
具体来说，教学“十几减9”时，应体现较大的开放性，放手让学生借助小棒操作进行自主探索，在学生探索的基础上自然地呈现多种计算方法。对于算理的理解，则只需要学生能够结合小棒操作的过程用自己的语言加以描述即可。在此基础上，教师可以带着学生将小棒操作的过程用“枝形图”、分步算式等更为抽象的方式表达出来并加以理解。对于“想加算减”的方法，学生或许并不能马上想到。可先结合小棒，使学生看到两部分小棒合起来是15根，再出示9+□=15,引导学生联想上学期所学的“一图四式”“一图三式”中加、减法算式之间的关系，利用加法算式来想相应减法算式的得数，进一步感悟两种运算的内在关联。
到了教学“十几减8、7、6”时，则应将教学重点放在让学生将“十几减9”的计算方法进行迁移类推上。仍然可以将小棒作为“脚手架”,但也要慢慢引导学生脱离小棒，学会“看着算式说算理”,教师根据学生说理的过程动态呈现“枝形图”或分步算式，使学生对算理的理解更加透彻。尤其是教学例3时，需要利用“一图三式”使学生感受用“想加算减”方法计算的优势，自觉采取“想加算减”的方法计算。
在教学“十几减5、4、3、2”时，由于学生已经积累了借助动手操作、直观图示理解算理的大量经验，可以鼓励学生脱离这些手段，自主选择适合自己的算法，快速、熟练地进行计算。虽然“想加算减”理论上是一种比较快捷的方法，但由于学生的思维方式各不相同，应允许学生有选择、调整算法的余地。
2.注意关联学生已有的知识和方法，引导学生学会利用旧知探索新知
除了关注本单元内部知识之间的关联，引导学生将“十几减9”的方法迁移类推到“十几减8、7、6”“十几减5、4、3、2”之外，还要注意将本单元内容与以前所学的内容联系起来。例如，“连减法”“破十法”都需要将1个十转化为10个一，计数单位的转化是以十进制、位值制这些核心概念作为支撑的，这些原理也是一年级上册20以内数的认识、20以内的进位加法等单元的学习要点，教学时要注意点明。又如，在学习“连减法”“破十法”时，会用到10以内数的分与合、加与减，11~19各数的组成，以及连加、连减、加减混合中的连续两步思考等知识，教学时也要有意识地指出来，使学生明白任何新知都可以通过综合运用以前学过的旧知来探索得到。在新知教学之前，可以对相关知识进行专项复习，如10的加、减法，10以内的连加、连减、加减混合，20以内的不退位减法(如15-5),为学习新知做好准备。在巩固练习时，也应注意同时练习20以内的连加、连减、加减混合(如15-5-4,10-9+5),使学生逐步适应两步思考的过程，提升运算能力。
对于用“枝形图”表示计算的过程，学生也在10以内数的认识和20以内的进位加法的学习中积累了较多的经验，能够看懂这种直观方法表示的过程，教学中要注意激活学生的这些已有经验。
3.加强知识之间的对比，在辨析、对比中进一步理解知识之间的内在关联
20以内的退位减法与20以内的进位加法联系紧密，在编排结构上也有对应性。教学时可以把两部分内容有意识地进行对比，让学生通过对比感悟减法是加法的逆运算。例如，进位加法要“凑十”,将10个一转化成1个十，而退位减法则包含相反的过程。尤其是在学习了利用一个加法算式可以同时计算两个减法算式之后，应尽可能多地安排这样的对照练习，使学生看到减法就主动去想加法。
本单元的实际问题着重于“求未知加数”,是“想加算减”的思路在实际应用中的体现。教学时，可以在学生解决了例5的问题后，出示“4个人做了9把红色团扇和6把绿色团扇，一共做了多少把团扇 ”“4个人要做15把团扇，已经做完了9把，还剩下几把没做 ”“4个人要做15把团扇，已经做完了一些，还剩下9把没做。做完了几把 ”等一系列问题。引导学生辨析、对比这些问题中的数量关系，进一步理解加、减法之间的关系，逐步形成“知道两部分的数量，求总数量，用加法计算”“知道两部分的总数量和其中一部分的数量，求另一部分的数量，用减法计算”的模型意识。
4.在提升学生运算能力的同时，注意把握好教学要求
通过本单元的学习，学生要逐步学会正确、合理、灵活、简捷地进行计算，提升运算能力。要实现这一目标，就需要引导学生理解算理、掌握算法，并通过适当的练习帮助学生巩固运算技能，但要注意把握好相关教学要求，具体要注意以下三点。
一是不要随意拔高要求。例如，“枝形图”和分步算式都是表达思考过程、帮助学生理解算理的方式，只需要学生能够看懂，并借助这样的方式学会多步思考即可，不要求学生完整地画出“枝形图”或写出分步计算的算式。
二是要允许学生选择自己喜欢的方法进行计算。在教学完本单元内容后，对部分一年级学生进行了调研。结果表明：一部分学生在计算时方法较为单一，只选用一种方法解决所有20以内退位减法的计算问题；也有一部分学生在计算减数是7、8、9这样较大数的算式时，更倾向于用“连减法”或“破十法”,在计算减数是6、4、3、2的算式时，更倾向于用“想加算减”的方法，在计算减数是5的算式时，方法呈现多样性。教学时，要尊重学生的这种思维差异，允许学生选择自己喜欢的方法进行计算。学生在后续的学习过程中，随着运算能力的逐步提高，或许会自觉采用“想加算减”的方法。
三是对计算速度的要求不宜过高。20以内的加、减法是后续计算内容的重要基础，要求计算正确率较高，速度较快。但由于本单元是学生第一次接触退位减法，应重点关注计算的正确率，计算速度可以在后续学习中逐步提高。

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