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专题1.3平行线五大题型（一课一讲）
（内容:平行线及其应用）
【浙教版】
题型一：平面内两直线的位置关系
【经典例题1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【答案】D
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，
故选：D．
【变式训练1-1】同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
【变式训练1-2】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
【答案】C
【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
，
故选：C．
【变式训练1-3】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故选：A．
【变式训练1-4】下面语句中，正确的是（ ）
A．永不相交的两条直线叫做平行线．
B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行．
C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行．
D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行．
【答案】C
【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意；
D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确；
②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确；
③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误．
∴说法正确的是①②．
故答案为：①②．
题型二：立体图形中平行的棱
【经典例题2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，
故选D．
【变式训练2-1】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
【答案】 ， ， ，
【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，
【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键．
【变式训练2-2】如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB．
【答案】 // ⊥
【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直.
故答案为∥，⊥.
【变式训练2-3】如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
【答案】棱，棱，棱．
【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱，
故答案为：棱，棱，棱．
【变式训练2-4】观察如图所示的长方体，回答问题：
（1）与线段平行的线段是 ；
（2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线．
【答案】 ，， 不是 同一平面
【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，，
故答案为：，，；
（2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线
故答案为：不是，同一平面．
【变式训练2-5】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行
【详解】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案为：CD、EF、GH；
（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．
故答案为：平行．
题型三：用直尺、三角板画平行线
【经典例题3】在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上．
(1)画线段，过点作的平行线；
(2)过点作的垂线，垂足为；
(3)若，则点到直线的距离为 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：线段，如图所示；
（2）解：垂线段如图所示；
（3）解：∵，，
∴点到直线的距离为；
故答案为：．
【变式训练3-1】妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线；
(2)过点画的平行线（点在格点上）；
(3)在射线上取一点，画线段．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，线段即为所求．
【变式训练3-2】如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
【变式训练3-3】如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
【详解】（1）
（2）
（3）
【变式训练3-4】如图，已知．
(1)过点画，垂足为；
(2)过点画，交于点．
【详解】（1）如图所示：
将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，
∴即为所求；
（2）如图所示：
用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E，
∴即为所求．
【变式训练3-5】如图，用三角尺或量角器画图：
(1)经过点A画直线的平行线；
(2)经过点C画直线的垂线；
(3)画点C到直线的垂线段．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线；
（2）解：如图，直线即为所求作的垂线；
（3）解：如图，线段即为所求作的垂线段．
【变式训练3-6】作图题
(1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是
(2)过点P作直线，，则三点共线，理由是
【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析
(2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析
【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图：
，
理由是：点到直线的距离，垂线段最短；
（2）过点P作直线，，
理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
题型四：平行线公理及其推论的应用
【经典例题4】下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．相等的角是对顶角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意；
B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意；
D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练4-1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
【变式训练4-2】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误．
垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确；
故选：D．
【变式训练4-3】已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是( )
甲：与直线l垂直的直线有且只有一条； 乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行；
丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行
A．甲对乙错 B．甲错乙对
C．甲对丙错 D．乙错丙对
【答案】D
【详解】解：已知直线l，在同一平面内，
与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误；
经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误；
若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确；
故选：D．
【变式训练4-4】生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【详解】解：∵与相交，，
∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
题型五：平行线与相交线中交点问题
【经典例题5】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　）
A．21个 B．22个 C．23个 D．24个
【答案】C
【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，

∴这6条直线最多有个交点，
∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，
∴这8条直线的交点个数最多为（个），
故选：C．
【变式训练5-1】同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个．
【答案】0或1/1或0
【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交，
即两条不重合的直线的交点有0或1个．
故答案为：0或1．
【变式训练5-2】（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数；
（2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______；
（3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系．
【答案】（1）见解析；交点的个数为0或1或2或3；（2）0或1或3或4或5或6个；（3）见解析
【详解】解：（1）如图，
交点的个数为0或1或2或3；
（2）如图，
所以平面上有4条直线，它们的交点个数可能为0或1或3或4或5或6个；
故答案为：0或1或3或4或5或6个
（3）如图，
【变式训练5-3】在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
【答案】见解析
【详解】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行，
有两种情况，分别如下∶
【变式训练5-4】在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
【详解】①如图所示，
，；
②如图所示，
，；
③如图所示，
，．
【变式训练5-5】平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示．
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专题1.3平行线五大题型（一课一讲）
（内容:平行线及其应用）
【浙教版】
题型一：平面内两直线的位置关系
【经典例题1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【变式训练1-1】同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【变式训练1-2】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
【变式训练1-3】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
【变式训练1-4】下面语句中，正确的是（ ）
A．永不相交的两条直线叫做平行线．
B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行．
C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行．
D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行．
【变式训练1-5】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号）
题型二：立体图形中平行的棱
【经典例题2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
【变式训练2-2】如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB．
【变式训练2-3】如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
【变式训练2-4】观察如图所示的长方体，回答问题：
（1）与线段平行的线段是 ；
（2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线．
【变式训练2-5】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
题型三：用直尺、三角板画平行线
【经典例题3】在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上．
(1)画线段，过点作的平行线；
(2)过点作的垂线，垂足为；
(3)若，则点到直线的距离为 ．
【变式训练3-1】妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线；
(2)过点画的平行线（点在格点上）；
(3)在射线上取一点，画线段．
【变式训练3-2】如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【变式训练3-3】如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
【变式训练3-4】如图，已知．
(1)过点画，垂足为；
(2)过点画，交于点．
【变式训练3-5】如图，用三角尺或量角器画图：
(1)经过点A画直线的平行线；
(2)经过点C画直线的垂线；
(3)画点C到直线的垂线段．
【变式训练3-6】作图题
(1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是
(2)过点P作直线，，则三点共线，理由是
题型四：平行线公理及其推论的应用
【经典例题4】下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．相等的角是对顶角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式训练4-1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【变式训练4-2】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练4-3】已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是( )
甲：与直线l垂直的直线有且只有一条； 乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行；
丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行
A．甲对乙错 B．甲错乙对
C．甲对丙错 D．乙错丙对
【变式训练4-4】生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
题型五：平行线与相交线中交点问题
【经典例题5】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　）
A．21个 B．22个 C．23个 D．24个
【变式训练5-1】同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个．
【变式训练5-2】（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数；
（2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______；
（3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系．
【变式训练5-3】在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
【变式训练5-4】在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
【变式训练5-5】平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
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