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浙江省台州市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若幂函数 ( ) = 经过点(2, √ 2)，则 (9) =( )
1 1
A. 81 B. C. 3 D.
81 3
2.已知函数 = ( )在区间[0,3]上的图象是一条连续不断的曲线，且 (0) = 1.1， (1) = 2， (2) = 1.5，
(3) = 2.35，则函数 = ( )在区间[0,3]上的零点至少有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.“ > 1， > 2”是“ + > 3”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的圆心角为1 ，面积为8，则扇形的弧长为( )
A. 8 B. 4 C. 8 D. 4
5.若 ∈ (0, )，2sin + cos = 1，则tan =( )
4 5 3 4
A. B. C. D.
5 4 4 3

6.将函数 ( ) = sin2 的图象向左平移 (0 < ≤ )个单位，得到的函数图象关于 轴对称，则 的值为( )
2

A. B. C. D.
6 4 3 2
7.设 = log64， = log86， = log96，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，
入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，
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sin
并满足 = 1.33(其中 是入射角， 是折射角).当入射角 (0 < < 80 )增加10 时，折射角 增加 ，则( )
sin
A. < 10 B. = 10 C. 10 < < 13.3 D. > 13.3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > 0，则下列不等式成立的是( )
1 1 +1
A. 2 > 2 B. 2 > 2 C. > D. <
+1
10.已知函数 ( ) = sin2 + cos2 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )的值域为[ √ 2, √ 2] B. 函数| ( )|的最小正周期为
3
C. ( )在[ , ]上单调递减 D. ( )的图象关于( , 0)对称
4 4 8
11.已知 ( )， ( )都是定义在 上的函数，且 ( ( )) = ，则下列结论正确的是( )
A. 若 (1) = 2，则 (2) = 1 B. 若 ( ) = + 1，则 ( ) = 1
C. 存在 ( )，使得 ( ) = 2 + D. 若 ( )是增函数，则 ( )是增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = log + 2( > 0且 ≠ 1)的图象过定点_________．
1 2
13.已知sin ( + ) = ，则sin ( ) =_________．
3 3 3
14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位： / )与时间 (单位： )间的
关系为 = 0
，其中 0， 是正常数．污染物的初始含量为 / ；如果在前5 消除了10%的污染
物，那么污染物减少70%需要花费 小时(精确到1 ). (参考数据：lg 3 ≈ 0.477)
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求值：
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1 27 2 3
(1)492 + ( )3 2 2 + √( 2)3;
8
√ 1+2sin20 sin70
(2) ．
sin70 +√ 1 cos2160
16.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 (2 + ) + 2 < 0}， = { | = √ 2 2 + 3}.
(1)若 = 0时，求( ) ∩ ;
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
2 +1
已知函数 ( ) = + 是奇函数．
2 +1
(1)求 的值，判断函数 ( )的单调性并请说明理由;
(2)对任意 ∈ ，不等式 ( 2 ) + (3 2 4 1) ≤ 0恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知 (0,0)， (cos , sin )， (cos , sin )， ≠ + 2 ， ∈ .
(1)请写出以 轴的非负半轴为始边，射线 为终边的角的集合;
(2)作点 关于直线 的对称点 (cos , sin ).

①当 = ， = 时，求点 坐标;
4 3
√ 21 √ 15 1
②若 ( , )，cos cos = ，求cos( ).
6 6 4
19.(本小题12分)
给定函数 ( )，若对任意一个三角形，只要它的三边长 ， ， 都在 ( )的定义域内，就有 ( )， ( )， ( )
也是某个三角形的三边长，则称 ( )为“保三角形函数”．
(1)判断函数 ( ) = 3 是否为“保三角形函数”，并说明理由;
(2)若 ( ) = ln( + )是“保三角形函数”，求 的最小值;
(3)若函数 ( )同时满足以下条件：
① (0) = 0;
② ( )在区间(0, +∞)上单调递增;
③对任意 1， 2 ∈ [0, +∞)， ∈ [0,1]都有 ( 1 + (1 ) 2) ≥ ( 1) + (1 ) ( 2).
证明：函数 ( )是“保三角形函数”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1,2)
1
13.【答案】
3
14.【答案】 0；57
15.【答案】【解答】解：
9 1
(1)原式= 7 + + 2 = 7 + ；
4 4
√ 1+2sin 20°cos 20 sin20 +cos20 sin20 +cos20 sin20 +cos20
(2)原式= == = =sin70 +sin160 sin70 +sin20 cos20 +sin20 = 1． sin 70 +√ 1 cos2 160
16.【答案】解：(1) = { |0 < < 2}， = { | ≤ 0或 ≥ 2}， = { | 3 ≤ ≤ 1}．
( ) ∩ = { | 3 ≤ ≤ 0}．
(2)由 ∪ = 知 ，
= { |( 2)( ) < 0}，
①当 < 2时， = { | < < 2}， < 3;
②当 > 2时， = { |2 < < }， ∈ ;
③当 = 2时， = ，不满足题意．
所以 的取值范围为{ | < 3}．
2 +1 2
17.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = + 是奇函数，所以有 (0) = + = 0，得 = 1． 2 +1 20+1
经检验， = 1成立．
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2 +1 2 1
则 ( ) = 1 = ， 2 +1 2 +1
1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
2 1 1 2 2 1 (2 1 1)(2 2+1) (2 2 1)(2 1+1)
则 ( 1) ( 2) = 2
= 1+1 2 2+1 (2 1+1)(2 2+1)
2 2 ( 1 2 2)
=
(2 1 + 1 )(2 2 + 1)
因为 1 < 2，所以2
1 2 2 < 0.又因为(2 1 + 1)(2 2 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2).
所以函数 ( )在 上单调递增．
(2)由条件知 ( 2 ) ≤ ( 3 2 + 4 + 1)对任意 ∈ 恒成立，
因为 ( )在 单调递增，所以有 2 ≤ 3 2 + 4 + 1，
3 2 +4 +1 1
即 ≤ = 3 + 2 + ， 2 2
1 1
设 ( ) = 3 + 2 + 3 + 2√ 2 · = 1，当 = 0时，取等号， 2 2
所以 的取值范围为{ | ≤ 1}．
18.【答案】解：(1){ | = 2 + , ∈ }
(2) ①由题知， = 2 + 2 ( ∈ )，
2 √ 2 √ 3 √ 2 1 √ 6 √ 2
cos = cos( + 2 ) = cos( + ) = = ，( ∈ )，
3 4 4 6 2 2 2 2 4
2 √ 2 √ 3 √ 2 1 √ 6+√ 2
sin = sin( + 2 ) = sin( + ) = + = ( ∈ )．
3 4 4 6 2 2 2 2 4
√ 6 √ 2 √ 6+√ 2
所以， ( , ).
4 4
+
②由题知， = 2 + 2 ，则 = + ( ∈ )．
2
√ 21 √ 15 √ 21
由 ( , )，知cos = ，
6 6 6
+ √ 21 + 21 1
故cos = ± ，所以cos( + ) = 2cos2 1 = 2 1 = ．
2 6 2 36 6
1
即cos cos sin sin = ．
6
1 1
又因为cos cos = ，所以sin sin = ，
4 12
1
所以cos( ) = cos cos + sin sin = ．
3
19.【答案】解：(1)不妨假设0 < ≤ ≤ ，有 + > ．
此时 ( ) = 3 > 0， ( ) = 3 > 0， ( ) = 3 > 0，
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且有 ( ) + ( ) = 3 + 3 = 3( + ) > 3 = ( )，
所以 ( )， ( )， ( )可以构成某三角形的三边．
所以 ( ) = 3 是“保三角形函数”．
(2)因为 ( ) = ln( + )是“保三角形函数”，所以 > 0， > 0， > 0且 ( ) > 0， ( ) > 0， ( ) > 0，
必有ln( + ) > 0对 > 0恒成立，
所以ln ≥ 0，解得 ≥ 1.
下证：当 ≥ 1时， ( ) = ln( + )是“保三角形函数”．
不妨设0 < ≤ ≤ ，有 + > ．
此时 ( ) = ln( + ) > 0， ( ) = ln( + ) > 0， ( ) = ln( + ) > 0，
( ) + ( ) = ln( + ) + ln( + ) = ln[( + )( + )] = ln[ + ( + ) + 2] ≥ ln( + + +
) > ln( + ) = ( )，
所以若 ( ) = ln( + )是“保三角形函数”， 的最小值为1．
(3)不妨设0 < ≤ ≤ ，且 + > ．
( ) > 0， ( ) > 0， ( ) > 0．
由 ( 1 + (1 ) 2) ≥ ( 1) + (1 ) ( 2)， ∈ [0,1]，
知当 2 = 0时， ( 1) ≥ ( 1).

所以 ( ) = ( ( + )) ≥ ( + )，
+ +

( ) = ( ( + )) ≥ ( + )．
+ +

所以 ( ) + ( ) ≥ ( + ) + ( + ) = ( + )．
+ +
而 + > ， ( )在区间(0, +∞)上单调递增，
所以 ( + ) > ( )．
所以 ( ) + ( ) > ( )，即函数 ( )是“保三角形函数”．
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