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浙江省衢州市 2024-2025 学年高一（上）1 月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = {0,2,4}，则 ∩ =( )
A. {0} B. {2} C. {1,2} D. {0,1,2,3,4}
2.已知幂函数 ( )的图象过点(2, √ 2)，则 (9) =( )
A. 3 B. √ 3 C. 2 D. 3
3.“ > 0”是“ > 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列不等关系成立的是( )
A. 3 0.3 > 20.1

B. log23 > log32 C. sin > tan D. cos > cos( ) 3 4 2 3
5.函数 ( ) = ( + 1)2( 2)的部分图象大致为( )
A.
B.
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C.
D.
6.已知函数 ( ) = 2 + 1， ( ) = log2 + 1， ( ) =
3 + 1的零点分别为 ， ， ，则 ， ，
的大小顺序为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.已知函数 = ( )的图象关于点 ( , )中心对称的充要条件是函数 = ( + ) 为奇函数，则函数
1
( ) =
2
图象的对称中心是( )
1
1 1 1
A. (1,1) B. (2, ) C. (0, ) D. (0, )
3 2 2
8.已知 ( )是定义在 上的偶函数， ( )是定义在 上的奇函数，且 ( )， ( )在( ∞, 0]上单调递增，则下
列不等关系恒成立的是( )
A. ( (1)) > ( (2)) B. ( (1)) < ( (2))
C. ( (1)) > ( (2)) D. ( (1)) > ( (2))
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 > 0， > 0，且 + = 4，则下列结论正确的是( )
A. 2 2 = 16 B. √ ≤ 2
1 1
C. log2 + log2 ≥ 2 D. + ≥ 1
10.已知函数 ( ) = sin(cos ) cos(sin )，则( )
A. ( )是奇函数 B. ( )图象有对称轴
C. ( )是周期函数 D. (1) < 0
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4 = 1 +
11.已知正实数 ， 满足{ 8 ，则( ) = 3 +
5
A. > 1 B. < C. 2 < √ 2 D. <
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若ln(log2 ) = 0，则 = ．
13.玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周
礼》一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知 =
4，弧 长为2 ，弧 长为 ，此玉璜的面积为
sin , 0
14.已知函数 ( ) = { 2 在( , +∞)上有4个不同零点，则实数 的取值范围是 ． 2 + 2 + 5, > 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
4
在平面直角坐标系 中，角 是第二象限角，且终边与单位圆交于点 ( , ).
5
(1)求实数 及tan 的值;
3
cos ( )+cos ( )
(2)求 2 的值．
sin ( )+sin ( + )
2
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log (
2 + 3)( > 0且 ≠ 1)．
(1)若 = 4，求函数 ( )的定义域及值域;
(2)若函数 ( )在(1,3)上单调递增，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = sin(2 ) + ( > 0, ∈ )在区间[0, ]上的值域为[0,3]．
6 2
(1)求函数 ( )的解析式;

(2)若对任意 1 ∈ [0, ]，存在 2 ∈ [ , ]使得 ( 1) ≥ ( 6 2 2)，求实数 的取值范围．
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18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ( + 1) + ， ∈ .

(1)讨论函数 ( )的单调性(无需证明);
(2)若 < 0，解关于 的不等式 (| 2|) > ( 2);
(3)若关于 的方程 (3 + 1) = 1有两个不同的解，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
设点集 是集合 = {( , )| ， ∈ }的一个非空子集，若按照某种对应法则 ， 中的每一点( , )都有唯
一的实数 与之对应，则称 为 上的二元函数，记为 = ( , ).当二元函数 ( , )满足对任意 ， ， ∈ ，
均有： ① ( , ) = ( , ); ② ( , ) = 0; ③ ( , ) + ( , ) ≥ ( , )成立，则称二元函数 ( , )具有性
质 ．
(1)试判断二元函数 ( , ) = | |是否具有性质 ，并说明理由;
(2)若 ( , )具有性质 ，证明：函数 ( , ) = √ ( , )具有性质 ;
( , )
(3)对任意具有性质 的函数 ( , )，均可推出 ( , ) = 具有性质 ，求实数 的取值范围．
+√ ( , )
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】6
14.【答案】[ 3 , 2 )
4 4
15.【答案】解(1)因为角 与单位圆交于点 ( , )，所以sin = ，cos = ，
5 5
又角 为第二象限角，且sin2 + cos2 = 1，
4
所以 = cos = √ 1 sin2
3 4
= ，所以tan = 5 = ．
5 3
3
cos( )+cos( )
2 cos sin 1 tan (2) = = = 7．
sin( )+sin( + ) sin +cos tan +1
2
16.【答案】解：(1)当 = 4时， ( ) = log4(
2 + 4 3)，
令 2 + 4 3 > 0 1 < < 3，
所以函数 ( )定义域为(1,3)，
又 ( ) = log4[ ( 2)
2 + 1]，
所以0 < 2 + 4 3 1 log4(
2 + 4 3) ≤ 0，所以函数 ( )的值域为( ∞, 0]．
(2)设 = 2 + 3，因为 ( )在(1,3)上为增函数，
所以当 > 1时， = 2 + 3在(1,3)上为增函数且 2 + 3 > 0在(1,3)上恒成立，
> 1

所以{{ 32 6,
1 + 3 0
当0 < < 1时， = 2 + 3在(1,3)上为减函数且 2 + 3 > 0在(1,3)上恒成立，
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0 < < 1

所以{ 12 无解．
9 + 3 3 0
综上所述，实数 的取值范围为[6, +∞).
5
17.【答案】解：(1)因为0 ≤ ≤ ，所以 ≤ 2 ≤ ，
2 6 6 6
1
则 ≤ sin(2 ) ≤ 1，
2 6

又 > 0，故 + ≤ ( ) ≤ + ，
2

+ = 0 = 2
依题意则{ 2 ，解得{ ，
+ = 3 = 1

故 ( ) = 2sin(2 ) + 1；
6
(2)由题意可知 ( 1)min ≥ ( 2)min，

因为 1 ∈ [0, ]， 6

所以 ≤ 2
6 1
≤ ，
6 6
1 1
则 ≤ sin(2 ) ≤ ，
2 6 2
故 ( 1)min = 0，
1
则 ( 2)min ≤ 0即sin(2 2 )6 min ≤ ， 2
5
又 2 ∈ [ , ]所以 ≤ 2 2 ≤ 2 ， 2 6 6 6
7 2
则2 ≥ ，解得 ≥ ．
6 6 3
18.【答案】解：(1) ( )定义域为{ | ≠ 0}，
1
当 = 0时， ( ) = 在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递减;

1
当 < 0时， ( ) = + + 在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递减;

1 √ √
当 > 0时， ( ) = + + 在( ∞, )和( , +∞)上单调递增;

√ √
在( , 0)和(0, )上单调递减;

(2)由 ( )的定义域知| 2| > 0， 2 > 0，得 ≠ 2且 ≠ 0，
1
又由(1)知当 < 0时， ( ) = + + 在(0, +∞)上单调递减;

故 (| 2|) > ( 2) | 2| < 2，
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> 2 < 2
则{ 或{ ，即 < 2或 > 1，
2 < 2 2 < 2
所以不等式 (| 2|) > ( 2)的解集为{ | < 2或1 < < 2或 > 2}．
(3)令 = 3 + 1，则其在 上单调递增，且 > 1．
则方程 (3 + 1) = 1有两个不同解等价于方程 ( ) = 1在(1, +∞)上有两个不同解，
1
( ) = ( + 1) + = 1在(1, +∞)上有两个不同解．

1
即 = 在(1, +∞)上有两个不同解．
( +1)

令 = 1 ∈ (0, +∞)，则 = = ，
( +1)( +2) 2+3 +2
1 2
故 = + + 3在 ∈ (0, +∞)上有两个不同解，

2
又 = + + 3在(0, √ 2)上递减，(√ 2, +∞)上递增，

1
则 > 3 + 2√ 2，即0 < < 3 2√ 2．

19.【答案】解：(1) ( , ) = | |具有性质 ，
所以 ( , ) = | | = ( , )，
( , ) = | | = 0，
( , ) + ( , ) = | | + | | ≥ | + | = | | = ( , )，
故 ( , ) = | |具有性质 ．
(2)因为 ( , ) = √ ( , ) = √ ( , ) = ( , );
( , ) = √ ( , ) = 0;
下证 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )，
即证√ ( , ) + √ ( , ) ≥ √ ( , )，
( , ) + ( , ) + 2√ ( , )√ ( , ) ≥ ( , )，( )，
又 ( , )具有性质 ，故 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )，
结合2√ ( , )√ ( , ) ≥ 0，知( )式成立，
故 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )成立，
所以函数 ( , )具有性质 ．
(3)先证 ( , )具有性质 时，必有 ( , ) ≥ 0成立．
因为 ( , )具有性质 ，由 ③知 ( , ) + ( , ) ≥ ( , ) = 0，
由 ①知 ( , ) = ( , )，故2 ( , ) ≥ 0，即 ( , ) ≥ 0成立．
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( )若 < 0，当 ( , )有性质 时，知 ( , ) ≥ 0，且 ( , )也有性质 ，
( , )
故 F( , ) = ≥ 0，从而 + √ ( , ) > 0恒成立，
+√ ( , )
故√ ( , ) > > 0，即 ( , ) > ( )2 > 0，
取 = 得 ( , ) > ( )2 > 0与 ( , ) = 0矛盾，故 < 0不满足题意．
( , )
( )若 = 0，则 ( , ) = ，故√ ( , ) ≠ 0，得√ ( , ) ≠ 0与 ( , ) = 0矛盾，
√ ( , )
故 = 0不满足题意．
( , ) ( , )
( )若 > 0，由 ( , ) = = = ( , )，
+√ ( , ) +√ ( , )
( , )
( , ) = = 0，从而性质 ① ②满足，
+√ ( , )
下面考虑性质 ③.记 ( , ) = ， ( , ) = ， ( , ) = ，
易知 ≥ 0， ≥ 0， ≥ 0，

下证当 + > 时，均有 + > ，
+√ +√ +√
2
令 ( ) = ，则 ( ) = + √ + 2 ，
+√ +√
由复合函数单调性可知 ( )在[0, +∞)单调递增，
1 若 ， 之中至少有一个大于 ，不妨 > ，故 ( ) > ( )，

即 > ，又 ≥ 0，
+√ +√ +√

故 + > 成立．
+√ +√ +√
2 若 ， 均不超过 ，即 ≤ ， ≤ ，
+
则 + ≥ + = > ，
+√ +√ +√ +√ +√ +√
从而 > 0时，恒有 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )成立，
( , )
即此时 ( , ) = 具有性质 ，
+√ ( , )
故 > 0满足题意．
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