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浙江省嘉兴市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.经过点 (1,2)且倾斜角为 的直线方程是( )
2
A. = 1 B. = 2 C. = 1 D. = 2
2.在空间直角坐标系中，已知 = ( 2,2,1)， = (2,0, 1)，则2 =( )
A. ( 2,4,1) B. (6,4, 3) C. ( 6,4,3) D. (2,4, 1)
3.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 3， 2 + 3 = 12，则 5 =( )
A. 9 B. 15 C. 24 D. 35
4.抛物线 2 = 4 的准线方程为( )
A. = 2 B. = 1 C. = 2 D. = 1
2
5.已知椭圆 : + 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2， 为 上一点，满足 1 ⊥ 2，则| 1|| 2| =( ) 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知二面角 的大小为60 ，棱 上有 ， 两点，线段 与 分别在这个二面角的两个半平面内，
并且线段 与 都垂直于 .若 = 5， = 3， = 6，则 的长为( )
A. 2√ 13 B. 2√ 17 C. 2√ 21 D. 2√ 22
7.已知 ， 为圆 : ( )2 + 2 = 4上的两个动点，且| | = 2√ 3，若直线 = 2 上存在点 ，且 为
线段 的中点，则实数 的取值范围是( )
A. [ 2,2] B. [ √ 5, √ 5] C. [ 2√ 3, 2√ 3] D. [ 2√ 5, 2√ 5]
, ≥ ,
8.定义max{ , } = { 若数列{ 2 }的前 项和 = + (10 + ) ( ≠ 0, ∈ )，数列{ }满足 = , < . 1
1，2 ( +1 ) = +1，令 = max{ , }，且 ≥ 3恒成立，则实数 的取值范围是( )
1 3 1 2 1 2
A. [ 3, ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ 3, ]
2 2 3 3 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 圆 2 + 2 + 4 + 4 = 0的半径为2√ 2
2 2 1
B. 椭圆 + = 1的离心率为
4 3 2
2 2
C. 双曲线 = 1的实轴长为2
4 3
1
D. 抛物线 2 = 的焦点坐标为( , 0)
4
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10.等比数列{ }的公比为 ，且满足 1 > 1， 100 101 > 1，( 100 1)( 101 1) < 0.记 = 1 2 3 ，
则下列结论正确的是( )
A. 0 < < 1 B. 100 102 1 > 0
C. ≥ 100 D. 使 < 1成立的最小自然数 等于201
11.四棱锥 的底面为正方形， ⊥底面 ， = 1， = √ 2， = ， = ，其
中 ≠ 0，下列说法正确的是( )

A. 存在实数 ，使得异面直线 与 的所成角为
3
1
B. 三棱锥 的体积为
3
√ 15
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
5

D. 二面角 的最大值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系中，已知平面 的法向量为 = (4,2, 2 )，平面 的法向量为 = ( 3, 1,1)，若 /
/ ，则实数 的值为 ．
13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”
等).如取正整数 = 8，根据上述运算法则得出8 → 4 → 2 → 1，共需经过3个步骤变成1(简称为3步“雹
程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{ }满足： 1 = ( 为正整数)， +1 =
,当 为偶数时,
{ 2 当 = 20时，使得 = 1需要 步雹程．
3 + 1,当 为奇数时,
14.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，点 1(1, 2)在 上， 为常数， > 0.按照如下方式依次构造点 1和
( = 2,3, ):过点 1作斜率为 的直线与 的另一交点为 1，过点 1作斜率为 的直线与 的另一
交点为 ，记 的坐标为( , )， 的坐标为( , )，直线 +1的斜率为 ，则 2025 2025 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，圆 1经过点 (3,1)，且与圆
2 2
2: + 2 8 + 12 = 0相切于点 (3,3)．
(1)求直线 2 的方程;
(2)求圆 1的标准方程．
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16.(本小题12分)

如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = ， = = 2， 1 = 3， 为 的中点，点 满足2
= 1，
其中 ∈ (0,1)．
(1)若 //平面 1 1，求 的值;
1
(2)当 = 时，求平面 1 1与平面 夹角的余弦值． 3
17.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 = ± ，点 (2,1)在双曲线 上． 2
(1)求 的方程;
(2)过点 ( 1,0)的直线 交双曲线 的左支于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 1， 2，是否存在常
数 ，使得 1 + 2 = 1 2恒成立 若存在，求 的值;若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知{ }为等差数列， 2 = 6， 5 = 15，记 =

3 ( ∈ ).
(1)求数列{ }，{ }的通项公式;
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，
1
(ⅰ)求数列{ }的前 项和

;

(ⅱ)在数列{ }中是否存在3项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列 若存在，求出这样的3项;若
不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
造型 可以看作图中曲线 的一部分，已知 过坐标原点 ，且 上的点满足横坐标大于 1，到点 (1,0)的
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距离与到定直线 = ( < 0)的距离之积为1．
(1)求 的值;
1
(2)当点( 0, 0)在 上时，求证： 0 ≥ ; 0+1
(3)如图，过点 作两条互相垂直的弦，分别交曲线 于 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 3, 3)， 1( 4, 4)，其中 ≥
0( = 1,2,3,4)，求四边形 1 1面积的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】7
14.【答案】 2
15.【答案】解：(1)把圆 : 2 + 22 2 8 + 12 = 0化为标准方程，
1
( 1)2 + ( 4)2 = 29，得圆心 2(1,4)， = ， 2 2
1
则直线 2 : 3 = ( 3)，即 + 2 9 = 0． 2
(2)方法一：设圆 1的方程为( )
2 + ( )2 = 2( > 0)，
(3 )2 + (1 )2 = 2,
则{
(3 )2 + (3 )2 = 2
,
两式相减得8 4 = 0，则 = 2，又因为 + 2 9 = 0，
所以 = 5，故所求圆 1的方程为( 5)
2 + ( 2)2 = 5．
方法二：圆心 1线段 的中垂线方程为 = 2，
则圆心 1在直线 = 2上，
也在直线 2 : + 2 9 = 0上，
解得圆心 1(5,2)，
圆 1的半径 = | 1 | = √ 5，
圆 2 21的标准方程( 5) + ( 2) = 5．
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16.【答案】(1)因为 ⊥ ，由已知得 1 ⊥平面 ，如图
建立空间直角坐标系，所以 1(0,0,3)， (2,0,0)， 1(0,2,3)， (1,0,0)，
所以 1 = (2,0, 3)， 1 1 = (0,2,0)，
设平面 1 1的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0, 2 3 = 0则{ 即{ 1 1 ，
2 = 01 1 = 0 1
取 = (3,0,2)，
因为 = 1 = (0,0,3 )，
所以 (0,2,3 )， = ( 1,2,3 )，
因为 //平面 1 1，
所以 = 3 + 6 = 0，
1
则 = ．
2
1
(2)因为 = ，所以 (0,2,1)， = (1,0,0)， = (0,2,1)，
3
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 0, = 0
则{ 即{ 2 ，
= 0 2 2 + 2 = 0
取向量 = (0,1, 2)．
设平面 1 1与平面 所成角为 ，
4 4√ 65
则cos = | | = = ．
| || | √ 13×√ 5 65
所以平面 1 1与平面 所成角的余弦值为
4√ 65．
65
17.【答案】
√ 2
= ,
解：(1)由已知得{ 2 解得 = √ 2， = 1， 4 1
= 1,
2 2
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2
所以双曲线 的方程为 2 = 1．
2
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由题意知直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 = 1，
2
2
2 ≠ 0,
联立{
2 = 1, 2 2
2 消 得( 2 2) 2 2 1 = 0,{ = 4 + 4( 2) > 0,
= 1, 1 1 2 = 2 > 0, 2
解得1 < 2 < 2，假设存在实数 ，使得 1 + 2 = 1 2恒成立，当 = 0( = 1,2)，有一个交点为( 2,1)，
1+ 1 1此时 = 1不满足，故 1 2 ≠ 0，因此 =
2 = + ，
1 2 1 2
2
1 + 2 = 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 1 2)( 2 1)+( 2 2)( 1 1) ( 3)( 1)+( 3)( 1){ ， + = + = = 1 2 2 1 =
1 1 2 1 1 2 1 ( 1 1)( 2 1) 1 2 ( 1
+ 2)+1
1 2 = 2 2
2 2 ( +3)
2 1 2 ( +3)( 1+

2)+6 2 2 2
+6 4 2 2 8 12= = = 4，故存在实数 = 4满足条件．
1 2 ( 1+ 2)+1
1 2 2
2 +1
2 3
2 2 2
18.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
= + = 6
根据题意得，{ 2 1 ，解得 = 3， = 3，
5 = + 4 = 15
1
1
所以 = 3 ，
所以 = 3 = 3 × 3
= 3 +1;
(2)( )方法一： +1 = + ( + 2 1) ，
2 3 +1 1 1 +1
所以 = ， = ， +1 2 3 +1
+1
设 =
3 +1
，
记 前 项和 ，
1 1 1 1
= 2 + 3 + 4 + + ( + 1) ①
32 33 34 3 +1
1 1 1 1 1
= 2 + 3 + 4 + + ( + 1) ② 3 33 34 35 3 +2
2 2 1 1 1 1 1
① ②得： = 2 + 3 + 4 + 5 + +1 ( + 1) +2 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1
2[1 ( ) ]2 3 3 1 2 1 1 1 1= 2 + 1 ( + 1) +2 = 2 + [ 2 +1] ( + 1) ， 3 1 3 3 2 3 3 3 +2
3
1 3 1 1 +1 5 2 +5 1
= + [ +1 3 4 9 3 +1
] = ( ) ( ) ，
2 3 +1 12 4 3
5 2 + 5 1
= ( ). ( )
+1;
24 8 3
3 9 3 9
1 +1 +1 1 + ( +1)+
方法二： = 2 4 2 4
2 3 +1
= = [ +1 ]
6 3 6 3 3
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3 9 3 9
1 1 1 1 + ( +1)+
所以 = + + + = [2 4 2 4
1 5 2 +5 5 2 +5
6 3 3 +1
] = ( ) = ，
1 2 6 4 4 3
24 24 3
( )假设数列 中存在3项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列，则
2
= ，
2 3 +1 2 3 +1 2 3 +1 2 3 +1 22 3 + +2
所以( )2 = ． ，即( )2 = ，
+1 +1 +1 +1 ( +1)( +1)
又因为 ， ， 成等差数列，所以2 = + ，
所以( + 1)2 = ( + 1)( + 1)，化简得 2 + 2 = + + ，
所以 2 = ，又2 = + ，所以 = = 与已知矛盾，
所以数列{ }中不存在三项 ， ， 成等比数列．
19【. 答案】解：(1)因为 在曲线上，所以 到 = 的距离为 ，而| | = 1，所以有 × 1 = 1，即 = 1．
(2)方法一：因为 = 1，所以曲线 的方程为| + 1|√ ( 1)2 + 2 = 1，
1
可化为( 1)2 + 2 = ( )2，即 2
1
= ( )2 ( 1)2，
+1 +1
2 1 2 1 1 1因此 0 = ( ) (
2
0 1) ≤ ( )
2 ≤ ≤ ，
0+1 0+1 0+1
0 0+1
1 1
所以 0 ≥ ，当且仅当 = 1且 = 时取等号． 0 00+1 2
方法二：同上曲线 的方程为| + 1|√ ( 1)2 + 2 = 1，
1
因此 = √ ( 1)2 + 20 0 ≥ √
2
0 ≥ 0， 0+1
1
所以 ≥
1
0 ，当且仅当 = 1且 = 时取等号． 0+1 0 0 2
方法三：如图设点 在 轴，直线 = 1上的射影分别为 ， ，
则根据定义| || | = 1，
1 1
因此| | ≤ | | = ，即| | ≤ ，
| | 0 0+1
1 1
所以 0 ≥ ，当且仅当 0 = 1且 0 = 时取等号． 0+1 2
(3)由| + 1|√ ( 1)2 + 2 = 1，得( + 1)2[( 1)2 + 2] = 1．
当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 1 √ 2 = | || 1 1 2 1 1| =
．
2
当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，由对称性不妨设 > 0，
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1
∈ (0, )，则直线 的方程为 = ( 1)，其中 = tan ，直线 1 1的方程为 = ( 1)， 2
( + 1)2[( 1)2 + 2] = 1,
联立{
= ( 1),
化简得到(1 + 2) 4 2(1 + 2) 2 + 2 = 0，
2 21 + 2 = 2,
所以{ 2
2 21 2 = 2
1+
tan
则 1 2 = = = sin
√ 2
，
1+ √ 1+tan2
故| 2 21 2| = √ 1 + 2 2 1 2 = √ 2 2sin ，
sin2 2 2sin 2
| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ 2 2sin = √ 2 = √ ， cos cos 1+sin
2 2
同理| 1 1| = = √
1 1

1+sin( + ) 1+cos
，所以 1 = | || 1 1| = ， √ 1 2 √ 1+sin +cos +sin cos
2
令 = 1 + sin + cos + sin cos ，

令 = sin + cos = √ 2sin( + )，
4

因为 ∈ (0, )，
2
2所以 1 ∈ (1,√ 2]， 2 = 1 + 2sin cos ，即sin cos = ，
2
2
所以 1
3+2√ 2
= + + 在(1,√ 2]上单调递增，当 = √ 2，即 = 时，4 2 2 max
= ，
2
此时 2 √ 2 = √ = √ 2(3 2√ 2) = 2 √ 2 < ， 3+2√ 2 2
综上所述四边形 1 1面积的最小值为2 √ 2．
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