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浙江省嘉兴市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1. 是( )
3
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知全集 = ，集合 = {1,2,3,4}， = {3,4,5,6}，则 图中的阴影部分(如图)表示的集合是( )
A. {1,2} B. {3,4} C. {5,6} D. {1,2,5,6}
1 1
3.设 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
4.设 = log23， = ( )
3， = log3 ，则( ) 2 2
A. < < B. < < C. < < D. < <
√ 5
5.已知cos = ，则( )
5
√ 5 2√ 5
A. cos( + ) = B. sin( ) =
5 5
3 2√ 5 √ 5
C. cos( + ) = D. sin( ) =
2 5 2 5
6.已知函数 ( ) = log ( 22 + 6)在(1,2)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. [4, +∞) B. [4,5] C. ( ∞, 7] D. [4,7]
7.已知函数 ( ) = ( + 2)3 + ，若 ( ) + ( ) = 4，则 + =( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 4

2 2sin , 0 ≤ ≤ 2,
8.已知函数 ( ) = { 2 若存在实数 1， 2， 3且 1 < 2 < 3，使得 ( 1) = ( 2) = ( 3)，
+ 1, < 0.
则 1 ( 1) + 2 ( 2) + 3 ( 3)的取值范围为( )
9 9 9 9
A. ( ∞, ] B. ( ∞, 2] C. [ , ] D. [2, ]
2 4 2 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数 ( ) = ( 为常数)，则下列结论正确的是( )
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A. 函数 ( )的图象都经过点(1,1)
B. 若 = 3，则 (3) = 27
C. 若 = 1，则函数 ( )为偶函数
D. 若函数 ( )的图象经过点(4,2)，则函数 ( )在其定义域上单调递减
√ 3 1
10.已知函数 ( ) = sin + cos2 ( > 0, ∈ )，则( )
2 2 2
A. 若函数 ( )的周期为 ，则 = 1

B. 若 = 2，则函数 ( )的图象可由函数 = sin2 的图象向左平移 个单位得到
12
4 7
C. 若 < 5且直线 = 是函数 ( )的一条对称轴，则 ( )在( , )上单调递增
9 9 9
5
D. 若函数 ( )在区间(0,2 )上没有零点，则 ∈ (0, ]
12
11.已知定义在 上的函数 ( )的图象是一条连续不断的曲线，满足 (1) = 2， ( ) = (2 )，且 ( )在
区间[0,1]上单调递增，则( )
A. 若 ( )是偶函数，则 ( )是周期为2的周期函数
B. 若 ( )是偶函数，且函数 = | ( )|的最大值为3，则 (2 ) = 3( ∈ )
C. 若 ( )是奇函数，则函数 = ( ) √ 2在[0,6]上的所有零点之和为18
D. 若 ( )是奇函数，则方程 ( + 2) = ( ) + 2在[ 2,4]上有四个不同的实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.log35 log315 = ．
1
13.若正数 ， 满足 + 9 = ，则 + 的最小值为 ．

1 1
14.已知奇函数 ( )的定义域为{ | ≠ ±2}，当 > 0时， ( ) = .若 ∈ [ , ]， ( )的值域是[0, ]，则 +
2 2
= ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | + 2 ≤ ≤ 3 }， = { |( 5)( 3) ≤ 0}．
(1)若 = 2，求 ∩ ;
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，角 ， 的顶点与原点 重合，始边与 轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点 2√ 5 √ 5 ( , )，
5 5
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3√ 10 √ 10
( , ).
10 10

(1)求sin( + )的值;
3
(2)求扇形 (阴影部分)的面积．
17.(本小题12分)
2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空
经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100 的 ， 两集散点到海岸线 ( 为直线)距
离均为75√ 3 (如图)，计划在海岸线 上建造一个港口 ，在 ， 两集散点及港口 间开展无人机物流运输
.由于该无人机最远运输距离为50√ 3 ，需在 ， ， 之间设置补能点 (无人机需经过补能点 更换电池)，

且 ⊥ ，∠ = .2 设∠ = ．

(1)当 = 时，求无人机从 到 运输航程| | + | |的值;
6
(2)求| | + | | + | |的取值范围．
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2
2
．
(1)若 log32 = 1，求 ( )的值;
(2)根据函数单调性的定义证明函数 ( )在 上单调递增;
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1
(3)若存在 ∈ [4,16]，使得不等式 [(log )22 log2 + 1] + ≥ 0成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )和 ( )的定义域分别为 1和 2，若对任意 0 ∈ 1，恰好存在 个不同的实数 ∈ 2(其中 = 1，
2， ， ， ∈ )，使得 ( ) = ( 0)，则称 ( )为 ( )的“ 重覆盖函数”，其中 1， 2， ， 为一组
关于 0的“覆盖点”．
(1)判断 ( ) = 2 4是否为 ( ) = | |的“ 重覆盖函数”，如果是，求出 的值;如果不是，请说明理由;
1 1
+ , < ,
(2)若 ( ) = { 2 2

为 ( ) = cos ， ∈ (0, ]的“3重覆盖函数”，求实数 的取值范围;
2 | 1|
1
, < 2 4
2
(3)若 ( ) = 2 + ， ∈ [0,1]为 ( ) = 的“ 重覆盖函数”，求 2 + 2 2 + 6 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1
13.【答案】16
7
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)当 = 2时， = { |4 ≤ ≤ 6}， = { |3 ≤ ≤ 5}，
∴ ∩ = { |4 ≤ ≤ 5}．
(2) ∵ ∪ = ，∴ ;
1 = 时， + 2 > 3 ，∴ < 1;
+ 2 ≤ 3
52 ≠ 时， = { |3 ≤ ≤ 5}，{ + 2 ≥ 3 ，∴ 1 ≤ ≤ ;
3
3 ≤ 5
5
综上所述， ≤ ．
3
√ 5 2√ 5
16.【答案】解：(1)由三角函数定义可知，sin = ，cos = ，
5 5
1 √ 3 √ 5 + 2√ 15
∴ sin( + ) = sin + cos =
3 2 2 10
√ 10 3√ 10
(2)sin = ，cos = ，
10 10
3√ 10 2√ 5 √ 10 √ 5 √ 2
cos( ) = cos cos + sin sin = ( ) × + × = ，
10 5 10 5 2
3 5
∴ = + 2 或 + 2 ．
4 4
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又∵ 0 < ∠ < ，
3
∴ ∠ =
4
1 3 3
∴ 2扇形 = = ． 2 4 8
17.【答案】【解答】解：

(1)当 = 时，| | = 100 cos = 50√ 3 6 6 ，作 ′ ⊥ ， ，则| ′| = 25√ 3 ，
所以| | = 75√ 3 25√ 3 = 50√ 3 ，故从 到 运输航程| | + | | = 100√ 3 ；
| || |
(2)由已知| | = 100 cos ，| | = 100 sin ，| ′| = = 100sin cos ，
| | | | = 75√ 3
| | = 100 cos ≤ 50√ 3
100sin cos ，因为无人机最远运输距离为50√ 3 ，所以{| | = 100 sin ≤ 50√ 3 ，所以 ∈
| | = 75√ 3 100sin cos ≤ 50√ 3

[ , ]
6 3 ，| | + | | + | | = 100cos + 100sin + 75√ 3 100sin cos = 100(cos + sin ) + 75√ 3

100sin cos ，令 = cos + sin ，cos + sin = √ 2sin( + )
5 7 √ 3+1
4 ，因为 + ∈ [ , ]，所以 ∈ [ , √ 2]，4 12 12 2
| | + | | + | | = 100 50( 2 1) + 75√ 3 = 50 2 + 100 + 50 + 75√ 3 = 50( 1)2 + 100 +
√ 3+1
75√ 3，当 = 时，(| | + | | + | |)max = 100√ 3 + 50，当 = √ 2时，(| | + | | + | |)min =2
100√ 2 + 75√ 3 50，故| | + | | + | |的范围是[100√ 2 + 75√ 3 50,100√ 3 + 50]．
1
18.【答案】解：(1) ∵ log32 = 1，∴ = = loglog 2 23， 3
1 1 8
∴ ( ) = 2log23
2log 3
= 3 = ．
2 3 3
(2)证明：任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
1 1 1 1
则 ( 1) (
1 2 1 2
2) = 2 (2 ) = 2 2 1 2 2 2 2 +1 2 2
1 1 1
= 2 1 2 2 + ( ) = (2
1
2
2 )(1 +
2 2 2 1 2 1 2
)
2
∵ 1 < 2，
∴ 0 < 2 1 < 2 2，
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1
∴ 2 1 2 2 < 0，1 + > 0， 2 1 2 2
故 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，所以 ( )在 上单调递增．
1 1
(3) ∵ (log ) = 2log2 2 = + ，
2log2
1
∴ [(log )22 log2 + 1] ≥ = (log 2
)
由(2)可知， ( )在 上单调递增，
∴ (log )22 log2 + 1 ≥ log2
∴ (log 22 ) log2 + 1 ≥ log2
1
要存在 ∈ [4,16]，使得不等式 [(log2 )
2 log2 + 1] + ≥ 0成立，
只要存在 ∈ [4,16]，使得(log 22 ) log2 + 1 ≥ log2 成立，
∵ ∈ [4,16]，∴ log2 ∈ [2,4]，令 = log2 ( ∈ [2,4])
只要存在 ∈ [2,4]，使得 ≤ 2 + 1成立，
1
即 ≤ ( + 1)
max
，
∵ ∈ [2,4]，
1 13
∴ + 1 ≤ ，
4
13
∴ ≤ ．
4
19.【答案】解：(1) ( ) = | |，
对任意 0 ∈ 1， ( 0) ∈ [0, +∞)，
恰好存在2个不同的实数 1， 2，使得 ( ) = ( 0)，
∴ ( )是 ( )的“ 重覆盖函数”， = 2;
(2)因为 √ 2 ( ) ∈ [ , 1)，
2
( )为 ( )的“3重覆盖函数”，
故 ( )与 = ， √ 2 ∈ [ , 1)恒有三个交点，
2
1
由 ( )图象可知，所以 1 + ≤ 2
| 1|
2 ，可得 √ 2 1 ≤ ;
2 2 2
(3)由已知 ( ) = 2 + 与 ( ) = 在 ∈ [0,1]上有交点，
设方程 2 + = 0的两根为 1， 2，其中必有一根在[0,1]上，不妨设 2 ∈ [0,1]，
则 1 + 2 = ， 1 2 = ，
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2 + 2 2 + 6 = ( 1 +
2
2) + 2
2
1
2
2 6 1 2 =
2
1 4 +
2
1 2 2 + 2
2 21 2
2 2
= (2 2 + 1) 2 4 + 2 = (2 2
2 2 2 4 2 2 4 2 2
2 1 1 2 2 2 + 1)( 1 ) + ≥ + ， 2 22+1 2 22+1 2 2 22+1 2
4 2 2 5 1
令 = 2 22 + 1， ∈ [1,3]，则
2 2
2 2
+
+1 2
= ( + ) ≥ ，
2 2 2 2
2 2 √ 2
当且仅当 √ 2 2 = ， 1 = 2 = 时取到等号． 2 2 2+1 2
1
此时 = √ 2， = ，△=
2 + 4 = 0，满足条件．
2
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