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广西百色市普通高中 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.若直线 的倾斜角 = ，则直线 的斜率为( )
6
√ 3 √ 3
A. B. √ 3 C. D. √ 3
3 3
2.双曲线9 2 16 2 = 144的虚半轴长为( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 3
3.如图，三棱锥 中， = ， = ，
1
= ，点 为 中点，点 满足 = ，则 =( )
2
1 1 1 1 1 1
A. B. + +
2 3 3 3 2 2
2 1 1 1 2 1C. + + D. +
3 2 2 3 3 2
4.等差数列{ }的前 项和为 ，其中 7 = 7，则 3 + 5的值是( )
A. 2 B. 2 C. 2或 2 D. 4
5.已知直线 的方向向量为 = (1,0,1)，且 过点 (1, 1, 1)，则点 (1,1,1)到直线 的距离为( )
A. 1 B. 2 C. √ 6 D. 6
6.已知圆 1 :
2 + 2 2 = 0和圆 2 :
2 + 2 + 2 4 +1 = 0，则( )
A. 圆 1与圆 2相切
B. 两圆公共弦所在直线的方程为 + 1 = 0
C. 两圆的公切线段长为3
D. 有且仅有一个点 ，使得过点 能作两条与两圆都相切的直线
7.设 为坐标原点，直线 = √ 3( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与抛物 交于 ， 两点，
为抛物 的准线，则( )
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8
A. = 3 B. | | =
3
C. 以线段 为直径的圆与 轴相切 D. △ 为等腰三角形
8.已知 为数列{ }的前 项和，且 = 2 2，若 ≥ 2log2 + 3对任意正整数 恒成立，则实数 的
取值范围是( )
7 7 5 5
A. > B. ≥ C. > D. ≥
4 4 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆4 2 + 3 2 = 12，则下列正确的是( )
A. 焦点在 轴 B. 焦点在 轴 C. 焦距是2√ 7 D. 焦距是2
10.如图，已知正方体 1 1 1 1的边长为2， 、 、 、 分别为 1、 、 、 1的中点，则下
列结论正确的是( )
A. 1 ⊥
B. 1 //平面
√ 5
C. 异面直线 1 与 所成角的余弦值为 5
D. 点 1到平面 的距离为2
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从
第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记
斐波那契数列为{ }，其前 项和为 ，则( )
A. 9 = 34
B. 7 = 32
C. 1 + 2 + 4 + 6 + + 2024 = 2025
D. 2 + 2 2 21 2 + 3 + + 2023 = 2023 2024
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)， = (1,2,2)，且 + 与 互相平行，则实数 的值为 ．
1
13.已知数列{ }的通项公式 = ，则 15等于 ． √ +√ +1
2 2 2 2
14.已知离心率为 1的椭圆 1: + = 1( > > 0)和离心率为 的双曲线 : = 1( > 0, > 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2
0)有公共的焦点，其中 1为左焦点， 是 1与 2在第一象限的公共点，线段 1的垂直平分线经过坐标原点，
则2 2 21 + 2的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线 1:( + 1) 2 1 = 0，直线 2 :(2 1) ( 2) + 1 = 0．
(1)若 1// 2，求实数 的值;
(2)若 1 ⊥ 2，求实数 的值．
16.(本小题12分)
已知圆 : 2 + 2 4 6 + 4 = 0．
(1)若直线 经过点 ( 1, 3)，且与圆 相切，求直线 的方程;
(2)设点 (3,2)，点 在圆 上， 为线段 的中点，求 的轨迹的长度．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， = = = 2 = 4， // ， ⊥ ， ⊥ ，平面 ⊥平
面 ， 为 中点．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值;

(3)问：线段 上是否存在一点 ，使 //平面 如果存在，求 的值;如果不存在，请说明理由．

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18.(本小题12分)
2 2
如图，已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(√ 3 + √ 2)和
1
2(√ 3 √ 2)，斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 不经过点 (3,1)．
3
(1)求椭圆 的方程;
(2)若| | = √ 10，求直线 的方程;
(3)当直线 ， 与 轴均不垂直时，设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，求证： 1 2为定值．
19.(本小题12分)
设数列{ }的前 项和为 .若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 = ，则称{ }是“ 数列”．
(1)已知数列{ }是等差数列，且 1 = 0，求证：数列{ }是“ 数列”;
(2)若数列{ }的首项

1 = 1，且 +1 2 = 0， ∈ ，证明：数列{ }不是“ 数列”;
(3)设{ }是等差数列，其首项 1 = 1，公差 < 0.若{ }是“ 数列”，求 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】解：∵向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)，
∴ + = ( 1, , 2)， = (1,2,2)，
∵ + 与 互相平行，
1 2
∴ = = ，
1 2 2
解得 = 2．
故答案为：2．
13.【答案】3
3+2√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)由 1// 2，则( + 1) × [ ( 2)] = 2(2 1)，且 2 × 1 ≠ ( 2) × ( 1)，
解得 = 5；
(2)由 1 ⊥ 2，则( + 1)(2 1) + 2( 2) = 0，
5
解得 = 或 = 1．
2
16.【答案】解：(1)圆 的标准方程为( 2)2 + ( 3)2 = 9，
圆心 (2,3)，半径 = 3，
当直线 的斜率不存在时， 的方程为 = 1，
圆心 (2,3)到 的距离 = 3，所以 = ，
直线 与圆 相切，符合题意，
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当直线 的斜率存在时，
设 的方程为 + 3 = ( + 1)，即 + 3 = 0，
|3 6|
所以圆心 (2,3)到 的距离 = ，
√ 2 1+
|3 6|
由 = 3，得( 2)2
3
= 1 + 2，解得 = ，
√ 2 4 1+
3
所以直线 的方程为 + 3 = ( + 1)，即3 4 9 = 0，
4
综上，直线 的方程为 = 1或3 4 9 = 0；
(2)设 ( , )， ( 1, 1)，
因为 为线段 的中点，

= 1
+3
= 2 3
所以{ 2 { 1 1+2
，得 ,
= 1 = 2 2
2
因为点 在圆 上，
所以(2 3 2)2 + (2 2 3)2 = 9，
5 5 9
化简得( )2 + ( )2 = ，
2 2 4
5 5
即 的轨迹方程为( )2 + ( )2
9
= ，
2 2 4
3
所以 的轨迹的长度为2 × = 3 ．
2
17.【答案】(1)证明：因为 = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)解：以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 (2√ 2, 0,2√ 2), (4√ 2,2,0), (0,4,0), (2√ 2, 0,0)，
所以 = (2√ 2, 2, 2√ 2), = ( 4√ 2, 2,0)，
= 2√ 2 + 2 2√ 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= 4√ 2 + 2 = 0
令 = 1，可得 = (1,2√ 2, 3)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
2√ 2 2
所以cos < ， >= = = ，
| | | | 1×√ 1+8+9 3
2
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
3
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(3)解：由(2)知平面 的法向量为 = (1,2√ 2, 3)，
设 ( , 0, )， > 0，则 = ( 2√ 2, 0, )，
若 //平面 ，则 ⊥ ，
√ 2所以 = 2√ 2 + 3 = 0，解得 = ，
2
√ 2 √ 2
所以 = ( , 0, ), = (2√ 2, 0,2√ 2)，
2 2
1
所以 = ，
4
3
故存在点 ，使 //平面 ，此时 = ．
4
18【. 答案】解：(1)因为椭圆 上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(√ 3 + √ 2)和2(√ 3 √ 2)，
+ = 2(√ 3 +√ 2)
所以{ ，
= 2(√ 3 √ 2)
解得{ = 2√ 3，
= 2√ 2
所以 = √ 2 2 = 2，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
12 4
1
(2)因为直线 的斜率为 ，
3
1
设直线 的方程为 = + ， ( 1 , 1)， ( 2, 2)， 3
1
= +
联立{ 32 2 ，消去 并整理得4
2 6 + 9 2 36 = 0，

+ = 1
12 4
此时 = ( 6 )2 144( 2 4) > 0，
4√ 3 4√ 3
解得 < < ，
3 3
3 9 2 36
由韦达定理得 1 + 2 = ， = ， 2 1 2 4
若| | = √ 10，
√ 1 √ 10此时 1+ √ ( 1 + 2)
2 4 21 2 = √ 16 3 = √ 10， 9 2
解得 = 2或 = 2，
1
当 = 2时，直线 的方程为 = + 2，
3
此时直线 过点 (3,1)，不满足条件；
1
当 = 2时，直线 的方程为 = 2，满足条件，
3
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1
所以直线 的方程为 = 2；
3
(3)证明：因为直线 ， 均不与 轴垂直，
所以直线 不经过点(3, 1)和(3,1)，
所以 ≠ 0且 ≠ 2，
1 1
1 1 ( 1+ 1)( 2+ 1)
由(2)知， 1 21 2 = =
3 3
1 3 2 3 ( 1 3)( 2 3)
1
9 1 2
1
3 ( 1)( 1 + 2)+ ( 1)
2
=
1 2 3( 1 + 2)+ 9
1 9 2 36 1 3 2
( 1) +( 1) 3 29 4 3 2 6 1= = = ．
9 2 36 3
3 +9 9
2 18 3
4 2
故 1 2为定值．
19.【答案】解：(1)因为 1 = 0，设公差为 ，
( 1)
所以 = ， 2
( 1)
令 = + 1，则 ∈ ，
2
( 1)
此时 = ( 1) = = ， 2
即对任意正自然数 ，存在正自然数 ，使得 = ，
所以，数列{ }是 数列 ；
(2)因为数列{ }的前 项和 = 2 1，
当 = 1时， 1 = 2 1 1，所以 1 = 1，
当 ≥ 2时， = 1 = 2 1 2 1 + 1，
所以 = 2 1，
所以{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 = 2 1 ， = 2
1，
假设数列{ }是“ 数列”，
则对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 = ，
当 = 1时，有2 1 = 1，则 = 1，与题意不符；
当 ≥ 2时，有2 1 = 2 1，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解，
所以对任意正整数 ，不存在正整数 ，使得 = ，
所以数列{ }不是“ 数列”；
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( 1)
(3)依题意， = 1 + ( 1) ， = + ， 2
若{ }是“ 数列”，
则对任意的 ∈ ，都存在 ∈ 使得 = ，
( 1)
即1 + ( 1) = + ，
2
1 ( 1)
所以 = + +1，
2
( 1)又因为 ∈ ， ∈ ，
2
所以对任意的 ∈
1
， ∈ ，且 < 0，

所以 = 1．
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