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河南省信阳市普通高中 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | = 2}， = { | = }，则 ∩ =
A. [0, +∞) B. {(0,0)，(1,1)} C. {0,1} D. [0,1]
2.已知角 的终边经过点 ( 12,5)，则cos =
5 5 12 12
A. B. C. D.
13 13 13 13
3.已知实数 ， 满足 > ，则“ > ”是“ > 0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在扇形 中(其中 为扇形的圆心)，∠ = 2，弦 = 2，则扇形 的面积是
1 1
A. B. C. sin 1 D. (sin 1)2
sin1 2(sin1)
5.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小
明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那
么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千
米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车
流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当 ∈ [20,200]时，车
流速度 是车流密度 的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，
单位：辆/小时)可以达到最大？
A. 60 B. 100 C. 140 D. 180
2
6.函数 ( ) = ln 2的零点所在的区间为
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
sin
7.函数 ( ) = ( ) cos 的部分图象可能是 +
A. B.
C. D.
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8.已知函数 ( ) = √ + 1 + ，若存在区间[ , ]( > ≥ 1)，使得函数 ( )在[ , ]上的值域为[2 , 2 ]，
则实数 的取值范围是
17 1 17
A. > B. 0 < ≤ C. ≤ 2 D. < ≤ 2
8 2 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
√ 2
9.设 = ， = 0.50.4， = 0.50.6，则
2
A. > B. > C. > D. >
10.已知正数 ， 满足2 + = 1，则( )
1 4 1 1
A. 8 ≤ 1 B. + ≥ 12 C. 4 2 + 2 ≥ D. ( + 1) ≤
2 4
11.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动.若某
阻尼器离开平衡位置的位移 (单位： )和时间 (单位： )满足函数关系： = sin( + )( > 0, >

0, | | < )，某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下(其中 ， ， ， 为未知数)，则下列
2
有关函数 = ( )的描述正确的是( )
3
+ 0 2 2 2
4 10

3 3
( ) 0 √ 3 0 0
16
A. 函数 ( )的图象关于点( , 0)对称
3
1
B. 函数 ( )的图象可由函数 = sin 的图象向右平移 个单位得到
3
C. 函数 ( )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4

D. 函数 ( )的图象与函数 = √ 3cos( + )的图象重合
2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 3
12.若cos ( + ) = ，则sin (2 ) =__________．
16 5 8
13.已知关于 的不等式 2 4 > 0的解集为{ | < 1或 > 3}，则不等式 2 4 ≤ 0的解集为
__________．
14.函数 ( ) = ln(√ 1 + 2 + 2 )是定义在 上的奇函数，且关于 的不等式 (2 sin ) + (cos2 ) ≥ 0
有解，则实数 的取值范围为__________．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)

tan( )sin( )sin( + )
已知 ( ) = 23 ．
cos(3 + )cos( )
2
(1)化简 ( )；
4
(2)若cos(2 ) = ，且 为第三象限角，求 ( )的值．
5
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log ( 1) + 4( > 0且 ≠ 1)．
(1)求函数 ( )的定义域；
(2)若函数图象过点 (3,3)，求 的值；
(3)若 ∈ [3,5]时，函数的最大值为6，求 值．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 为奇函数． 1+
(1)求 的值；
(2)判断并证明 ( )的单调性；
(3)若不等式 · ( ) (2 ) < 0对任意 > 0都成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
1
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 2满足 (2) < (3)．
(1)求函数 ( )的解析式；
5
(2)若函数 ( ) = (2 1) + 2 5， ∈ [ , 13]，是否存在实数 ，使得 ( )的最小值为 13，若存在，
2
求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
(1)求值：tan13 + tan47 + √ 3tan13 tan47 ；
(2)在非直角△ 中，求证：tan + tan + tan = tan · tan · tan ；
(3)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ∈ ，符号[ ]表示不大于 的最大整数，则
= [ ]称为“高斯函数”，例如[ 3.5] = 4，[2.5] = 2，[ 3] = 3.在非直角△ 中，角 、 、 满足
tan · tan · tan ≤ [tan ] + [tan ] + [tan ]，若 ≤ ≤ ，试求tan tan ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
23
12.【答案】
25
13.【答案】[ 4,1]
14.【答案】[2√ 3 4, +∞)

tan( )sin( )sin( + )
15.【答案】解：(1)由诱导公式可得： ( ) = 23
cos(3 + )cos( )
2

=
cos ( sin )
= ；
4 4
(2)因为cos(2 ) = ，所以 = ，
5 5
3
又因为 为第三象限角，所以 = √ 1 cos2 = ，
5
3 3
所以 = = ，所以 ( ) = = ．
cos 4 4
16.【答案】解：(1)由 1 > 0得 > 1，所以函数 ( )的定义域为{ | > 1}；
1
(2)因为 (3) = log (3 1) + 4 = 3，所以 = ； 2
(3)因为 ∈ [3,5]时函数最大值为6，
所以 > 1且 = 5时取到最大值6，
由 (5) = log (5 1) + 4 = 6，解得 = 2．
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0
17.【答案】解：(1)函数 ( ) = 为奇函数，其定义域为 (0) = 0 = 0，解得 = 1， 1+ 1+
1 1 1
此时 ( ) = ，满足 ( ) = = = ( )，即 ( )为奇函数， 1+ 1+ 1+
故 的值为1．
(2)减函数，证明如下：
1 2
由(1)知 ( ) =
1+
= 1 + ，
1+
2 2 2( 2 1)
1， 2 ∈ ，且 1 < 2，则 ( 1) ( 2) = = ， 1+ 1 1+ 2 (1+ 1)(1+ 2)
因为 1 < 2，所以
2 1 > 0，1 + 1 > 0，1 + 2 > 0，所以 ( 1) ( 2) > 0，
( 1) > ( 2)，即函数 ( )在 上单调递减;
1 1 2
(3)由题知：当 ∈ (0, +∞)， < 0恒成立;
1+ 1+ 2
2
(1+ )
则 > 2 ;令 =
， ∈ (1, +∞)，
1+
( +1)2 2 2 2 2
所以 > 2 = 1 + = 1 + ;又1 + ≤ 1 + = 2，当且仅当 = 1时等号成立，而 > 1，所以 +1 2+1 1 1 + + 1
2√
2
( +1)
2 < 2，则 ≥ 2. +1
所以实数 的取值范围为[2, +∞)
1
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = ( 2 + 1) 2是幂函数，
所以有 2 + 1 = 1，解得 = 0或 = 1，
1
当 = 0时，函数 ( ) = 2在区间(0, +∞)上是单调递减，不满足 (2) < (3)，不符合题意；
1
当 = 1时， ( ) = 2在区间(0, +∞)上是单调递增，满足 (2) < (3)，符合题意，
1
所以 ( ) = 2( ≥ 0)，
(2)假设存在实数 使得 ( )的最小值为 13，即 ( ) = 13，
由(1)得 ( ) = (2 1) + 2 5 = √ 2 1 + 2 5，
5
令 = √ 2 1，因为 ≤ ≤ 13，所以4 ≤ 2 1 ≤ 25，则2 ≤ √ 2 1 ≤ 5，即2 ≤ ≤ 5，此时2 = 2 + 1，
2
所以 ( ) = √ 2 1 + 2 5可化为 ( ) = + 2 + 1 5 = 2 + 4，此时 ( ) = ( ) ，即
( ) = 13，

则 ( )的图象开口向上，对称轴为 = ，
2

当 ≤ 2，即 ≥ 4时， ( )在[2,5]上单调递增，故 ( )
2
= (2) = 2 ，
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13
所以由 ( ) = 13，得2 = 13，即 = < 4，不满足题意，舍去； 2
2
当2 < < 5，即 10 < < 4时，易知 ( )
2
= ( ) = 4，
2 4
2
由 4 = 13，得 = 6或 = 6(舍去)，故 = 6；
4

当 ≥ 5，即 ≤ 10时， ( )在[2,5]上单调递减，故 ( )
2
= (5) = 5 + 21，
34
由5 + 21 = 13，得 = > 10，不满足题意，舍去；
5
综上：存在 = 6使得 ( )的最小值为 13，故 = 6．
tan13°+tan47°
19.【答案】解：(1) ∵ tan60° = tan(13° + 47°)，∴ tan60° = ，
1 tan13°tan47°
∴ √ 3 √ 3tan13°tan47° = tan13° + tan47°，
tan13° + tan47° + √ 3tan13°tan47° = √ 3．
(2)证明：在非直角 中， + + = π，则有 + = π ．
tan +tan
∴ tan( + ) = tan(π ) = tan = ．
1 tan tan
∴ tan + tan = tan + tan tan tan ，
∴ tan + tan + tan = tan tan tan ．
(3) ∵ tan + tan + tan = tan tan tan ，
又tan tan tan ≤ [tan ] + [tan ] + [tan ]得
∴∴ tan + tan + tan ≤ [tan ] + [tan ] + [tan ]．
∵ [tan ] ≤ tan ，[tan ] ≤ tan ，[tan ] ≤ tan ，
∴ tan + tan + tan ≥ [tan ] + [tan ] + [tan ]
∴ tan + tan + tan = [tan ] + [tan ] + [tan ]．
∴ tan 、tan 、tan 必是整数．
又∵ ≤ ≤ ，∴ ≤ 60°，∴ tan ≤ √ 3，∴ tan = 1．
∴ tan tan = 1 + tan + tan
∴ tan tan tan tan = 1
∴ (tan 1)(tan 1) = 2
∴ tan = 2，tan = 3．
∴ tan tan = 1．
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