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2024-2025学年河南省开封市高二上学期1月期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆若用矩形截某圆锥得到的椭圆与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.中，，，点在轴上，若边上的中线也是边上的高，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
6.已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知经过，两点的直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角可能为( )
A. B. C. D.
10.平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所形成的曲线可以是( )
A. 若，是圆心在原点的圆
B. 若，是焦点在轴上的椭圆
C. 若，是焦点在轴上的椭圆
D. 若，是焦点在轴上的双曲线
11.已知数列满足：，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
12.圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为_________．
已知等比数列的公比为，前项和为，若，则_________．
已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，且是顶角为的等腰三角形，写出的一条渐近线方程_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
如图，已知正四面体的棱长为，是棱的中点，是线段的中点，记，，．
用，，表示向量
求
14.本小题分
已知是等差数列，且，．
求的通项公式
设数列，若，求满足条件的最大整数．
15.本小题分
已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是．
求点的轨迹方程
若经过点的直线与点的轨迹相交于，两点，，为坐标原点，求线段的长．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是的中点，已知平面与平面的夹角为．
求的长
若是的中点，是与的交点，是线段上一点，且平面．
(ⅰ)求
(ⅱ)求直线到平面的距离．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点的坐标变换为点，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将，称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示依据以上信息，处理以下问题：
已知点按照二阶矩阵变换次得到点，求点的坐标
如图，将点绕原点按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵
如图，轴与直线是函数所对应的曲线的两条渐近线，判断是否为双曲线，若是请给予证明，若不是请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.；；或
13.解：
，所以
14.解：由得，，
由得，，，
所以
，
，
由，解得，，即，
所以满足条件的最大整数为．
15.解：设，
则，，
所以，化简得
易知直线的斜率存在，记为，设直线的方程为：，，，
联立得，所以
因为，所以即，
即，整理可得，
将代入，得，即，
所以．
16.解：如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
记，则，，，，中点
因为平面，平面，所以，
又，，，平面
所以平面，所以为平面的一个法向量，
又，，
设为平面的法向量，
有则
令，所以平面的一个法向量，
所以，，
，，解之，
由第问可知，，
设，则，
因为平面，所以，由第问可知
所以，
解之得，所以
因为平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，
，
所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为．

17.解：记，由题意得即，
即
设，，则，，，
故，
，
所以坐标变换公式为该变换所对应的二阶矩阵为
曲线是双曲线．
证明：考虑双曲线的图象关于两条渐近线的夹角的角平分线对称，设轴与直线的角平分线与轴所夹的锐角为，轴与直线所夹的锐角为，则，
易知，，由于，所以，，
设图象上任一点绕原点逆时针旋转后得到点，
由可知：
所以
代入，得，旋转后对应曲线方程为：，
即曲线绕原点逆时针旋转后为焦点在轴上，对称中心为坐标原点的双曲线，所以曲线是双曲线．
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