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山东省滨州市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.椭圆 + = 1的焦点坐标为( )
5 9
A. ( 2,0)和(2,0) B. (0, 2)和(0,2)
C. ( √ 5, 0)和(√ 5, 0) D. (0, √ 14)和(0, √ 14)
2.过点 (2,2)且与直线 + 2 + 1 = 0平行的直线的方程为( )
A. 2 + 6 = 0 B. 2 + + 6 = 0 C. + 2 6 = 0 D. + 2 + 6 = 0
3.已知点 为平行四边形 对角线的交点，点 为空间任意一点，则 + + + =( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
1
4.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ( ) = 2 ′(1)ln + ，则 ′(1) =( )

A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
5.与圆( + 4)2 + 2 = 4及圆 2 + 2 8 + 15 = 0都内切的圆的圆心在( )
A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 抛物线上
6.按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日
起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退
休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下：
1965年 1965年 1965年 1966年
出生时间 …
1月至4月 5月至8月 9月至12月 1月至4月
改革后法定
60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …
退休年龄
那么1973年5月出生的男职工退休年龄为( )
A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月
7.在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是正方形， = 2， 1 = 3，点 在棱 1上，若直线 1 1
6√ 5
到平面 的距离为 ，则 的值为( )
5 1
1 1 2
A. 1 B. C. D.
2 3 3
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8.如图所示，用一个与圆柱底面成 (0 < < )角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆， 1， 2为该椭圆的2

焦点， 为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1， = ，则下列结论不正确的是( )
3
√ 3
A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为
2
C. 满足∠ 1 2 = 90
的点 共有4个 D. | 1| | 2|的最大值为8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 3， 4 = 24，则下列结论正确的是( )
A. 3 = 12 B. 数列{ + 2}为等比数列

C. = 2 3 D.
2 = 2

10.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 、 、 分别是 、 1、 1 1的中点.则下列结论正
确的是( )
A. 1 1//平面
B. 1 ⊥平面
√ 6
C. 平面 与平面 夹角的余弦值为
3

D. 若动直线 1 与直线 1 夹角为30
，且与平面 交于点 ，则点 的轨迹构成的图形的面积为 ．
4
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( )
11.已知函数 ( )与其导函数 ′( )的部分图象如图所示，若函数 ( ) = ，则下列关于函数 ( )的结论不
正确的是( )
A. 在区间(3,6)上单调递减 B. 在区间( 3,1)上单调递增
C. 当 = 1时，函数 ( )有极小值 D. 当 = 3时，函数 ( )有极小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = 2 ln 在点(1,2)处的切线方程为 ．
13.定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列{ }是由正数组成的等方差数
1
列，且方公差为1， 1 = 2，则数列{ }的前 项和 = ． + +1
2 2
14.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的两个焦点分别是 1与 2，过 2作一条渐近线的垂线，垂足为 ，
延长 2 与另一条渐近线交于点 ，若 △ = 2 △ ( 为坐标原点)，则该双曲线的渐近线方程为 ． 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 1，点 是圆 与 轴的公共点，点 是圆 上到 轴距离最大的点．
(1)求直线 的方程;
(2)求与直线 垂直，且与圆 相切的直线的方程．
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16.(本小题12分)
如图，△ 和△ 所在平面垂直，且 = = ，∠ = ∠ = 120 ．
(1)求证： ⊥ ;
(2)若
1
= ，连接 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3
17.(本小题12分)
已知公差不为0的等差数列{ }中， 1 = 4，且 1， 3， 8成等比数列.数列{ }的前 项和为 ，满足3
2 2 + 2 = 0．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式;
, 为奇数,
(2)若数列{ }满足 = { 求数列{ }的前2 项和 2 ．
, 为偶数,
18.(本小题12分)
2
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线与椭圆 2 + = 1相交所得弦长为√ 3．
4
(1)求抛物线 的方程;
(2)若圆 过点 (0,2)，且圆心 在抛物线 上运动， 是圆 在 轴上截得的弦.求证：弦 的长为定值;
(3)过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的直线分别与抛物线 交于点 ， 和点 ， ，求四边形 面积的
最小值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 6 ， ∈
(1)当 = 7时，求函数 ( )的单调区间;
(2)若函数 ( )在定义域内单调递增，求 的取值范围;
(3)若函数 ( )有两个极值点 ， ，且 ( ) + ( 1 21 2 1 2) < + 恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 + 1 = 0
13.【答案】√ + 4 2
14.【答案】 = ±√ 3
15.【答案】解：对于圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 1，
令 = 0，则(0 1)2 + ( 1)2 = 1，解得 = 1，所以 (0,1)，
因为圆 的圆心坐标为(1,1)，半径 = 1，点 是圆 上到 轴距离最大的点，
所以 点的纵坐标为1 + 1 = 2，横坐标为1，即 (1,2)，
1 0
由直线的两点式方程可得直线 的方程为 = ，即 + 1 = 0．
2 1 1 0
(2)因为直线 的斜率 = 1，因为所求直线与直线 垂直，所以所求直线的斜率 = 1，
设所求直线方程为 = + ，即 + = 0，
已知圆 的圆心(1,1)，半径 = 1，
|1+1 | |2 |
圆心(1,1)到直线 + = 0的距离 = = = 1，则|2 | = √ 2，
√ 2
√ 12+12
解得 = 2 √ 2或 = 2 + √ 2，
所以所求直线方程为 + 2 + √ 2 = 0或 + 2 √ 2 = 0．
16.【答案】解：(1)延长 ，过点 作 ⊥ ，交 延长线于点 ，
由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，
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因为 平面 ，所以 ⊥ ．
由 = = ，∠ = ∠ = 120 ，
则 ≌ ，
可得 = ，∠ = ∠ ，又 = ，
得 ≌ ，则∠ = ∠ = 90 ，
故 ⊥ ，
又由 ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ．
(2)由(1)可知， ， ， 三线两两互相垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设 = = = 2，
则 (√ 3, 0,0)， (0,1,0)， (0,3,0)， (0,0, √ 3)，
由
1 1 √ 3
= = (0, 3,√ 3) = (0, 1, )，
3 3 3
所以 =
√ 3 √ 3
+ = ( √ 3, 3,0) + (0, 1, ) = ( √ 3, 2, )，
3 3
设平面 的一个法向量 1 = ( , , )，直线 与平面 所成角为 ，
可知 = (0,1, √ 3)， = (√ 3, 0, √ 3)，
1 = √ 3 = 0则{ ，取 = 1，得 1 = (1, √ 3, 1)，
1 = √ 3 √ 3 = 0
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| · 1 |
所以sin = |cos , 1 | =
| |·| 1 |
√ 3
| √ 3 + 2√ 3 + |
3
=
√ 22 × √ 5
3
4√ 3
= 3
2√ 110
=
110 ， √ 55
√ 3
2√ 110则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
55
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ( ≠ 0)，其通项公式为 = 1 + ( 1) ，
已知 1 = 4，则 3 = 4 + 2 ， 8 = 4 + 7 ，
因为 1， 3，
2
8成等比数列，则 3 = 1 8，
即(4 + 2 )2 = 4 × (4 + 7 )，
解得 = 3或0(舍去)，
所以数列{ }的通项公式为 = 4 + ( 1) × 3 = 3 + 1．
由3 2 2 + 2 = 0 ①，
当 = 1时，3 1 2 1 2 × 1 + 2 = 0，因为 1 = 1，所以3 1 2 1 = 0，解得 1 = 0，
当 ≥ 2时，3 1 2 1 2( 1) + 2 = 0 ②，
① ②得：3 2 2 + 2 [3 1 2 1 2( 1) + 2] = 0，
即：3 3 1 2( 1) 2 = 0，
因为 1 = ，所以3 3 1 2 2 = 0，即 = 3 1 + 2，
由 + 1 = 3( 1 + 1)，
所以数列{ + 1}是以 1 + 1 = 1为首项，3为公比的等比数列，
所以 + 1 = 1 × 3 1 = 3 1 ，
则 = 3 1 1．
综上，数列{ }的通项公式为 = 3 + 1，
数列{ }的通项公式为
1
= 3 1．
, 为奇数
(2)因为 = { ，
, 为偶数
所以 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
= ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
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= [4 + 10 + + (6 2)] + [(31 1) + (33 1) + + (32 1 1)]
(4 + 6 2) 3(1 9 )
= +
2 1 9
3(9 1)
= 3 2 + +
8
32 +1 3
= 3 2 + ．
8

18.【答案】解：(1)由已知，抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线为直线 = ，与椭圆相交线段的一个端点
2
坐标是 √ 3 ( , )，
2 2
2
把 √ 3 3 ( , )代入椭圆方程化简得 + = 1，解得 = 2．
2 2 4 16
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
(2)假设 在抛物线 上运动时弦 的长为定值，理由如下：
设 ( 0, 0)在抛物线 上，可知 ( 0, 0)到 轴距离为| 0|，
根据圆的弦长公式可知：| | = 2√ | |2 | |20 ，
由已知| |2 = 20 + ( 0 2)
2， 20 = 4 0，
所以| | = 2√ | |2 | |20 = 2√
2 2
0 + 0 4 0 + 4
2
0 = 4，
则 在抛物线 上运动时弦 的长的定值为4．
(3)解：若过点 且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与 轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
1
设过的 的两条直线的方程分别为 = + 1、 = + 1，其中 ≠ 0，

设直线 = + 1交抛物线 于点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
= + 1
由{ 2 2
2
得 (4 + 2) + 1 = 0，
= 4
= (4 2 + 2)2 4 = 16 4 + 16 2 > 0，
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由韦达定理可得 21 + 2 = 4 + 2，则| | = 2 + 1 +
2
2 = 4 + 4，
4
同理可得| | = 4 + 2，

1 1 4 1
所以，四边形 的面积 = | | | | = (4 + 2)(4 + 4
2) = 8(2 + 2 +
2 2 2
)

1
≥ 8(2 + 2√ 2 2) = 32，

当且仅当 2
1
= 2时，即当 = ±1时，等号成立，

即四边形 的面积的最小值为32．
19.【答案】解：(1) ( ) 的定义域为 ，
′( ) = 2 2 + 6，
当 = 7时， ′( ) = 2 2 7 + 6 = ( 2)(2 3)，
当
3 3
> 2或 < ，即 > ln2或 < ln 时， ′( ) > 0， ( )为增函数，
2 2
3
当ln < < ln2时， ′( ) < 0， ( )为减函数，
2
3 3
故 ( )的增区间为( ∞, ln )，(ln2,+∞)，减区间为(ln , ln2)．
2 2
(2)由 ( )在定义域内单调递增，
得 ′( ) ≥ 0对任意的 ∈ 恒成立，
即2 2
6
+ 6 0恒成立，即 2 + 恒成立．
6 6因为 > 0，所以2 + 2√ 2
= 4√ 3，
6 ln3当且仅当2 = ，即 = 时，等号成立， 2
所以 4√ 3，
即 的取值范围是( ∞, 4√ 3]；
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(3) ′( ) = 2 2 + 6，因为函数 ( ) 有两个极值点 1, 2，
所以方程2 2 + 6 = 0 有两个不相等的实数根 1, 2，
故 = 2

48 > 0且 1 + 2 = > 0, 1 2 = 3，
2
所以 > 4√ 3，
2
2 1 + 2 2 = ( 1 + 2)2 2 1 2 = 6,
4
1 + 2 = ln3，
又 ( ) + ( ) < 1 + 21 2 恒成立，
( 1)+ ( 2)即 < 恒成立， 1+ 2
2 2
( )+ ( ) 2 1+ 2 2 (

1 2 1+
2)+4( 1+ 2) 6 +4ln 3= = 4 2
12 8ln3
= ，
1+ 2 1+ 2 2
2
12 8ln3
设 ( ) = ( > 4√ 3)，
2
′ 1 12 8ln 3 24 16ln 3
2
则 ( ) = + = < 0，
2 2 2 2
在 ∈ (4√ 3,+∞)上恒成立，故 ( ) 在(4√ 3,+∞)上单调递减，
2√ 3
所以 ( ) < (4√ 3) = 5√ 3 + ln 3，
3
2√ 3
所以 5√ 3 + ln 3，
3
2√ 3
即实数 的取值范围为[ 5√ 3 + 3,+∞)．
3
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