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山东省烟台市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
23
1.cos( ) =( )
3
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
2.函数 ( ) = log2 的零点所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
3.已知点 (sin1, cos1)在角 终边上，则下列角中与 终边相同的是( )

A. 1 B. 1 C. 1 D. + 1
2 3 2
4.溶液酸碱度是通过 计算的， 的计算公式为 = lg[ +]，其中[ +]表示溶液中氢离子的浓度，单位
是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是2.7 × 10 2摩尔/升，则胃酸的 为( )
A. 3 2lg3 B. 3 + 2lg3 C. 3 3lg3 D. 3 + 3lg3
5.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧
和其所对的弦 围成，若弦 长度为2，弧 所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为( )
1 1 1 1 1 1
A. B. 2 C. D. tan1 sin 1 cos21 tan1 sin21 tan1
1
6.已知幂函数 ( )的图象经过点(2, )，则( )
4
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为
C. ( )为偶函数 D. ( )是其定义域上的减函数
5
7.设 = log23， = ， = log34，则 ， ， 的大小关系为( ) 4
A. > > B. > > C. > > D. > >

8.已知函数 ( ) = sin(sin + ) + cos(cos + )，则( )
2 2
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A. ( )为偶函数，且在[ , ]上单调递增 B. ( )为偶函数，且在[ , ]上单调递减
2 2

C. ( )为奇函数，且在[ , ]上单调递增 D. ( )为奇函数，且在[ , ]上单调递减
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = log (1 + ) + log (1 )( > 0，且 ≠ 1)，则( )
A. ( )的定义域为{ | 1 < < 1} B. ( )为偶函数
C. ( )在(0,1)上单调递减 D. ( )的最大值为0

10.已知函数 ( ) = sin( + )(0 < < 4)的图象关于直线 = 对称，则( )
3 12
A. ( )的最小正周期为

B. ( )的图象关于点( , 0)对称
3

C. ( )在区间(0, )上单调递增
6
4 11
D. 若 ( )在[0, ]上有3个零点，则 ∈ [ , )
3 6
11.若定义在 上的函数 ( )满足：对任意的 1 ∈ ( , +∞)，都存在唯一的 2 ∈ ( ∞, )，使得 ( 1) = ( 2)，
则称函数 ( )是“ ( )函数”，则下列说法正确的有( )
A. ( ) = | |是“ (1)函数”
B. ( ) = 2 1是“ ( 1)函数”
C. 若 ( ) = 2| |是“ (1)函数”，则 ≤ 1

+ 2, ≥ 2 4
D. 若 ( ) = { ( > 0)是“ (2)函数”，则 ≤ ≤ 4
| |, < 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.函数 = √ tan (2 + )的定义域为 ．
3
13.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100 ，最低点 与地面距离为8 ，24min转动一圈.若该摩天轮
上一吊箱 (视为质点)从 点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱 第4次距离地面158 时，所经历的时
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长为 (单位：min).
log
14.已知函数 ( ) = { 2
+ , 0 < < 2
( , ∈ )，且下列四个结论： ①6是 ( )的零点， ②3是 ( )的
, 2
零点， ③ ( )的零点之积为3， ④方程 ( ) = 3只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号
为 ;若方程 ( ) = 2 + 1有三个不等的实根，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
化简求值：
9
(1)( )0.5 ln√ 22+log23;
4

cos( + ) 2cos( )
(2)若tan = 2，求 23 的值．
sin( )+sin( )
2
16.(本小题12分)

已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示．
2
2 5
(1)若 ( ) = ，求cos( 2 )的值;
3 4
√ 3
(2)求方程 ( ) = 的解．
2
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17.(本小题12分)
某企业为了解每月广告投入费用 (单位：万元)与月利润 (单位：万元)的关系，统计了前三个月每月广告投
入费用 与月利润 的数据，如下表所示：
月份 第一个月 第二个月 第三个月
每月广告投入费用 (单位：万元) 2 4 8
月利润 (单位：万元) 4 8 31
(1)当每月广告投入费用不超过12万元时， 与 之间的关系有两个函数模型 = 2 + 与 = ( > 0)
可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符
合实际的函数模型; (2)已知每月广告投入费用超过12万元时， 与 满足关系 = 6 2 + 184 1216.结合
第(1)问的结果，求该企业每月广告投入费用 在什么范围时月利润不少于64万元
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0)图象上两条相邻的对称轴之间的距离为 ．
6 4
(1)求 ( )的单调递增区间;

(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ( )的图象，设 ( ) = [ ( )]2 2 ( ) + 1，若对
6

任意 1 ∈ [0, ]，存在 2 ∈ [0, ]，使得 ( 2) ≤ ( 1)成立，求实数 的取值范围． 4 6
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log (4 2 2
+1 + 2)( ∈ )的定义域为 ．
(1)求 的取值范围;
(2)讨论函数 ( )的单调性;
(3)给定函数 = ( )， ∈ ，若其图象与直线 = 存在公共点( 0, 0)，则称 0是 ( )的一个“不动点”;若
其图象与直线 = 存在公共点( 0, 0)，则称 0是 ( )的一个“次不动点”.若函数 ( )在[ 1,1]上仅有一
个“不动点”和一个“次不动点”，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】{ | + ≤ < + , ∈ }
6 2 12 2
13.【答案】40
1 1
14.【答案】②； ( , ]
2 2
9 1 3 1
15.【答案】解：(1)原式= √ ln 22 × 2log23 = 4 × 3 = 11
4 2 2 2
cos 2sin 1+2tan
(2)原式= = ，
sin cos 1+tan
1 2×2
因为tan = 2，代入上式得 = 3．
1 2
7 3
16.【答案】解：(1)由图象可知 = 2 × ( ) = ，
8 8
2 3
所以 = = 2，于是2 × + = + 2 ， ∈ ，解得 = + 2 ，又| | < ，所以 = ，
8 4 2 4

所以 ( ) = sin(2 + ).
4
2 2
因为 ( ) = ，所以sin(2 + ) = ，
3 4 3
5 3 2
所以cos( 2 ) = cos( (2 + )) = sin(2 + ) = ．
4 2 4 4 3
√ 3 2 5
(2)因为sin(2 + ) = ，所以2 + = 2 + 或2 + = 2 + .解得 = + 或 = + ， ∈
4 2 4 3 4 3 24 24
.
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17.【答案】解：(1)若选用函数 = 2 + ．
4 + = 4
将点(2,4)，(4,8)代入可得{ ．
16 + = 8
1 8 1 8
解得 = ， = ，所以 = 2 + ．
3 3 3 3
当 = 8时，得 = 24．
2
若选用函数 = ( > 0)，将点(2,4)，(4,8)代入可得{ = 44 ，解得 = 2， = √ 2，所以 = 2(√ 2)
．
= 8
当 = 8时，得 = 32，
因为32 31 < 31 24，即模型 = 2(√ 2) 与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为 =
2(√ 2) ．
(2)当0 < ≤ 12时，令 = 2(√ 2) ≥ 64，即 ≥ 10，
所以10 ≤ ≤ 12;
32
当 > 12时，由 6 2 + 184 1216 ≥ 64，解得 ≤ ≤ 20，所以12 < ≤ 20．
3
答：该企业每月广告投入费用 在[10,20]时月利润不少于64万元．
2
18.【答案】解：(1)由题意 = ，周期 = ， = = 4．
2 4 2

所以 ( ) = 2sin(4 + )，
6

令2 ≤ 4 + ≤ 2 + ， ∈ ，
2 6 2

解得 + ≤ ≤ + ，
6 2 12 2

所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )．
6 2 12 2

(2)由题意 ( ) = 2sin[4( ) + ] = 2cos4 ，
6 6

因为对任意 1 ∈ [0, ]，存在 2 ∈ [0, ]，使得 ( 2) ≤ ( 1)成立，所以 min( 2) ≤ min( 1). 4 6
7
当 1 ∈ [0, ]时，4 1 + ∈ [ , ]，所以 ( 1) = 2sin(4 + ) ∈ [ 1,2]． 4 6 6 6 1 6
2 1
当 2 ∈ [0, ]时，4 ∈ [0, ]， ≤ cos4 6 2 3 2 2 ≤ 1，即 ( 2) ∈ [ 2,1]．
令 = ( 2)，则 = ( 2) =
2 2 + 1， ∈ [ 2,1]，
若 < 2， = 2 2 + 1在[ 2,1]上单调递增，
< 2
因为 min( 2) ≤ min( 1)，所以{ ，解得 < 2， 5 + 4 ≤ 1
若 2 ≤ ≤ 1， = 2 2 + 1在[ 2, ]上单减，在[ , 1]上单增，
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2 ≤ ≤ 1
因为 min( 2) ≤ min( 1)，所以{ 2 ，解得 2 ≤ ≤ √ 2， 1 ≤ 1
若 > 1， = 2 2 + 1在[ 2,1]上单减，
> 1 3
因为 min( 2) ≤ min( 1)，所以{ ，解得 ≥ ． 2 2 ≤ 1 2
3
综上， 的取值范围为 ≤ √ 2或 ≥ ．
2
19.【答案】解：(1)因为函数 ( )的定义域为 ，所以4 2 +1 + 2 > 0在 上恒成立，
2 1
即 < + ，
2 2
2 1 1
因为 + ≥ √ 2，当且仅当 = 时，等号成立． 2 2 2
所以， 的取值范围为( ∞, √ 2).
(2)令2 = ，则 = 2 为( ∞, +∞)上的增函数，且 ∈ (0, +∞).
设 ( ) = 2 2 + 2．
当 ≤ 0时，函数 ( ) = 2 2 + 2在(0, +∞)上单调递增，又 = log2 为增函数，由复合函数单调性， ( )
在( ∞, +∞)上单增;
当0 < < √ 2时， ( )在(0, )上单减，在( , +∞)上单增，又 = log2 为增函数，由复合函数单调性， ( )
在( ∞, log2 )单减，在(log2 , +∞)单调递增．
综上，当 ≤ 0，函数 ( )在( ∞, +∞)上单调递增;当0 < < √ 2时，函数 ( )在( ∞, log2 )单调递减，在
(log2 , +∞)单调递增．
(3)设函数 ( )在[ 1,1]上的“不动点”为 ，则 ( ) = ，
2
即log2(4
2 +1 + 2) = ，整理得2 = 2 + 1， ∈ [ 1,1]， 2
1 2 1令2 = ， ∈ [ , 2]，则 ( ) = + 1在[ , √ 2]上单减，[√ 2, 2]上单增，
2 2
1 1 7 1
因当 ∈ [ , 2]时， ( ) = ， (2) = 2， (√ 2) = 2√ 2 1，所以若 = 2 与 ( )的图象在[ , 2]上仅有一个
2 2 2 2
7
交点，则2 ∈ (2, ]或2 = 2√ 2 1，
2
1
又由(1)知， < √ 2，所以1 < < √ 2或 = √ 2 ;
2
设函数 ( )在[ 1,1]上的“次不动点”为 ，则 ( ) = ，
即log2(4
2 +1 + 2) = ， ∈ [ 1,1]，所以4 2 +1 + 2 = 2 ，
23 +2 2 1
即2 = 2 ， ∈ [ 1,1]． 2
3
1 +2 1 1令2 = ， ∈ [ , 2]，则 ( ) = 2 ， ∈ [ , 2]， 2 2
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1
任取 1， 2 ∈ [ , 2]且 2 1
< 2，
31+2 1 1
3 3 2
2+2 2 1 1 2+2
2
1 2
2
2
3
2
2
1 2
2
2 1+
2
1 (
2
1 2)( 1
2
2 2 1 2+ 1+ 2)则 ( 1) ( 2) = 2 2 = 2 2
= 2 2 =
1 2 1 2 1 2
2
( 1 2)[( 1 2 1) +( 1+ 2 1)]
2 2 ． 1 2
1
因为 1， 2 ∈ [ , 2]且 1 < 2，所以 1 2 < 0，( 1 2 1)
2 > 0， 1 + 2 1 > 0， 2
1
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，所以 ( )在[ , 2]上单增， 2
1 1 11
因为 = 2 与 ( )的图象在[ , 2]上仅有一个交点，且 ( ) ∈ [ , ].
2 2 4
1 11 11 1 11
所以2 ∈ [ , ]，又因为 < √ 2，故 ∈ [ , ].
2 4 8 4 8
11
综上，若函数 ( )在[ 1,1]上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”， 的取值范围为1 < ≤ 或 =
8
1
√ 2 ．
2
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