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山东省临沂市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin 120° =
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { |√ 2 < 2 < 8}，则 ∩ =
1 1
A. ( 1,4) B. ( , 2) C. ( , 1) D. (0,2)
2 2
3.函数 ( ) = ln + 2 6的零点所在的区间是
A. (0,1) B. (1,2) C. (2, ) D. ( , 3)
1
( ) , 0 1
4.已知函数 ( ) = { 3 ，则 [ ( )] =
3 , > 0
9
1 1
A. B. C. 9 D. 27
27 9
5
5.若函数 ( )满足 ( + 1) = ( 1)，且当 ∈ [0,2]时， ( ) = ( 1)2，则 ( ) =
2
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
6.设 = lg 2， = 20.2， = cos 2，则
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.“ < 2”是“ 2 + 1 ≥ 0在 ∈ [2, +∞)上恒成立”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它
是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围
2
成的曲边三角形．如图，若莱洛三角形的 长为 ，则该莱洛三角形的面积为( ) 3
A. 2 3√ 3 B. 2( √ 3) C. 2 √ 3 D. √ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若 > > 0，则
1 1 +1
A. > B. < C. < D. >
+1

10.已知函数 ( ) = tan (2 )，则( )
4
3
A. ( )关于( , 0)对称
8

B. ( )的最小正周期为
2

C. ( )的定义域为{ | ≠ + , ∈ }
2 8

D. ( )在(0, )上单调递增
4
|4 1|, ≤ 1
11.已知函数 ( ) = { ，若关于 的方程 ( ) = 0有四个不同的实数根 ， ， ， ，
| 3( 1)|, > 1
1 2 3 4
且 1 < 2 < 3 < 4，则( )
A. 的取值范围是(0,2) B. 4 1 + 4 2 = 2
1 1
C. 3 + 4 4的最小值是9 D. + = 1 3 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.log23 × log34 =__________．
2sin cos
13.已知 ∈ (0, )，则 的最大值为__________．
2 2 +16 2
14.2025年山东省春节晚会准备在某市召开，该市筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，
1
该场所空气中的含药量 (毫克/每立方米)与时间 (小时)成正比(0 < < )，药物喷洒完毕后(此时含药量
4
1 1 1
= )， 与 满足关系 = 3 ( 为常数， ≥ ).据测定，空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，
3 4 9
该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前__________分钟．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
5
已知 为第三象限角，且cos = ．
13
(1)求sin ，tan 的值；
sin ( + )+2cos ( )
(2)求 3 的值．
sin ( + )+cos ( + )
2 2
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log2(3 + ) + log2( )( > 0)为偶函数．
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(1)求 的值；
(2)若 ( 1) < log25，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
1 1
(1)若 ( 1) = 2，且 > 0， > 0，求 + 的最小值；

(2)若 = ，解关于 的不等式 ( ) ≤ 0．
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2sin ( ) + 1( > 0)的最小正周期为 ．
4
(1)求 ；
(2)求 ( )在[0, ]上的单调递增区间；

(3)若不等式 ( ) ≥ 4在 ∈ [0, ]内恒成立，求 的取值范围．
2
19.(本小题12分)
若函数 ( )满足：对于任意正数 ， 都有 ( ) > 0， ( ) > 0且 ( + ) > ( ) + ( )，则称 ( )为“速
增函数”．
(1)试判断函数 1( ) =
2 1与 2( ) = log3( + 1)是否是“速增函数”；
(2)若 ( ) = 3 为“速增函数”，求 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若 1满足3 + ( ) = 4， 2满足3 + 3 3( 1) = 5，求 1 + 2的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
1
13.【答案】
4
14.【答案】75
5
15.【答案】解：(1) ∵ 是第三象限角，且 = ，
13
12
∴ = √ 1 cos2 = ，
13
12
∴ = = ；
cos 5
sin( + ) + 2 ( )
(2)
3
sin( + ) + cos( + )
2 2
12
2 +2 +2 22
= = = 5 = ．
cos +sin 1+tan 121+ 17
5
16.【答案】解：(1) ∵ > 0，∴ ( )的定义域为( 3, )．
∵ ( )为偶函数，∴ ( )的定义域一定关于原点对称，即 = 3．
此时 ( ) = log2(3 + ) + log2(3 )， ( ) = log2(3 ) + log2(3 + )，满足 ( ) = ( )，∴ = 3
(2)由(1)知 ( ) = log2(3 + ) + log2(3 )，则 ( 1) = log2(2 + ) + log2(4 )，
2 + > 0,
故 ( 1) < log25可转化为{4 > 0, 解得 2 < < 1或3 < < 4，
(2 + )(4 ) < 5,
故实数 的取值范围为( 2, 1) ∪ (3,4)．
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17.【答案】解：(1)由题意得 ( 1) = 1 + + = 2，得 + = 1，
1 1 1 1
又 > 0， > 0，所以 + = ( + ) × ( + ) = 2 + + ≥ 4，

1
当且仅当 = ，即 = = 时取等号，
2
1 1
所以 + 的最小值为4；

(2)当 = 时，不等式 ( ) ≤ 0，即 2 ( + 1) + ≤ 0，即( )( 1) ≤ 0，
当 = 1时，不等式即为( 1)2 ≤ 0，解得 = 1，
当 > 1时，解得1 ≤ ≤ ，
当 < 1时，解得 ≤ ≤ 1，
综上可得：当 = 1时，不等式的解集为{1};当 > 1时，不等式的解集为[1, ];
当 < 1时，不等式的解集为[ , 1]．
2
18.【答案】解：(1)由 = = ，得 = 2．


(2)由(1)知 ( ) = 2sin(2 ) + 1，
4
3
由 + 2 ≤ 2 ≤ 2 + ， ∈ ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 4 2 8 8
3 3
所以当 = 0时， ≤ ≤ ，又 ∈ [0, ]，所以0 ≤ ≤ ，
8 8 8
7 11 7
当 = 1时， ≤ ≤ ，又 ∈ [0, ]，所以 ≤ ≤ ，
8 8 8
3 7
所以函数 ( )在[0, ]上的单调递增区间为[0, ]和[ , ].
8 8

(3)因为不等式 ( ) ≥ 4在 ∈ [0, ]内恒成立，
2

所以 ≥ 2sin(2 ) 3在 ∈ [0, ]内恒成立，
4 2

令 ( ) = 2sin(2 ) 3， ∈ [0, ]，
4 2
3
则 ≥ ( )max，当0 ≤ ≤ 时， ≤ 2 ≤ ， 2 4 4 4
√ 2
则 ≤ sin(2 ) ≤ 1， √ 2 3 ≤ ( ) ≤ 1，
2 4
故 的取值范围为[ 1, +∞)
1 1 3
19.【答案】解：(1)对于函数 21( ) = 1，当 = > 0时， 1( ) = < 0不符合 ( ) > 0， 2 2 4
故 1( ) =
2 1不是“速增函数”
对于函数 2( ) = log3( + 1)，当 = = 2时， 2(2) + 2(2) = 2 > log35 = 2(4)，
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故 2( ) = log3( + 1)不是“速增函数”．
(2) ∵ ( ) = 3 为“速增函数”，∴ > 0有 ( ) > 0，即3 > 0在(0, +∞)恒成立，
∴ 1 ≥ 0，∴ ≤ 1， > 0， > 0时有 ( + ) > ( ) + ( )，
∴ 3 + > 3 + 3 ，∴ 3 + 3 3 > ，
∴ 3 + + 1 3 3 > 1 ，即3 (3 1) + (1 3 ) > 1 ，
∴ (3 1)(3 1) > 1 对一切正数 ， 恒成立，∴ 1 ≤ 0，∴ ≥ 1，
∴ 的取值范围是{1}．
5
(3)由(2)知 ( ) = 3 1，又由题意得3 + 3 1 = 5，即 + 3 1 11 1 = ， 3
5
由3 2 + 3log3( 2 1) = 5得 2 + log3( 2 1) = ， 3
令 ( ) = 3 + ， ∈ ，则 ( 1) = 3 1 1
5 2
1 + 1 1 = 1 = ， 3 3
[log log3 ( 2 1)
5 2
3( 2 1)] = 3 + log3( 2 1) = 2 1 + log3( 2 1) = 1 = ， 3 3
( 1 1) = [log3( 2 1)]，
∵ ( ) = 3 + 在 上单调递增，∴ 1 1 = log3( 2 1)，
5 8
∴ 1 = 1 + log3( 2 1)，∴ 1 + 2 = 1 + 2 + log3( 2 1) = 1 + = ． 3 3
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