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广东省深圳市宝安区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 2, 1,0,1,2}，集合 = { ∈ | 2 ≤ 1}，则 =( )
A. { 2, 1,0,1} B. {2} C. { 1,0,1} D. { 2,2}
2.cos( 1050°)的值为( )
√ 3 √ 3 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.命题“ ∈ ， 2 > ”的否定是( )
A. ∈ ， 2 < B. ∈ ， 2 <
C. ∈ ， 2 ≤ D. ∈ ， 2 ≤
3
4.记函数 ( ) = 2 的零点为 0，则 0 ∈( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5.已知 = 1， = 2√ 2， =
2 + 1，( ∈ )，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.“ = log( 1) 在定义域内是增函数”是“函数 ( ) = (
2 7 + 13) 是幂函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.已知函数 ( ) = 2 (2 + )，下列说法正确的是( )
6
A. ( )的周期为2

B. ( )在 ∈ [ , + ], ( ∈ )上单调递减
3 6

C. 当 = + , ( ∈ )时， ( )取得最大值
6

D. ( ) > ( )
2 12
8.已知定义在 上的奇函数 ( )，当0 ≤ ≤ 1时， ( ) = 4 + 2 1，若 ( ) = ( + 2)恒成立，则函
数 ( ) = ( ) + 1的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于角 的说法中，正确的为( )
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A. 若 的终边在 轴上，则 = ， ∈

B. 若 是第二象限角，则 不是第二象限角
2
3√ 10
C. 若 = 3，则 =
10
D. 若扇形的圆心角为 ，半径为2，则该扇形的面积为2
10.下列选项正确的是( )
2025
A. sin( + ) =
2
B. ∈ ，使sin3 + cos3 > 1
1 2 2√ 2
C. 若sin( + ) = , ∈ ( , 0)，则cos( ) =
3 3 2 3 3
2 2
D. 曲线 = 与 = 2 在 ∈ ( , )有6个交点
3 3
1
11.已知 > 0， > 0，且 = 1 ，则( )

1 1 1
A. 的最大值为 B. + 22 的最小值为 4 4
1
C. 的最小值为√ 2 1 D. + 的最小值为4
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
+2
12.设不等式 > 2的解集为( , )，则 = ______．
+1

13.已知 = ln( + 1)为奇函数，则实数 的值是______．
+1
14.若 + 2 1 = 5， + log2 = 4，则 + = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知集合 = { | < 2 < 2}， = { |( 1)( 2) < 0}．
4
(1)当 = 2时，求 ∪ ；
(2)当 > 0，且 ∩ = 时，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
1
设函数 ( ) = ．

(1)用定义证明： ( )在区间(0, +∞)上单调递增；
3
(2)设 > 1，求不等式 ( 2 ) > 的解集． 2
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17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( 5)( 3)，( > 0, ≠ 1)．
(1)求函数 ( )的最小值；
(2)当且仅当 = 2时， ( )取得最小值，求 ( )在 ∈ [ 1,3]的值域；
(3)若 = 3，对 ∈ [1,2]， ( ) ≥ 3 1恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产
2( 2 + 17),0 ≤ ≤ 2
量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ( ) = { 8 ，且单株施用肥
50 , 2 < ≤ 5
1
料及其它成本总投入为20 + 10元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该
水果树的单株利润为 ( )(单位：元)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 2[( 2) + ]和 ( ) = log[ + (2 3)]，且 ∈ ．
5
(1)若 ( )的最小值为 ，求实数 的值．
2
(2)若 ( )与 ( )的图像有且仅有一个交点，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】 2
14.【答案】5
1
15.【答案】解：(1)因为 = { | < 2 < 2} = { | 2 < < 1}， = { |( 1)( 2) < 0}，
4
当 = 2时， = { | > 1或 < 1}，
所以 ∪ = { | ≠ 1}；
2
(2)当 > 0， = { |( 1)( 2) < 0} = { |( 1)( ) < 0}，

因为 ∩ = ，
2
所以 ≥ 1，

所以0 < ≤ 2．
故实数 的取值范围为(0,2]．
16.【答案】解：(1)证明：设 1， 2是任意实数且0 < 1 < 2，
1 1 1
则 ( 1) ( 2) = 1 ( 2 ) = ( 1 2)(1 + )， 1 2 1 2
因为 1， 2 ∈ (0, +∞)且 1 < 2，所以 1 2 < 0， 1 2 > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，故 ( )在(0, +∞)上单调递增；
2 1
(2)根据题意，因为 2 =
2 = ，
2 2
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1
1
而 √ 2 = = 21 1 2 = 2 ， 2 2 22 2

所以 √ 2
1
2 = 2 = ( 2 )， 2 2
1 3
又 (2) = 2 = ，
2 2
当 > 1时，log2 > 0，且 ( )在(0, +∞)上单调递增，
3
则不等式 √ 2
2
2 > ，即 (log ) > (2)，
2 2
则有log2 > 2，解得 > 4，
即该不等式的解集为(4, +∞)．
17.【答案】解：令 = ，
(1) ( ) = ( 5)( 3)可化为 ( ) = 2 8 + 15， > 0，
根据二次函数的性质可知，当 = 4时，函数取得最小值 1；
(2)当且仅当 = 2时，即 2 = 4时， ( )取得最小值，
所以 = 2，
1
当 1 ≤ ≤ 3时， ≤ 2 ≤ 8，
2
根据二次函数的性质可知，当2 = 8时，函数取得最大值15，当2 = 4时，函数取得最小值 1，
故 ( )在 ∈ [ 1,3]的值域为[ 1,15]；
(3)若 = 3，则 ( ) = (3 5)(3 3)，
对 ∈ [1,2]， ( ) = (3 5)(3 3) ≥ 3 1恒成立，
16
所以 ≤ 3 + 8对 ∈ [1,2]恒成立， 3
当 ∈ [1,2]时，3 ≤ 3 ≤ 9，
16
根据对勾函数单调性可知，当3 = 4时，3 + 8取得最小值0， 3
故 ≤ 0，
所以 的范围为{ | ≤ 0}．
18.【答案】解：(1)由已知 ( ) = 10 ( ) (20 + 10)，
2( 2 + 17),0 ≤ ≤ 2
又 ( ) = { 8 ，
50 , 2 < ≤ 5
1
20( 2 + 17) (20 + 10),0 ≤ ≤ 2
∴ ( ) = { 80 ，
500 (20 + 10),2 < ≤ 5
1
第 5 页，共 7 页
20 2 20 + 330,0 ≤ ≤ 2
整理得： ( ) = { 80 ；
490 20 , 2 < ≤ 5
1
1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 20 2 20 + 330 = 20( )2 + 325，
2
∴当0 ≤ ≤ 2时， ( ) ≤ (2) = 370；
80 80
当2 < ≤ 5时， ( ) = 490 20 = 490 [ + 20( 1) + 20]
1 1
80 80
= 470 [ + 20( 1)] ≤ 470 2√ 20( 1) = 390，
1 1
80
当且仅当 = 20( 1)，即 = 3时等号成立， ( ) = 390， 1
∵ 370 < 390，∴ ( )的最大值为390．
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．

19.【答案】解：(1)由题可知：函数 = ( 2) + 的最小值为4√ 2，

①当 > 2时， > 0，此时 = 2√ ( 2) = 4√ 2 = 4，
2
②当 = 2时， = ，此时无最小值，


③当0 < < 2时， < √ 或0 < < √ ， = ( 2) + 在这两段上的取值范围均为(0, +∞)，故
2 2
不成立．
④当 = 0时， = 2 ，此时无最小值，

⑤当 < 0时， < 0，此时 = ( 2) + 有最小值，无最大值， = 2√ ( 2) = 4√ 2 = 2，
综上： = 4或 = 2；

( 2) + = + (2 3), ①

(2)由题可知{ ( 2) + > 0, ②

+ (2 3) > 0, ③
对于①，可得( 3) 2 (2 3) + = 0，即[( 3) ]( 1) = 0，
( )当 = 3时，只有一个零点 = 1，代入②③检验成立．

( )当 ≠ 3时，方程有两个零点 1 = ， 2 = 1，由题只能有一个零点满足题意， 3
( 2)
+ 3 > 0
若 = 满足，则{ 31 ，解得 > 3， 3 + 2 3 > 0
3
2 + > 0
若 2 = 1满足②③，则{ ，解得 > 1， 2 2 > 0
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若 2 = 1满足， 1 = 不满足，即1 < ≤ 3， 3

若 2 = 1不满足， 1 = 满足，此时 不存在， 3
故 ∈ (1,3]．
第 7 页，共 7 页

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