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答案详解
专题一　三角函数的图象和性质讲义
二、回归真题
1.C　[因为函数y=2sin,
所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,
所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示,
由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.]
2.BC　[对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z,又g≠0,故A错误;
对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;
对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程为2x-+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.]
3.2　[由题意知f(x)=sin x-,当x∈[0,π]时,x-,∴sin,
于是f(x)∈[-,2],故f(x)在[0,π]上的最大值为2.]
考点探究
例1　(1)C　(2)B　[(1)由图象可知,A=2,由f(0)=f可得,T=π,又T=,所以,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ).由f可得,f=-2,所以f=-2,即+2kπ,k∈Z,即φ=-π+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin,则f.故选C.
(2)依题意,g(x)=f+φ,由g(x)是偶函数,得-,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,而|φ|<,取k=-1,则φ=-.故选B.]
训练1　(1)B　(2)D　[(1)由题意ωx+φ=,则x=,所以T.
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为,所以解得
所以2y1=y2=f(x2)=f=sin=cos(2ωx1+2φ)
=1-2sin2(ωx1+φ)=1-2,所以2+2y1-1=0,又由图可知y1>0,所以y1=.故选B.
(2)观察图象可知函数为偶函数,对于A,f(-x)=sin(tan(-x))=sin(-tan x)=-sin(tan x)=-f(x),为奇函数,排除;
对于B,f(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sin x)=-tan(sin x)=-f(x),为奇函数,排除;同理,C,D选项为偶函数,而对于C项,其定义域为,k∈Z,不是R,舍去,故D正确.故选D.]
例2　(1)D　(2)D　[(1)由说法②可得ω=1,说法③可得,则T=π=,则ω=2,②和③相互矛盾;当①②④成立时,由题意A=3,ω=1,,k∈Z.因为φ∈,故k=0,φ=,即f(x)=3sin,f;说法①③④成立时,由题意A=3,ω=2,,k∈Z,φ=kπ-,故不合题意.故选D.
(2)对于A,因为f(x+π)=sin(x+π)+sin(2x+2π)=-sin x+sin 2x≠f(x),故周期不是π,故A错误;对于B,因为函数y=sin x的最大值为1,y=,故两个函数同时取最大值时,f(x)的最大值为,此时需满足x=+2kπ,k∈Z且2x=+2kπ,k∈Z,不能同时成立,故最大值不能同时取到,故f(x)的最大值不为,则B错误;对于C,f(π-x)=sin(π-x)+sin[2(π-x)]=sin x-sin 2x,则f(x)+f(π-x)=2sin x≠0,故f(x)的图象不关于点对称,C错误;对于D,因为f(x)=sin x+sin 2x=sin x(1+cos x)=0时,sin x=0,又x∈[0,π],所以x=0或者x=π;或者1+cos x=0,此时cos x=-1,又x∈[0,π],所以x=π,综上可知,f(x)在区间
[0,π]上有2个零点,故D正确,故选D.]
训练2　(1)BC　(2)ACD　[(1)因为函数f(x)=2sin(ω>0)图象关于点中心对称,所以=kπ(k∈Z),可得ω=4k+(k∈Z),因为ω>0,可得ω=4k+(k∈N),所以f(x)=2sin(k∈N).对于A选项,f(x)的最小正周期为T=≤3π(k∈N),A错;
对于B选项,f=2sin=2sin=1(k∈N),B对;
对于C选项,f(π)=2sin=2(k∈N),故函数f(x)的图象关于直线x=π对称,C对;
对于D选项,将f(x)的图象向左平移个单位后,可得到函数y=
2sin=2sin
=故f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数,D错.故选BC.
(2)因为g(x)=sin
=cos,将函数f(x)的图象右移,
将函数f(x)的图象右移,故A正确,B错误;由A选项可知,g(x)=f,所以函数f(x)与g(x)=f对称,故C正确;
若函数f(x)与g(x)的图象关于点对称,则在f(x)上取点A(x1,y1)关于-x1,-y1必在g(x)上,所以y1=cos 2x1,所以g=-cos 2x1=-y1,故D正确.故选ACD.]
例3　(1)D　(2)C　[(1)若0≤x<,则φ≤x+φ<+φ,又因为0<φ<π,函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,所以当+φ≥π,即φ≥时,只需满足,此时;当+φ<π,即φ<时,函数一定存在最大值,要让函数无最小值,则,此时,综上,,即φ的取值范围是.故选D.
(2)由图可知函数过点(0,),所以f(0)=2sin φ=,即sin φ=,又0<φ<π,所以φ=,依题意可得ω>0,若φ=则靠近
y轴的最大值的横坐标不可能为负数,故舍去;所以φ=,即f(x)=2sinωx+,因为x∈,所以ωx+.
又y=sin x,x∈的图象如图所示:
要使函数f(x)在区间恰有一条对称轴和一个对称中心,则<2π,解得,即ω的取值范围是.故选C.]
训练3　(1)A　(2)
[(1)由题意得,函数f(x)的单调增区间为-π+2kπ≤ωx-≤2kπ(k∈Z),且ω>0,解得(k∈Z).由题意可知:(k∈Z).于是k(k∈Z).又ω>0,于是0<ω≤.故选A.
(2)由于f(x)在区间上有且只有两个零点,所以,即 3<ω≤9,由f(x)=0得,ωx+=kπ,k∈Z,∵x∈,
∴ωx+.
∴
解得,所以ω的取值范围是.]
答案详解
专题一　三角函数的图象和性质练习
1.C　[由图可得:A=2,π,即T=π=,即ω=±2,观察各选项可知,本题考虑ω=2即可,则y=2sin(2x+φ),把点代入y=2sin(2x+φ)中,可得sin=1,故+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以y=2sin2x+.故选C.]
2.C　[由题意T==π,解得ω=2,所以f(x)=cos+1,当x∈时,t=2x+,所以f(x)在区间,当且仅当x=0时等号成立.故选C.]
3.A　[由题图可知f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-,又|φ|<,所以φ=-,又f(x)=2sin(ωx+φ)对称,且f=2,因为T>π且ω>0,所以>π,解得0<ω<2,所以-,所以,解得ω=,所以f(x)=2sin,所以f
=2sin=1.故选A.]
4.C　[设y1=4|cos t|,y2=的大致图象,当t=5π时,y1=4>=y2;当t=6π时,y1=4<=y2.根据图象可得两个函数共有11个交点.故选C.]
5.B　[由三角函数的图象变换规律可知,g(x)=sin,x∈,则ωx-,因为函数g(x)在-,0上单调递增,所以-,且ω>0,得0<ω≤.故选B.]
6.D　[根据题意可知若x∈,则可得ωx-,显然当x=0时,可得2sin,由f(x)的值域为,利用三角函数图象性质可得+π,解得,即ω的取值范围是.故选D.]
7.D　[ω>0,当x∈[0,π]时,ωx-,设ωx-=t,如图作出函数y=sin t的图象,若f(x)有且仅有三个零点,则y=sin t在有两个最小值点,有一个或两个最大值点,故A,B正确;由于函数y=f(x)在[0,π]上有且只有3个零点,由图象可知2π≤πω-<3π,解得,C正确;当x∈时,ωx-,由<0,所以y=sin t在上单调递减,在上单调递增,D错误.故选D.]
8.A　[由sin x-cos x=,若sin x要使f(x)=a有4个不同实根x1,x2,x3,x4(x1x1+x2=-,x3+x4=π,
故,且9.AD　[把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin=2cos 2x的图象,A正确;把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin2x-的图象,B错误;把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin2x+的图象,C错误;把函数y=2sin2x-个单位长度,可得函数y=2sin=2cos 2x的图象,D正确;故选AD.]
10.AC　[对A,由fπ=0,故A正确;对B,f(x)的图象向右平移sin 2x,显然其为奇函数,故B错误;对C,当x∈时,则2x+,由余弦函数单调性知,f(x)在区间上单调递减,故C正确;对于D,由f(x)=1,得cos,解得x=+kπ,k∈Z,f(x)在区间(0,m)上与y=1有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:,,,,,,而第7个交点的横坐标为,∴,故D错误.故选AC.]
11.BD　[由T= Tω=2π,又f(T)=2cos(ωT+φ)=,可得cos φ=,又0<φ<π,则φ=,即f(x)=2cos,若f(x)在上单调,则π,即,令t=ωx+,则-π<π,即y=2cos t在-,上单调递减,即-,即,此时ymin≥=1,此时ymax-ymin≤2-1=1,不符合题意,所以f(x)在[-,]上不单调,即y=2cos t在-,上不单调,又ymax-ymin=3,即 ω≤3,即0<ω≤3,即π,-,若ymin=2cos,此时-,符合题意;若ymin=2cos,此时=π,不符合题意;综上可得,ω=,φ=,即f(x)=2cos,对于A,f(0)=2cos ,故错误;对于B,f=1,f=1,故B正确;对于C,当x∈,则,且y=2cos x在0,π上先递减后递增,故C错误;对于D,因为f'(x)=-3sin,所以f'(0)=
-,f(0)=,可得y=x是y=f(x)在(0,f(0))处的切线,故D正确;故选BD.]
12.-　[由T==π(ω>0)得,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以取k=1,则φ=-.]
13.　[由题意可知,f是函数的最大值,则ω·+2kπ,k∈Z,得ω=+3k,k∈Z,且在区间上无最小值,所以,所以0<ω≤3,所以ω=.]
14.　[令f(x)-1=2sin-1=0,即sin,当x∈(0,π)时,ωx+,即有2π+,解得2<ω≤.]专题一　三角函数的图象和性质（讲义）
一、考情分析
高频考点 2025年高考预测
图象变换(三角函数图象的平移、伸缩变换) 继续以选择、填空题形式考查三角函数的图象、性质及应用,难度中等偏下
图象识别(辨别函数图象、求解析式中参数值)
图象、性质应用(判断零点个数、解不等式、考查最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性等)
二、回归真题
1.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
3.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.
三、考点探究
考点一　三角函数的图象与解析式
例1　(1)(2024·衡阳二联)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,f(0)=f,则f等于(　　)
A.0 B.-1 C.-
(2)(2024·安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)=3sin(2x+φ)个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若g(x)是偶函数,则φ为(　　)
A.
总结　1.左右平移,即把x换为x+φ(φ>0时左移,φ<0时右移),横坐标的伸缩,即把x换成x(ω>0).
2.由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的步骤:先定A,再定ω,最后利用“五点法”中的最值点或零点确定φ(用零点时要分清第几个零点).
3.若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);若y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z).
训练1　(1)(2024·武汉调研)如图,在函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象中,若,则点A的纵坐标为(　　)
A.
(2)(2024·广州综合测试)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=sin(tan x) B.f(x)=tan(sin x)
C.f(x)=cos(tan x) D.f(x)=tan(cos x)
考点二　三角函数的性质及应用
例2　(1)(2024·南京、盐城模拟)关于函数f(x)=Asin(ωx+φ),有下列说法:
①f(x)的最大值为3;
②f(x)的图象可由y=3sin x的图象平移得到;
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为;
④f(x)的图象关于直线x=对称.
若有且仅有一个说法是错误的,则f等于(　　)
A.-
(2)(2024·郑州二模)声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,但我们平
时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+
sin 2x(x∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为π
B.f(x)的最大值为
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间[0,π]上有2个零点
总结　1.研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,注意以下几点:(1)把ω化为正数;(2)把ωx+φ看作一个整体(令t=ωx+φ);(3)结合y=Asin t的图象进行分析.
2.注意是研究一个函数的性质,还是两个函数之间的关系.
训练2　(1)(多选)(2024·浙江七彩阳光联盟联考)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象关于点中心对称,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期3π
B.f=1
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象向左平移个单位后关于y轴对称
(2)(多选)(2024·杭州调研)已知函数f(x)=cos 2x,g(x)=sin,则下列结论正确的是(　　)
A.将函数f(x)的图象右移个单位可得到函数g(x)的图象
B.将函数f(x)的图象右移个单位可得到函数g(x)的图象
C.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数f(x)与g(x)的图象关于点对称
考点三　三角函数中参数的最值(范围)
例3　(1)(2024·武昌质检)已知函数f(x)=sin(x+φ),0<φ<π,若函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,则φ的取值范围是(　　)
A.
(2)(2024·东北三省三校联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,若f(x)在区间恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围是(　　)
A.
总结　解此类问题的思路:一般令t=ωx+φ(ω>0),再利用y=Asin t的图象,结合条件列出关于参数的等价不等式(组)求解.
训练3　(1)(2024·温州模拟)已知函数f(x)=,其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围
是(　　)
A. D.(0,1]
(2)(2024·茂名综测)函数f(x)=2sin(ω>0)在区间上有且只有两个零点,则ω的取值范围是　　　　　　　　.
专题一　三角函数的图象和性质（练习）
(分值：73分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.(2024·东北三省三校模拟)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
2.(2024·苏州调研)已知函数f(x)＝cos＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.2
3.(2024·德州测试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　)
A.1 B. C. D.
4.(2024·山西质检)方程4|cos t|－＝0的实数根的个数为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
5.(2024·贵阳适考)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的(ω>0)倍，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.(0，1]
6.(2024·温州适考)若函数f(x)＝2sin(ω>0)，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
7.(2024·湖北名校三联)已知函数f(x)＝sin(ω>0，0≤x≤π)，若f(x)有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是(　　)
A.f(x)＋1有且仅有两个零点 B.f(x)－1有一个或两个零点
C.ω的取值范围是 D.f(x)在区间上单调递减
8.(2024·长郡中学适考)已知函数f(x)的定义域为，且f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有4个不同实根x1，x2，x3，x4(x1A. B. C.(1，) D.(－，1)
二、多选题
9.(2024·浙江9＋1高中联盟模拟)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
10.(2024·山西质评)已知函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个对称中心为
B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是偶函数
C.f(x)在区间上单调递减
D.若f(x)在区间(0，m)上与y＝1有且只有6个交点，则m∈
11.(2023·杭州二中高三测试)记函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在上的最大值与最小值的差为3，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f＝f
C.f(x)在区间上单调递减 D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
三、填空题
12.(2024·深圳调研)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ＝________.
13.(2024·湖北七市(州)联测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立，且在区间上无最小值，则ω＝________.
14.(2024·河南TOP二十名校质检)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若关于x的方程f(x)－1＝0在区间(0，π)上恰有两个实数根，则ω的取值范围为________.答案精析
专题二　三角恒等变换与正、余弦定理讲义
二、回归真题
1.A　[由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m.①由tan αtan β=2得=2,②
由①②得所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A.]
2.C　[由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=.
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,
所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,
又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=.故选C.]
3.-　[由题知tan(α+β)==,即sin(α+β)=-2cos(α+β),又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
可得sin(α+β)=±.由2kπ<α<2kπ+,k∈Z,2mπ+π<β<2mπ+,m∈Z,得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.
又tan(α+β)<0,所以α+β是第四象限角,故sin(α+β)=-.]
三、考点探究
例1　(1)A　(2)f(x)=sin x(答案不唯一)
[(1)由题设θ∈,tan 2θ=-4tan,得= -4(tan θ+1)2=2tan θ,
则(2tan θ+1)(tan θ+2)=0 tan θ=-2或tan θ=-,因为θ∈,tan θ∈(-1,0),
所以tan θ=-,=.故选A.
(2)依题意不妨令f(x)=sin x,则f(x+y)=sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y,
又f(x)ff(y)=sin xsinsin y=sin xcos y+cos xsin y,所以f(x+y)=f(x)ff(y),故f(x)=sin x符合题意.同理可证明f(x)=sin 5x,f(x)=sin 9x,…,也符合题意.]
训练1　(1)D　(2)f(x)=　[(1)由条件等式可知,,整理为3sin α=sin2α+cos2α=1,则sin α=,又α∈,cos α=,所以sin 2α=2sin αcos α=2×,cos 2α=1-2sin2α=,所以sin.故选D.
(2)令x=0,y=t,得f(t)+f(-t)=2cos t,令x=+t,y=,得f(π+t)+f(t)=0,令x=,y=+t,得f(π+t)+f(-t)=-2sin t,由以上3式,得f(t)=sin t+cos t,即f(x)=sin x+cos x=.]
例2(1)AC　(2)B [(1)f(x)=sin
sin 2x,即f(x)=-sin 2x,对于A,fcos 2x,易知为偶函数,所以A正确;对于B,f(x)=-+kπ,k∈Z x=,k∈Z,故B错误;对于C,x∈,2x∈,y=sin 2x单调递减,则f(x)=-sin 2x单调递增,故C正确;对于D,f(x)=-sin 2x,则sin 2x∈[-1,1],所以f(x)∈[-,],故D错误,故选AC.
(2)∵2cos2=1+sin ωx,f(x)=sin ωx(1+sin ωx)-sin2ωx=sin ωx.令ωx=+2kπ(k∈Z)可得x=,∵f(x)在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,∴0≤+2kπ(k∈Z),解得-(k∈Z),∵f(x)在区间上是增函数,∴.综上,.故选B.]
训练2　(1)BC　(2)B　[(1)由题意可得:
f(x)=cos 2x·cos=cos2x==.对于选项A:令4x+=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以曲线y=f(x)的对称轴为x=,k∈Z,故A错误;
对于选项B:因为x∈,则4x+,且y=cos x在内单调递增,所以f(x)在区间上单调递增,故B正确;对于选项C,当4x+=2kπ,k∈Z,即x=,k∈Z时,f(x)取到最大值为,故C正确;
对于选项D:令4x+,k∈Z,解得x=,k∈Z,可知f(x)的零点为x=,k∈Z,则f(x)在区间[0,2π]上的零点为,,…,,共8个,结合A可知,这些零点均关于直线x=对称,所以f(x)在区间[0,2π]上的所有零点之和为4×2×π,故D错误,故选BC.
(2)令h(x)=f(x)-g(x),当-时,总有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2),也即h(x1)>h(x2),故h(x)在区间单调递减,又h(x)=sin,令-+2kπ,k∈Z,解得k∈(k∈Z),故h(x)在上单调递减,则t的最大值为π.故选B.]
例3　(1)A　(2)60°　[(1)依题意,2S=bcsin A=b2+c2-a2,sin A=2=2cos A,tan A=2,
由=,
由于三角形ABC是锐角三角形,所以,所以tan B>tan,
所以0<==tan A=2,所以0<,.故选A.
(2)由正弦定理及二倍角公式得:
sin A·2sin Bcos B-sin Csin Acos A=sin Asin Acos C,因为在△ABC中,sin A≠0,2sin Bcos B-sin Ccos A=sin Acos C,即2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即2sin Bcos B=sin B,因为在△ABC中,sin B≠0,所以cos B=>0,所以B=60°.]
训练3　(1)C　(2)A　[(1)因为2a2+c2=2b2,所以2a2-2b2=-c2,因为a2+c2-b2=2accos B,b2+c2-a2=
2bccos A,两式相减,得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2,∴2acos B-2bcos A=-c,由正弦定理,得
2sin Acos B-2sin Bcos A=-sin C,即-2sin(B-A)=-sin C,因为sin (B-A)=,所以sin C=.故选C.
(2)因为=4csin B+a,由正弦定理得=4csin B+a,即6c2+2b2=4acsin B+a2,由余弦定理得6c2+2(a2+c2-2accos B)=4acsin B+a2,化简得8c2+a2=4ac(sin B+cos B),即,因为=1,当且仅当a=2c时等号成立,又sinB+≤1,故sin=1,因为B∈(0,π),故B+,则B=,由a=2c,则sin A=2,整理得sin A=
2sin A+2cos A,故tan A=-2,故选A.]
答案精析
专题二　三角恒等变换与正、余弦定理练习
1.B　[由tan=2,得tan α=-3,故sin 2α=2sin αcos α=.故选B.]
2.A　[根据正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),则sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC==1.故选A.]
3.A　[
=.故选A.]
4.A　[因为2bcos C=a(2-c),两边同时乘以a得:2abcos C=a2(2-c),由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C,则a2+b2-c2=a2(2-c),所以有a2+c2-b2=a2c,又a2+c2-b2=2accos B,所以a2c=2accos B,又因为B=,所以a=1.故选A.]
5.A　[由题意知(-1)sin C=,故(-1)sin C=,
则sin Ccos A=sin Asin C+sin Acos C+sin Ccos A=sin Asin C+sin(A+C)=sin Asin C+sin B,故sin B=(cos A-sin A)sin C,即cos A-sin A,又A=,则,由于,故,即2sin ∈(1,),∴c6.B　[因为2acos B=c-a,结合余弦定理得,2a·=c-a,整理得c=-a,所以,当且仅当,即b=a时,等号成立,此时c=-a=a,此时cos A=,又因为A∈(0,π),所以A=,故选B.]
7.A　[由f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)可得:f(x)=2sin,若沿x轴方向平移,考虑其任意性,不妨设得到的函数为g(x)=2sin(ωx+φ).令g(x)=1,即sin(ωx+φ)=,x∈[0,π],取z=ωx+φ,则z∈[φ,ωπ+φ].依题意知,sin z=在[φ,ωπ+φ]上至少有2解,至多有3解,则须使区间[φ,ωπ+φ]的长度在2π到之间,即2π≤ωπ<,解得2≤ω<.故选A.]
8.A　[因为DE=3,DF=2,∠DEF=90°,所以EF=,
设∠BED=θ,θ∈,则∠BDE=-θ,∠CEF=-θ,
∠CFE=+θ,在△BDE中由正弦定理,
即,
所以BE=2,在△CEF中由正弦定理,即=2,
所以CE=2sin,所以BC=BE+CE=2=
2+2
sin(θ+φ),所以BCmax=2,则S△ABC=×(2)2=7,即三角形ABC的面积的最大值是7.故选A.]
9.BCD　[对A:f(x)=sin 2x+1-cos 2x=+1,对称中心纵坐标为1,故A错误;
对B:-,则-,故f(x)的一个单调增区间为,而,故f(x)在上单调递增,故B正确;对C:fcos 2x+1,故其为偶函数,故C正确;对D;f(x)=0,则sin,2x-
+2k2π,k1,k1∈Z,故x=-+k1π或k2π,k1,k2∈Z,k1=0,x=-;k1=1,x=π;k2=0,x=0,∴f(x)在(-π,π)有三个零点,故D正确.故选BCD.]
10.AC　[由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C=absin C,解得tan C=2,故A正确;由acos B+bsin A=c及正弦定理,可得sin Acos B+sin Bsin A=sin C=sin(A+B),化简可得sin Bsin A=cos Asin B.因为B∈(0,π),所以sin B>0,所以sin A=cos A,即tan A=1.因为A∈(0,π),所以A=,故B错误;因为tan C=2,所以cos C>0且sin C=2cos C,代入sin2C+cos2C=1,可得5cos2C=1,解得cos C=,sin C=,A=,sin C=,所以由正弦定理可得c==8,由a2+b2-c2=absin C,可得(2)2+b2-82=2,化简可得b2-4b-24=0,解得b=6(舍),故C正确;S△ABC==24.故选AC.]
11.ABD　[对于A,因为S,所以bccos A=2bcsin A,则tan A=,因为A∈(0,π),所以A=,故A正确;对于B,因为b=2=a,则B=A=,C=,故△ABC只有一解,故B正确;对于C,若△ABC为锐角三角形,则B∈,C∈,则,即sin B∈,由正弦定理可知:b==4sin B∈(2,4),故C错误;对于D,若D为BC边上的中点,则(),所以()=(b2+c2+bc),由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4,得b2+c2=bc+4,又b2+c2=bc+4≥2bc,所以bc≤+8,当且仅当b=c=时取得等号,所以(b2+c2+bc)=×(4+2bc)≤,即|AD|≤,故D正确.故选ABD.]
12.　[由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β,所以sin α+cos α=sin β+cos β,所以,因为α,β∈,所以α+,β+,又α≠β,所以a+=π,故α+β=,所以sin α-sin β=sin α-cos α=-,两边平方后得sin2α-2sin αcos α+cos2α=,故sin αcos α=,
tan α+tan β=tan α+.]
13.　[f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)=2sin,令t=ωx+,因为0≤x≤π,所以,作出函数y=2sin t的图象.
要使在区间[0,π]上有且仅有两个不相等的实数x1,x2,满足f(x1)+f(x2)=4,即使y=2sin t在区间上必须恰好出现两个最大值.由图知,π,解得,故ω的取值范围为.]
14.　[如图,
不妨设∠BAD=∠CAE=θ,∠DAE=α,分别记△ABD,△ACE,△ABE,△ACD的面积为S△ABD,S△ACE,S△ABE,S△ACD,
则= ①
= ②
由①②两式左右分别相乘,可得,故得AC=2AB.设AB=x,在△ABC中,由余弦定理,cos∠ACB=,因x>0,则x+,当且仅当x=时,等号成立,此时
cos∠ACB≥,因0<∠ACB<π,故0<∠ACB≤,∠ACB取得最大值,此时△ABC的面积等于.]专题二　三角恒等变换与正、余弦定理讲义
一、考情分析
高频考点 高考预测
三角函数的化简与求值(正确应用和、差、倍、半三角公式先化简再求值,并注意积化和差、和差化积公式的应用) 继续以选择、填空题形式考查三角恒等变换求值,正、余弦定理的基本应用,注意与三角函数性质的交汇问题,难度中等偏下
利用三角恒等变换化简三角函数表达式,进而研究其图象与性质,或利用三角函数图象与性质,求参数的值或范围
利用正、余弦定理解三角形(求边、角、面积、周长,并注意利用正、余弦定理进行边角互化)
二、回归真题
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m B.- D.3m
2.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　)
A.
3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
三、考点探究
考点一　利用三角恒等变换求值(解析式)
例1　(1)(2024·九省联考)已知θ∈,tan 2θ=-4tan,则=(　　)
A.
(2)(2024·江门模拟)函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y,恒有f(x+y)=f(x)ff(y)成立.请写出满足上述条件的函数f(x)的一个解析式　　　　　　　　.
总结　1.利用三角恒等变换公式及其变形,注意从“角”“名”“形”的角度分析.
2.对于例1(2)要分析所给抽象函数的结构特征,联系三角恒等式的特征,猜想三角函数式的结构式,可用赋值法得到三角函数表达式,这是一种新题型.
训练1　(1)(2024·湖北七市(州)联测)若α∈,tan α=,则sin=(　　)
A.-
C.-
(2)(2024·浙江强基联盟联考改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f(0)=f=1,若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cos y,则函数f(x)的表达式为　　　　　　　　(化到最简形式).
考点二　三角恒等变换与三角函数的图象和性质
例2　(1)(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)=sin,则(　　)
A.函数f为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的最小值为-2
(2)(2024·沈阳二中测试)已知函数f(x)=2sin ωx·cos2-sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是(　　)
A.
总结　1.先化三角函数式为Asin(ωx+φ)+B的形式,再研究其性质.
2.化三角函数式为关于一个角(或复合角)的一种三角函数的二次或三次函数式形式后,再用换元法化为常见的函数,再利用函数性质或导数求解.
训练2　(1)(多选)(2024·汕头一模)已知函数f(x)=cos 2xcos,则(　　)
A.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ-,k∈Z
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)的最大值为
D.f(x)在区间[0,2π]上的所有零点之和为8π
(2)(2024·高邮调研)已知函数f(x)=sin,g(x)=sin 2x,若当-时,总有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2
),则实数t的最大值为(　　)
A. D.π
考点三　正、余弦定理的应用
例3　(1)(2024·梅州质检)已知△ABC是锐角三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,2S=b2+c2-a2,则的取值范围为(　　)
A.
C.
(2)(2024·镇海中学期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin 2B-sin 2A=asin Acos C,则角B=　　　　.
总结　1.已知两边和其中一边对角可用余弦定理求第三边,这种方法可避免对解个数的讨论.
2.根据给出条件等式的特点,正确选用正、余弦定理及其变形进行边角互化.
3.求三角形边、面积及有关式子的最值范围,常用方法:
(1)大边对大角,两边之和大于第三边;
(2)化为三角函数,利用三角函数性质及角的范围求解;
(3)利用基本不等式.
训练3　(1)(2024·T8二联)在△ABC中,sin(B-A)=,2a2+c2=2b2,则sin C=(　　)
A. D.1
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=4csin B+a,则tan A的值为(　　)
A.-2 B.-3 C.3 D.2
专题二　三角恒等变换与正、余弦定理练习
(分值：73分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.(2024·湖北十一校二联)若tan＝2，则sin 2α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
2.(2024·青岛适考)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
3.(2024·湖南雅礼中学测试)求值：＝(　　)
A. B. C.－ D.－
4.(2024·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝(　　)
A.1 B. C. D.2
5.(2024·泰州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，(－1)sin C＝tan Asin，则(　　)
A.c2c
6.(2024·张家港调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－a.当取最小值时，则A＝(　　)
A. B. C. D.
7.(2024·湖南九校二联)已知函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)，若沿x轴方向平移f(x)的图象，总能保证平移后的曲线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.[2，4)
8.(2024·浙江五校联盟联考)在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE＝3，DF＝2，∠DEF＝90°，则三角形ABC的面积的最大值是(　　)
A.7 B.13 C. D.
二、多选题
9.(2024·泰州调研)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x，则(　　)
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D.函数f(x)在区间(－π，π)上恰有3个零点
10.(2024·大连双基测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B＋bsin A＝c，a＝2，a2＋b2－c2＝absin C，则(　　)
A.tan C＝2 B.A＝
C.b＝6 D.△ABC的面积为12
11.(2024·鹰潭模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，下列选项正确的是(　　)
A.A＝
B.若b＝2，则△ABC只有一解
C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4]
D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋
三、填空题
12.(2024·南京、盐城一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________.
13.(2024·河北联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实数x1，x2，满足f(x1)＋f(x2)＝4，则ω的取值范围为________________.
14.(2024·杭州二中高三测试)如图，已知BC＝3，D，E为△ABC边BC上的两点，且满足∠BAD＝∠CAE，＝，则当∠ACB取最大值时，△ABC的面积等于________.

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