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第七章 三角函数
7.1.1 角的推广
人教B版(2019)必修第三册
1. 理解任意角的概念.
2.理解象限角的概念，并能判定所给角为第几象限角.
3. 会用集合表示终边相同的角.
小游戏：将右手臂向右伸直，记该位置为初始位置.
动作1：逆时针旋转90度；
动作2：顺时针旋转270度；
动作3：逆时针旋转一周半.
任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：射线按照逆时针方向旋转而成的角
负角：射线按照顺时针方向旋转而成的角　
零角：射线没有旋转时形成的角
任意角
请同学们观察动画，回答：
问题1.请用数学语言描述绿色齿轮的旋转运动.
第一次旋转所成的角:∠AOB=90°
第二次旋转所成的角:∠BOC=90°
角的加法运算
两次旋转所成的角:∠AOB+∠BOC=90°+90°=180°
多次旋转的角的合成:90°+90°+90°+…
问题2.请用数学语言描述棕色部件的旋转运动.
第一次旋转所成的角:∠AOB=-180°
第二次旋转所成的角:∠BOA=180°
角的加、减法运算
角的减法运算
两次旋转所成的角:∠AOB+∠BOA=-180°+180°=0°
多次旋转的角的合成:-180°+180°-180°+…
讨论：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么对一个任意的角，角的终边可能落在哪些位置？
x
o
y
（1）角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；
（2）如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角.
1.锐角是第几象限的角？直角、钝角呢？
答：锐角是第一象限的角，直角是轴线角，钝角是第二象限角.
2.第一象限的角是否都是锐角？举例说明
答：第一象限的角并不都是锐角.
3.小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.
概念辨析
思考：图中三个角的终边相同，它们的角度之间有什么关系吗？
45°
x
O
y
405°
以Ox为始边旋转45°,接着再旋转360°,则得到405°的转角，即405°=45°+360°
以Ox为始边旋转45°,接着旋-360°,则得到-315°的转角，
即-315°=45°-360°
如何表示所有与45°终边相同的角
顺时针或逆时针方向旋转若干周
与角终边相同的角组成一个集合，可记为
例1 下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角一定相等
B．钟表的时针旋转而成的角是负角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．大于90°的角都是钝角
A
例2 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420° ②855° ③－510°
第一象限角
第二象限角
第三象限角
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
象限角的判定方法
方法归纳
例3 如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<αC
象限角的集合表示
象限角 象限角 α 的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
{ α | k·360°＜α＜ 90°+ k·360°，k∈Z }
{ α | 90°+ k·360°＜α＜180°+ k·360°，k∈Z }
{ α | 180°+ k·360°＜α＜270°+ k·360°，k∈Z}
{ α | 270°+ k·360°＜α＜360°+ k·360°，k∈Z}
归纳总结
1.给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中是真命题的有(　　)
A．1个　 B．2个　　　
C．3个　 D．4个
2.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
C
1110°
3.已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
4.下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
240°
三
B
角
加减运算
数形结合
旋转 推广
任意角
象限角
终边相同的角
从特殊到一般
数形结合
平面直角坐标系

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