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7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
第七章 三角函数
1. 通过类比不同度量制，了解弧度制的概念；
2. 掌握弧度与角度的互化；
3. 掌握并能运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；
1.要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？
是用度来表示的
3.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何计算？
2.那么1°的角是如何定义的？
1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°，用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
讨论1：角除了以度为单位，还有分和秒，它们是六十进制的.
讨论2：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗 这个弧度数是否与圆半径的大小有关
计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？
当半径为r1时，弧长 =(α=n°)
r1
r2
弧长与半径的比值为 =
当半径为r2时，弧长 =
弧长与半径的比值为 =
由上可得：当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.
概念讲解
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；
弧度单位用符号rad表示，读作弧度；
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
例：如图，在单位圆（半径为 1 的圆）O中，AB的长等于 1，∠AOB就是1弧度的角.
x
y
O
A
B
1 rad
1
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 α rad，那么：
|α| = = .
注意：
（1）类似角的正负，角的终边逆时针旋转 α 为正，顺时针旋转 α 为负；
（2）角的终边旋转超过一周后，可得弧度数大于2π或小于-2π的角；
即可用弧度表示任意大小的角；
（3）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
弧度与角度如何互化呢？
方法二：180°=π rad
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 .
方法一：180°=π rad
把角度换成弧度：1°= rad≈0.01745 rad；
把弧度换成角度：1 rad= ≈57.30°=57°18′.
例1 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)-15°；(3) ；(4) .
解：
例2 把下列各角化成2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)-1500°；(2)；(3) -4.
解：(1)∵-1500°=-1800°+300°=-5×360°+300°，
∴-1500°可化成-10π+，是第四象限角.
(2)∵=2π+，∴与终边相同，是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4)，∴-4与2π-4终边相同，是第二象限角.
结合直角坐标平面记忆各终边的角的弧度数
例3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
解：已知扇形的圆心角α=60°=，半径r=10cm，
则弧长l=α(cm)，
于是面积S=lr=(cm2).
扇形面积公式：S=lr=α2
变式：已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有，
①代入②，得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去).
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝ rad.
综上所述，扇形圆心角的弧度数为rad.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）什么叫 1 弧度角
（2）说一说，“角度制”与“弧度制”的联系与区别；
（3）弧度制下的弧长公式与扇形面积公式.
1.把化为角度是( )
A.270° B.280° C.288° D.318°
2.若α＝－2 rad，则α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
C
3.与角终边相同的角是(　　)
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
4.已知扇形的半径为R，面积为R2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是____.
C
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