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第七章 三角函数
7.2.1 三角函数的定义
人教B版(2019)必修第三册
1.理解正弦、余弦与正切的定义；
2.掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号.
回顾：初中我们是如何定义锐角三角函数的？
思考：结合任意角的推广，想一想，任意角的三角函数应该如何计算？
sin α = ____________；
cos α = ____________；
tan α = ____________；
A
B
C
α
a
b
c
思考1：当是一个锐角时，初中学的正弦、余弦与正切能否通过终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？
当是锐角时，它的终边在第一象限内.
在终边上任取一个不同于坐标原点的点,
作垂直于于点，记.则
是一个直角三角形，且
由此可知，
P(x,y)
x
y
O
M
x
y
r
思考2：当B沿射线OB移动时，角A不变，其三个三角函数值改变与否
P
C
(x，y)
x
y
O
P1(x1，y1)
m
r
结论:三角函数值与点P在终边上的位置无关,与角大小有关.
因此，可以用角终边上点的坐标来定义三角函数.
三角形相似
在终边上任取一点,记.则
一般地，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α .
因此
sin α = ，cos α = .
当角α的终边不在y轴上时，同样可知与点P在α终边上的位置无关，此时称为角α的正切，记作tan α，即
tan α = .
x
y
O
P(x,y)
α的终边
以角为自变量的函数，统称为的三角函数
三角函数的定义域
三角函数 定义域
轴上点的横坐标为0，因此角的终边不能落在轴上
练习：若点P(2m，-3m)(m>0)是角α的终边上一点，求sin α，cos α，tan α的值.
例1 求下列各角的正弦、余弦、正切.
(1)0 (2)π (3)
解：(1)角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点(1，0)，
所以 ，
(2)角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1，0），
因此 .
所以 ，
因此 .
(3)角 的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，-1），
因此 不存在.
所以 ，
求任意角的三角函数的步骤：
（1）取终边上一点;
（2）求;
（3）求,,.
方法总结
例2 已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解：由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝.
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
从定义和实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数也有可能是负数，还可能为0，它们的符号与什么有关？试总结出相关规律.
正弦：
余弦：
正切：
因为r>0,故正弦由y的符号来决定，
余弦由x的符号来决定，
正切由x,y的符号共同来决定.
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
一全正、二正弦、三正切、四余弦
2
例4 若sin αtan α<0，且<0，则角α是第几象限角？
解：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
D
AB
3.已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ= ，则cos θ= .
C
(1)本节是如何定义任意角的三角函数的
(2)你能写出各三角函数的定义域吗？
(3)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗

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