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7.2.2 单位圆与三角函数线
第七章 三角函数
1.了解单位圆的概念.
2.能够用三角函数线表示任意角的三角函数值.
设角 α 是一个任意角，P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，点 P 与原点的距离 r = > 0.
那么：① 叫做 α 的正弦，即 sin α = ；
② 叫做 α 的余弦，即 cos α = ；
③ 叫做 α 的正切，即 tan α = (x ≠ 0)；
回顾：任意角的正弦、余弦与正切的定义
问题1：重新审视三角函数的定义，点P在终边上的位置与三角函数值无关.那么能否找到一个恰当的位置，使得三角函数的比值更加简洁呢？
若选取的P点的坐标满足x2+y2=1，
x2+y2=1可化为 .
P(x，y)到原点(0，0)的距离为1.
P(x，y)的轨迹是以原点(0，0)为圆心，1为半径的圆.
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
即：以原点(0，0)为圆心，1为半径的圆.
x
y
O
P
问题2：如果选取的P点坐标为单位圆与角终边的交点，则下面的正弦与余弦的表达式有什么变化？
x
y
O
P(x，y)
A(1，0)
B(0，-1)
α
若角α的终边与单位圆的交点为P，
则P的坐标为(cos α，sin α).
思考1：如果选取的P点坐标为半径为2的圆与角终边的交点，则正弦与余弦的表达式有什么变化？那圆的半径为r呢？
问题3：如果角α(α是第一象限角)终边与单位圆交点为P(x，y)，这样cos α=x，由此你能给出任意角α余弦的一个直观表示吗？
x
y
O
P(cos α，sin α)
M
α 的终边
可以直观地表示
余弦线
思考2：若角α的终边在第二、三、四象限，能否用直观表示cos α
O
P
M
1
x
y
O
P
M
1
x
y
O
P
M
1
x
y
称为角的余弦线
问题4：设角α是任意象限角，能找到某一个向量直观表示sin α吗？
O
P
M
A
x
1
1
y
O
P
M
1
x
y
O
P
M
1
x
y
O
P
M
1
x
y
称为角的正弦线
O
P(1，y)
A
x
1
1
y
取P点的坐标满足x=1，即P(1，y)，
则tan α= .
y
T
为角α的正切线.
举一反三：你能作出角的终边在第二、三、四象限时的正切线吗？
O
x
y
A(1，0)
T
终边
O
x
y
T
A(1，0)
终边
O
T
x
y
A(1，0)
终边
称为角的正切线
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.
例1 作出 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求sin ，cos ，tan 的值.
解：在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴
为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作
PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交
于T点，即的正弦线为，余弦线为，正
切线为.
例1 作出 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求sin ，cos ，tan 的值.
例2 利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.
证:当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，
而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1.
当角α的终边落在四个象限时，如图，
利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1.
综上，有|sin α|+|cos α|≥1.
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
解:(1)如图所示，作直线y=交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，
则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}.
(2)如图所示，作直线x=-交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，
则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}.
利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时，先抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.
方法归纳
1.已知角α的正弦线是单位的有向线段，则角α的终边(　　)
A.在x轴上 B.在y轴上
C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上
2.已知θ∈(，)，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a，b，c，则它们的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
B
B
3.在（0， ）内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是 .
4.若 则下列各式中正确的(　　)
A.sin θ>cos θ>tan θ B.cos θ>tan θ>sin θ
C.tan θ>sin θ>cos θ D.sin θ>tan θ>cos θ
5.如果 和 分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是(　　)
C
D

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