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郑州市中牟一高第九次周测　对数
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． log23·log34－10lg 3＝(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．0
2．已知对数式log(a＋1)(a∈Z)有意义，则a的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(－1，4) B．{1，2，3}
C．(－1，0)∪(0，4) D．{0，1，2，3}
3．已知ln 2＝a，ln 3＝b，则ln 18＝(　　)
A．2a－b B．a－2b
C．a＋2b D．a＋3b
4． log3[log4(log5x)]＝0，则x＝(　　)
A.64 B．125 C．256 D．625
5．某品牌计算器在计算logab时需按“log(a，b)”．某生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．a＝b2 D．b＝a2
6．已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则＝(　　)
A． B． C． D．
7．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M随时间t(年)的指数衰减规律是：M＝M0·2－0.008t(其中M0为3H的初始质量).则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．300年 B．255年
C．175年 D．125年
8．已知a>1，b>1，且lg a＝1－2lg b，则loga2＋logb4的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．10 B．9 C．9lg 2 D．8lg 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝1 B．log32＝
C．log6＝－2a D．log624＝1－2b
10．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y
B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y
D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
11．已知loga＋log9b＝0，则下列说法一定正确的是(　　)
A．(2a)2＝2b B．a·eln a＝b
C．b＝2a D．log2a＝log8(ab)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若a＝log916，b＝log8，则3a－2－b的值为________．
13．对于两个均不等于1的正数m，n，定义：m*n＝，则3*12＋4*12的值是________；设a，b，c均为小于1的正数，且ab＝c，则(a*c)－1＋(b*c)－1的值是________．(本题第一空2分，第二空3分)
14．已知a>1，b>1，当b变化时，logab＋logb最小值为4，则a＝______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·太原五中高一期中)(1)已知logx8＝6，求x的值；
(2)已知log3(x2－10)＝1＋log3x，求x的值．
16．(15分)(2024·深圳外国语学校高一期末)求下列各式的值：
(1)log28＋log27×log7(log381)；
(2)log9＋lg 25＋lg 2－log49×log38＋2(log23－1)－ln .
17．(15分)(2024·山东临沂高一月考)(1)设log23＝a，log27＝b，试用a，b表示log4256；
(2)若log2＝log3＝1，求y－x的值．
18．(17分)(2024·湖南长沙高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)满足方程v＝log3－lg x0，其中x表示鲑鱼耗氧量的单位数，x0表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速为1.3 m/s，求此时x0的值；
(2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？
19．(17分)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．
(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(2)请你运用上述对数运算的性质解决下列问题：围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为M＝3361，二阶魔方复杂度的上限约为N＝560×38，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是10160，乙认为是10165.现有一种定义：若实数x，y满足|x－m|<|y－m|，则称x比y更接近m，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)
1．C　[log23·log34－10lg 3＝·－3＝－3＝2－3＝－1.故选C.]
2．B　[要使对数式log(a＋1)(a∈Z)有意义，必须满足，解得－13．C　[ln 18 ＝ln (2×32)＝ln 2 ＋2ln 3＝a＋2b，故选C.]
4．D　[∵log3[log4(log5x)]＝0，∴log4(log5x)＝1，
∴log5x＝4，∴x＝54＝625.故选D.]
5．C　[由题意得logba＝4·logab，
∴＝，即(ln a)2＝(2ln b)2，由于a>1且b>1，
∴ln a＝2ln b，即a＝b2，故选C.]
6．D　[由根与系数的关系可得：lg a＋lg b＝，lg a·lg b＝－.所以＝＝－4lg a·lg b＝－4×＝.故选D]
7．A　[依题意可得M0·2－0.008t＝M0，
即－0.008t＝log2＝≈＝－2.4，所以t≈300.故选A.]
8．C　[由已知，令loga2＝m＝，logb4＝n＝，所以lg a＝，lg b＝＝，代入lg a＝1－2lg b得＋＝1，因为a>1，b>1，所以loga2＋logb4＝(m＋n)×1＝(m＋n)＝5lg 2＋≥5lg 2＋2＝5lg 2＋4lg 2＝9lg 2，当且仅当＝时，即a＝b＝10时等号成立．所以loga2＋logb4的最小值为9lg 2，故选C.]
9．ABC　[对于A，a＋b＝log63＋log62＝log66＝1，A正确；
对于B，＝＝log32，B正确；
对于C，－2a＝－2log63＝log63－2＝log6，C正确；
对于D，1－2b＝1－2log62＝log66－log64＝log6，D错误．故选ABC.]
10．CD　[根据指数与对数的运算性质可得2ln x·ln y＝，2ln (xy)＝2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y，可知只有C，D正确，A，B都不正确．故选CD.]
11．BD　[依题意，－log3a＋log3b＝0，即log3b＝log3a2，则b＝a2且a>0，b>0，根据题意，逐项分析如下：
＝22a≠2b，A错误；
a·eln a＝a2＝b，B正确；
由上分析可知b＝a2，C错误；
log2a＝log8(ab) 3log2a＝log2(ab) b＝a2，D正确．]
12．[解析]　a＝log916 ＝log34，b＝log8＝log2＝－log23，∴3a－2－b＝3log34－2log23＝4－3＝1.
[答案]　1
13．[解析]　根据新定义，得3*12＋4*12＝log123＋log124＝log12(3×4)＝1；a，b，c∈(0，1)且ab＝c，得0[答案]　1　1
14．[解析]　由题意得a>1，b>1，
logab＋logb＝logab＋≥2＝2，当且仅当logab＝即(logab)2＝loga时取等号，
∴2＝4，∴a4－a2－12＝0，∴a2＝4，
∴a＝2，此时b＝4，符合题意．
[答案]　2
15．[解]　(1)因为logx8＝6，所以x6＝8，
所以x＝8＝23×＝.
(2)因为log3(x2－10)＝1＋log3x，
所以log3(x2－10) ＝log3(3x)，
所以，解得x＝5.
16．[解]　(1)法一：原式＝3＋log27×log74＝3＋log27×2log72＝3＋2＝5.
法二：原式＝＋×＝＋＝＝log232＝5.
(2)原式＝log()4＋lg (2×)－log2232×log323＋2log2－ln e＝4＋lg 10－log23×3log32＋－＝4＋1－3＋－＝.
17．[解]　(1)log4256＝＝＝.
(2)因为log2＝1，所以log3x＝2，则x＝32＝9；
因为log3＝1，所以log2y＝3，则y＝23＝8，故y－x＝8－9＝－1.
18．[解]　(1)由题意可得：1.3＝log3－lg x0，解得lg x0＝0.2，所以x0＝10.
(2)设乙鲑鱼耗氧量偏差为x0，乙鲑鱼的耗氧量为x2，
则甲鲑鱼耗氧量偏差为10x0，甲鲑鱼的耗氧量为x1，
因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则log3－lg 10x0＝log3－lg x0，
化简得log3－lg 10－lg x0＝log3－lg x0，
则log3－log3＝1，即log3＝2，可得＝9，
所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍．
19．[解]　(1)法一：设logaM＝m，∴am＝M，
∴Mn＝(am)n＝amn，
∴logaMn＝mn＝nlogaM.
法二：∵＝amn，设am＝M，
∴Mn＝amn，∴mn＝logaMn，
∵m＝logaM，
∴logaMn＝nlogaM.
(2)M＝3361，N＝560×38，则＝＝.
lg ＝lg 3353－lg 560＝353lg 3－lg 7－3lg 2－1≈353×0.48－0.85－0.9－1＝166.69，
∴≈10166.69.
∵|10165－10166.69|<|10160－10166.69|，
∴乙同学的近似值更接近.

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