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中牟县 2024-2025 学年上学期期中考试
高一数学
（考试时间：120 分钟，满分 150 分）
一．单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．命题 x R, 2x 1 3的否定是（ ）
A． x R, 2x 1 3 B． x R, 2x 1 3
C． x R, 2x 1 3 D． x R, 2x 1 3
2．已知集合M {0,1,2,3}， N {x | x 3a,a N}，则M N （ ）
A．{0} B．{0,1,2,3} C．{0,1,2} D．{0,3}
3．区间（0,2]等于（ ）
A．{0, 2} B．{(0,2]}
C．{x | 0 x 2} D．{x | 0 x 2}
x 1
4．不等式 0的解集为（ ）
2x 4
A.{x | x 2或x 1} B.{x | 2 x 1}
C. {x | x 1或x 2} D.{x | 1 x 2}
5．在下列哪些命题中 p是 q 的充要条件（ ）
A.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分
B.p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
C.p：A∩B 为空集，q：A与 B 之一为空集
D.p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
1
6．函数 f (x) 的定义域为（ ）
1 x
A．{x | x 1} B．{x | x 1}
C．{x | x 1} D．{x | x 1}
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4
7．若a 1，则a （ ）
a 1
A．有最小值 5 B．有最大值 5
C．有最小值 4 D．有最大值 4
8．函数 f (x) 在区间 ( 1,3]上单调递减，则有（ ）
A． f ( 2) f (2) B． f (0) f (3)
C． f ( 1) f (3) D． f (0) f (3)
二．多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．下列图形中是以 x 为自变量，y 为因变量的函数的图像是（ ）
10.下列的说法正确的是（ ）
A．函数就是两个集合之间的对应关系
B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素
C．若 f (x) 2(1 x 4) ,则， f ( ) 4一定成立
D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同
11.已知集合 A {x | 1 x 4}，集合 B 满足 A∩B=A，则 B 可能为（ ）
A．{x | 2 x 4} B．{x | 1 x 4}
C．{x | 1 x 3} D．{x | 1 x 7}
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2
12.函数 y 4x 4x 3的零点有（ ）
3
A．0 B．
2
C． 2 D．3
三．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）（注：13,16 题用区间表示范围）
13．已知 1 x 2，1 y 4，则 x y 的取值范围是 。
2
14．已知函数 f (x 1) x 2x，则函数 f (1 x)的解析式为： 。
x 2 x 0
15.函数 f (x)

,则 f ( f ( 1)) 。
3x 1 x 0
16.已知 p : 2 x 4；q : x a ，若 p 是q 的充分条件，则 a 的取值范围 。
四．解答题（共 5 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
4x
17．（9 分）设函数 f (x) ，求函数 f (x) 的定义域和值域。
2x 1
18．（9 分）设 x 0 ， y 0，且 x 2y 2 ，则 xy的最大值。
19.（10 分）已知函数 f (x) 2x 1 (x 1 )。
2x 1 2
1 2
（1）求 f ( ) 和 f ( )， f (0)和 f (1) 的值。
3 3
（2）猜想一下 f (x) 与 f (1 x)有什么关系？并证明。
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20．（12 分）设全集U {x | 3 x 7}，集合 A {x | 3 x 4}，
集合 B {x | 4 2x 2 12}
(1)求： A B ， A B ，
(2)求：B ( U A) ， U (A B) 。
21.（13 分）根据定义证明函数 f (x) x 1 在区间 (1, )上单调递增。
x
22.（17 分）已知函数 f (x) 是二次函数，且 f (0) 1， f (x 1) f (x) 2x。
（1）求 f (x) 的解析式并且写出 f (x) 的单调递增和单调递减区间；
（2）求出 f (x) 在区间[ 1,4]上的最大值和最小值。
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2024-2025 年上学期期中考试高一数学参考答案
一．选择题 C D C A B A A D
二．多项选择题
9.ABD
10.CD
11.AB
12.BC
三．填空题
13.(0,6)
14.x +6x+8
15.4
16. ( , 2]
四．解答题
17.（9 分）
1
解：由题意可得，定义域为：{x | x } （3分）
2
f (x) 4x 2(2x 1) 2 2 2 （6分）
2x 1 2x 1 2x 1
可得 f (x) 2 （7 分）
因此，值域为{ f (x) | f (x) 2} . （8 分）
1
因此，定义域为{x | x }，值域为{ f (x) | f (x) 2}。 （9分）
2
18. （9 分）
解：因为 x>0,y>0,可得 x>0,2y>0.
由基本不等式可得： x 2y 2 2xy （4 分）
因为 x+2y=2,所以 2 2 2xy （5 分）
1
计算得 xy≤ （7 分）
2
1
当且仅当，x=2y 即 x=1 ,y= 时，等号成立。 （8分）
2
1
故，xy 的最大值为 。 （9 分）
2
19. （10 分）
1
（1）解： f ( ) 5 （1分）
3
f (2) 7 （2 分）
3
f (0) 1 （3分）
f (1) 3 （4 分）
（2）猜想： f (x) f (1 x) 2 （6分）
f (x) 2x 1证明：由 (x 1 )
2x 1 2
3 2x
可得： f (1 x) （8分）
1 2x
f (x) f (1 x) 2x 1 3 2x
则， 2x 1 1 2x
2
即证猜想。 （10 分）
20. （12 分）
由 B {x | 4 2x 2 12} 可得 B {x |1 x 5} （2分）
（1） A B {x |1 x 4} （4分）
A B {x | 3 x 5} （6 分）
(2 ) U A {x | 4 x 7} （8分）
B ( U A) {x | 4 x 5} （10 分）
U (A B) {x | 3 x 1或421. （13 分）
证明： x1, x2 (1, ),且x1 x2 ,有 （2 分）

f (x ) f (x ) x 1
1
1 2 1 x2 （4 分）
x1 x2

(x 1 11 x2 )
x1 x2
x
(x x ) 2 x11 2 x1x2
x x
1 2 (x1x2 1)x1x2
（6 分）
由 x1, x2 (1, ),得x1 1, x2 1
所以， x1x2 1, x1x2 1 0 （8 分）
又由 x1 x2，得 x1 x2 0。 （9分）
x
于是， 1
x2 (x1x2 1) 0 （11 分）x1x2
即 f (x1) f (x2 ) （12 分）
1
所以， f (x) x 在区间 (1, )上单调递增 （13 分）
x
22.（17 分）
解：
（1）设 f (x) ax2 bx c(a 0) （1分）
由 f (0) 1 得 c 1 （2 分）
由 f (x) ax2 bx c(a 0) 可得： f (x 1) a(x 1) 2 b(x 1) c （4分）
根据： f (x 1) f (x) 2x
可得： f (x 1) f (x) a(x 1) 2 b(x 1) c (ax 2 bx c) 2x （5 分）
整理得： 2ax a b 2x
可得：
2a 2 a 1
解得 （7分）
a b 0

b 1
可得 f (x) x2 x 1为 f (x)的解析式。 （8 分）
f (x) x2因为 x 1 1 可得：对称轴为 x （10 分）
2
且二次项系数为 1>0,
1
可知：函数的单调递增区间为：[ , ) 1单调减区间为 ( , ] （12 分）
2 2
（2）由二次项系数为 1>0,和函数的单调性可得，
1
函数在 x 处取最小值，即 f (1) 3 。 （14 分）
2 2 4
当 x 1时， f ( 1) 1
当 x 4时， f (4) 13 （16 分）
3
因此函数的最大值为 13，最小值为 。 （17 分）
4

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