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2024-2025学年郑州市中牟高中高一上学期数学
第一章集合与常用逻辑用语章末检测
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“ x∈R，x2－3x＋4＝0”的否定为(　　)
A． x∈R，x2－3x＋4≥0 B． x∈R，x2－3x＋4≠0
C． x∈R，x2－3x＋4<0 D． x∈R，x2－3x＋4≠0
2．若集合A＝{x|－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．{－1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
3．设集合A＝，B＝，则下列选项中正确的是(　　)
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．B＝
4．下列命题为真命题的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A． x∈R，x2＋3<0 B． x∈N，x2≥1
C． x∈Z，x5<1 D． x∈Q，x2＝5
5．如图所示，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝，则阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|0B．{x|1C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|x＝0，或x>2}
6．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1 A}，则集合B中所有元素之和为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．
7．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，则“ac<0”是“方程有两个不相等的实数根”的(　　)
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某公司举行10周年纪念活动，决定给每个员工发放纪念品，并找设计师设计了甲、乙、丙三款纪念品．为了了解员工更喜欢哪一款纪念品，随机抽取了60名员工对这三款纪念品进行投票，每人至少选择一款自己喜欢的纪念品投票(如果有多款喜欢的纪念品，可以选择多款纪念品投票).具体投票情况如下表：
纪念品 对应的投票人数
甲 31
乙 30
丙 33
甲与乙 11
乙与丙 17
甲与丙 15
那么给三款纪念品都投票了的人数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．下列选项中，p是q的充要条件的是(　　)
A．p：xy>0，q：x>0，y>0
B．p：A∪B＝A，q：B A
C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两内角相等
D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分
10．若集合M＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，N＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则(　　)
A．M∪N＝{1，3，4，a}
B．M∩N可能为{1}，{4}
C．M与N有相同的子集个数
D．M∩N＝ 是M∪N＝{1，3，4，a}的必要不充分条件
11．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”．对于集合A＝，B＝，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　)
A．－2 B．－ C．0 D．1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合A＝{2，3x}，B＝{x，y}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝________．
13．能够说明“若>，a<0，则x>y”是假命题的一组整数x，y的值依次为________．
14．设条件p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；
(2) x∈R，x2－4x＋6>0；
(3) x∈N，x2≤x；
(4) x∈N*，使x为29的约数；
(5) x∈N，x2>0.
16．(15分)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－217．(15分)已知集合A＝，B＝{x|ax－1≥0}．
(1)当a＝时，求A∩B；
(2)若A∩B＝ .求实数a的取值范围．
18．(17分)已知△ABC的三边长为a，b，c，其中a＝2.求证：△ABC为等边三角形的充要条件是b2＋c2－2＝bc－4.
19．(17分)设p：实数x满足M＝{x|－2≤x≤5}，q：实数x满足N＝{x|1－2m≤x≤2＋m}，N为非空集合．
(1)若命题“ x∈M，x∈N”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
2024-2025学年郑州市中牟高中高一上学期数学
第一章集合与常用逻辑用语章末检测
1．D　[存在量词命题“ x∈R，x2－3x＋4＝0”的否定为： x∈R，x2－3x＋4≠0.故选D.]
2．C　[因为A＝{x|－1所以A∩B＝，则∪C＝.故选C.]
3．B　[由题意， 在B＝中，A＝，＝1，02＝0，12＝1，
∴B＝，∴A?B.故选B.]
4．C　[根据题意，逐项分析如下：
因为x2≥0，所以 x∈R，x2＋3≥3，A错误；
当x＝0时，x2<1，B错误；
当x＝0时，x5<1，C正确；
由x2＝5可得x＝±，均为无理数，D错误．]
5．D　[A，B是非空集合，阴影部分表示的集合是 A∪B，A＝{x|0≤x≤2}，B＝，A∩B＝{x|02}．故选D.]
6．C　[根据题意，分别令m2－1＝－1，0，1，解得m＝0，±1，±，又m－1 A，所以m＝－1，±，B＝{－1，，－}，所以集合B中所有元素之和为－1＋－＝－1，故选C.]
7．A　[由方程有两个不相等的实数根，不一定得到ac<0，例如方程x2－3x＋2＝0；若ac<0，则Δ＝b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．故“ac<0”是“方程有两个不相等的实数根”的充分不必要条件．故选A.]
8．D　[设给甲投票的员工为集合A，给乙投票的员工为集合B，给丙投票的员工为集合C，因为每个人都有投票，所以card(A∩B)＋card(A∩C)＋card(B∩C)－card(A∩B∩C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∪B∪C)，所以给三款纪念品都投票了的人数为11＋17＋15－(31＋30＋33－60)＝9.故选D.]
9．BC　[对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误；对于B，若A∪B＝A，则B A，若B A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确；对于C，三角形是等腰三角形 三角形存在两内角相等，故p是q的充要条件，故C正确；对于D，四边形的对角线互相垂直且平分 四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误．故选BC.]
10．BD　[N＝{x|(x－1)(x－4)＝0}＝{1，4}．当a＝3时，M＝{3}，则M∪N＝{1，3，4}，M与N的子集个数分别为2，4，故A，C选项均错误；当a＝1时，M∩N＝{1}，当a＝4时，M∩N＝{4}，故B选项正确；当M∩N＝ 时，a≠1且a≠4，当M∪N＝{1，3，4，a}时，a≠1且a≠3且a≠4，因为{a|a≠1且a≠4}?{a|a≠1且a≠3且a≠4}，所以M∩N＝ 是M∪N＝{1，3，4，a}的必要不充分条件，故D选项正确．故选BD.]
11．BCD　[当a＝0时，B＝＝，当a≠0时，B＝＝，
对于A，若a＝－2，B＝，此时A∩B＝ ，不满足；
对于B，若a＝－，B＝，此时B A，满足；
对于C，若a＝0，B＝，此时B A，满足；
对于D，若a＝1，B＝，此时A∩B＝≠ ，满足．故选BCD.]
12．[解析]　若A∩B＝{3}，则3x＝3，y＝3，所以x＝1，所以A∪B＝{1，2，3}．
[答案]　{1，2，3}
13．[解析]　由>，a<0，可得<，①当x，y同号时，可得x>y；②当x，y异号时，可得y>0>x.故可取整数x＝－1，y＝1.
[答案]　－1，1(答案不唯一)
14．[解析]　由|x|≤m(m>0)得－m≤x≤m(m>0)，p是q的充分条件 0∴m的最大值为1.p是q的必要条件 m≥4，
∴m的最小值为4.
[答案]　1　4
15．[解]　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，
99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题．
(2)命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题，
因为x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，所以x2－4x＋6>0恒成立，
故该命题为真命题．
(3)命题中含有存在量词“ ”，故是存在量词命题．
当x＝0或x＝1时，x2＝x，故该命题为真命题．
(4)命题中含有存在量词“ ”，故是存在量词命题．
当x＝1时，x为29的约数，所以该命题为真命题．
(5)命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题．
当x＝0时，x2＝0，所以该命题为假命题．
16．[解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示出来，如图：
由图可知， UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－317．[解]　(1)由题意得，A＝＝{1，2，3}．
当a＝时，B＝＝{x|x≥2}．
∴A∩B＝{2，3}．
(2)当a＝0时，B＝ ，满足A∩B＝ ；
当a>0时，B＝，要使A∩B＝ ，则>3，解得0当a<0时，B＝，此时<0，A∩B＝ .
综上，实数a的取值范围为.
18．证明：充分性：当a＝2时，多项式b2＋c2－2＝bc－4可化为b2＋c2－a＝bc－a2，
即a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
则＋＋＝0，所以a－b＝b－c＝a－c＝0，
即a＝b＝c，△ABC为等边三角形，即充分性成立；
必要性：由△ABC为等边三角形，且a＝2，所以a＝b＝c＝2，
则b2＋c2－2＝0，bc－4＝0，所以b2＋c2－2＝bc－4，即必要性成立．
故△ABC为等边三角形的充要条件是b2＋c2－2＝bc－4.
19．[解]　(1)因为命题“ x∈M，x∈N”是真命题，所以M N，根据题意作出如图所示的数轴，
所以，解得m≥3，
即实数m的取值范围是{m|m≥3}．
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以N是M的真子集．
由N为非空集合，知1－2m≤2＋m，即m≥－.
因为N是M的真子集，所以，且等号不同时成立，
解得－≤m≤.
所以实数m的取值范围是.

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